☉江蘇省南通市通州區(qū)育才中學 黃新顏

數(shù)學思想方法是中學數(shù)學教學的最高境界，用華羅庚大師的話說：教師首先教學生的是數(shù)學的雙基知識，這只不過是數(shù)學的分散知識點，好像一維的數(shù)軸；其次教師應(yīng)該指導學生進行知識點之間的聯(lián)系，也就是現(xiàn)在中考常常出現(xiàn)的知識點交匯處的考查，好像是二維的坐標系一般；最后教師應(yīng)帶領(lǐng)學生走進數(shù)學思想方法的殿堂，這里才是數(shù)學最漂亮、最完美的地方，猶如是一個變換般的三維空間.因此，中學數(shù)學教學的核心是數(shù)學思想方法的教學.

眾所周知，分類討論思想是初中數(shù)學的重要思想方法，在解決很多初中數(shù)學問題時有著不可替代的作用.其早在中國古代劉徽等人的專著《九章算術(shù)》中就已經(jīng)被多次使用，如今更是在中考數(shù)學中層出不窮，成為區(qū)分學生思想完整性、發(fā)散性、靈活性、嚴謹性等的必備數(shù)學思想，值得教師研究和深化.

一、在函數(shù)問題中的運用

例1 （蘇州2012年中考模擬）如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點，MN=4，MA=1，MB＞1. 以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點M，以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點N，使M、N兩點重合成一點C，構(gòu)成△ABC，設(shè)AB=x.

（1）求x的取值范圍；

（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；

（3）探究△ABC的最大面積.

分析：點B在AN上運動，通過觀察可得∠CAB和∠ACB可以成為直角，∠CBA不可能成為直角.

圖1

（1）根據(jù)三角形的基本性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊以及兩邊之差小于第三邊，找尋關(guān)于x的不等式，進而得出x的取值范圍；

（2）對Rt△ABC進行分析，由勾股定理進行分類，討論存在性；

（3）把△ABC的面積S的問題，轉(zhuǎn)化為S2的問題，AB邊上的高CD要根據(jù)位置關(guān)系分類討論，分CD在三角形內(nèi)部和外部兩種情況.

（2）①若AC為斜邊，則1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，此方程無實根；

①如圖2，若點D在線段AB上，則=x，得平方得 （3－x）2－h(huán)2=x2－2x，得，平方得x（21－h(huán)2）=9x2－24x+16.整理，得x2h2=－8x2+24x－16，所以

②如圖3，若點D在線段MA上，則

圖2

圖3

二、在應(yīng)用題型中的運用

例2（2011年南京中考）學生甲和乙分別站在一邊長為10的正方形ABCD的點A和點D處，現(xiàn)在甲從點A出發(fā)，設(shè)其在正方形邊界上沿著逆時針勻速運動（如圖4），速度為每秒2個單位（位置記為點P），求學生甲（點P）和學生乙（點D）之間的距離.

分析：學生甲從點A出發(fā)，到達B、C、D、A的時間分別是5秒、10秒、15秒、20秒，顯然對問題的分析要以時間的臨界狀態(tài)為分類討論的切入點，因此：

圖4

（1）當0≤t＜5時，學生甲的位置P落在線段AB上，此時

（2）當5≤t＜10時，位置P在線段BC上，此時PD=

（3）當10≤t＜15時，學生甲的位置P落在線段CD上，此時

（4）當15≤t≤20時，學生甲的位置P落在線段DA上，此時

綜上可知：學生甲（點P）和學生乙（點D）之間的距離可用一個分段函數(shù)表示，下略.

提示：本題在實際應(yīng)用型問題的背景下，體現(xiàn)了問題的運動觀點 （也是函數(shù)思想在實際應(yīng)用型問題中的體現(xiàn)），考查了學生甲（點P）和學生乙（點D）之間的距離，應(yīng)根據(jù)點P的不同位置分析不同情形，而分類討論的關(guān)鍵切入點在于正方形每個轉(zhuǎn)折處.

三、在方程中的運用

例3 求使關(guān)于x的方程kx2+（k+1）x+（k－1）=0的根都是整數(shù)的所有k值.

分析：本題中并未說明方程一定是二次方程，所以首先要對k是否等于0進行分類.當k=0時，顯然所給方程為一次方程，有整數(shù)根x=1；當k≠0時，可以設(shè)兩個整數(shù)根為x1、x2，由韋達定理可知：

（1）－（2）得：x1+x2－x1x2=－2，有：（x1－1）（x2－1）=3=1·3，因此：

提示：對于方程問題，首先不要將思維定勢在二次方程中，教師只有引導學生抓住了分類討論的動因，把握住了分類的標準，才能做到分類時條理清楚、標準一致，在解答問題時就不會重復或遺漏，才能保證解題的準確率.

四、數(shù)學思想教學的思考

初中數(shù)學有很多的基本知識，我們稱之為雙基知識，這是學生必須掌握的一維知識點；其次初中數(shù)學知識點板塊之間的綜合運用，稱之為知識交匯處，需要教師通過一定指導，使學生通過訓練達到，即所謂學生的二維知識鏈；初中數(shù)學學習的最高境界是掌握數(shù)學思想方法，即所謂的三維知識模塊，將千變?nèi)f化的試題化有形于無形中，通過思想方法看到問題的本質(zhì)、解決的思路，這是每個優(yōu)秀學生學習的最終目標.熟練掌握初中數(shù)學思想方法對每個學生來說并不容易，因為這首先需要一維知識點和二維知識鏈的熟練掌握，其次才是運用這些思想——為了將我們遇到的問題進行解決或轉(zhuǎn)化.眾所周知，學生學習數(shù)學思想方法有一個循序漸進的過程，首先應(yīng)學會數(shù)學的雙基知識，其次對知識進行整合獲得知識間的聯(lián)系，最終才是用數(shù)學思想方法進行提煉，將其牢固的粘合于學生的知識體系中.通過上述案例，筆者認識到分類討論思想在教學中的重要性，更能從分類討論思想中管窺中學數(shù)學教學中思想方法教學的重要性.

（1）掌握數(shù)學思想方法是學習數(shù)學知識的本質(zhì)，數(shù)學思想方法滲透于數(shù)學的各個分支，是我們解決數(shù)學問題的重要導向，是探究性學習的重要工具之一.把掌握數(shù)學方法和思想作為數(shù)學教育的重點，可以使初中學生逐步掌握數(shù)學基本方法和數(shù)學思維，進而展開高效率的數(shù)學學習.數(shù)學方法和思想是初中學生提高數(shù)學素養(yǎng)、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的關(guān)鍵，是一切數(shù)學創(chuàng)新的源泉，數(shù)學思想方法的教育使數(shù)學教學真正變?yōu)椤笆谥詽O而非授之以魚”，讓初中學生由“學會”變成“會學”，為其今后終生學習奠定基礎(chǔ).

（2）數(shù)學思想方法的教學使學生更容易理解數(shù)學科的內(nèi)容，使其在掌握了一些數(shù)學思想方法后再去看待相關(guān)的數(shù)學知識顯得“高屋建瓴”.挖掘初中更深層次的問題，這樣的學習更具穩(wěn)定性，有利于舊知識的鞏固和新知識的學習，能夠順利將新知納入到自身知識體系中去，數(shù)學思想方法正是體現(xiàn)了這么一種核心.

近年來，對初中數(shù)學思想方法的考查越來越受到各地中考的重視，教師在教學中也要從初一的教學開始就全面滲透對數(shù)學思想方法的學習，提升學生通過問題看本質(zhì)的能力，使其在掌握扎實的雙基的同時，將知識點進行有機的整合，最終上升到思想方法的高度進行提煉，久而久之，就可以提升優(yōu)秀學生的數(shù)學能力和數(shù)學素養(yǎng)，用諾貝爾獎獲得者李政道教授的話說：“我覺得今天取得的一點成就離不開數(shù)學的功底，而數(shù)學的功底又在于我當年中學時代對數(shù)學思想方法的理解和運用，其伴隨我研究一生.”

總之，數(shù)學思想方法是研究數(shù)學中發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、創(chuàng)新和其他創(chuàng)造性思維活動的規(guī)律和方法，以及探索數(shù)學發(fā)展的一門科學.數(shù)學已經(jīng)滲透到各個領(lǐng)域，并成為其思想和行動的指南，數(shù)學思想方法是一種思維，一種思考問題的方法模式，它體現(xiàn)了辯證法的原理，它不僅用于解決數(shù)學問題，更可以應(yīng)用在人們?nèi)粘５氖聞?wù)處理、問題思考中.

1.徐利治.數(shù)學方法論選講［M］.武漢：華中理工大學出版社，2000.

2.波利亞.數(shù)學與猜想［M］.北京：科學出版社，1984.

3.臧雷.“數(shù)學思想方法研究綜述”［J］.中學數(shù)學教學參考，2002（10）.

4.劉曉玫.論數(shù)學思想方法在數(shù)學教育中的作用［J］.首都師范大學學報，2001（10）.