魏丙濤

（文山學(xué)院 數(shù)理系，云南 文山 663000）

輸運(yùn)方程是數(shù)學(xué)物理方程中比較重要的方程之一，能夠描述一些輸運(yùn)的物理過(guò)程，比如：制作半導(dǎo)體器件就常用到擴(kuò)散法，把含有所需雜質(zhì)的物質(zhì)涂敷在硅片表面，把硅片放在擴(kuò)散爐里，雜質(zhì)就向硅片里面擴(kuò)散，擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的方向基本上是垂直于硅片表面而指向硅片深處[1]，這種只沿某一方向進(jìn)行的擴(kuò)散就可以用一個(gè)一維的輸運(yùn)方程來(lái)描述這一物理過(guò)程.輸運(yùn)方程的解法很多，一般的輸運(yùn)方程是可以用解析的解法求解的，對(duì)于復(fù)雜的方程、邊界條件及初始條件，解析解就變的比較困難了，于是需要尋求數(shù)值解法.對(duì)于偏微分方程，數(shù)值解法一般采用有限差分法，在此介紹一種基于Crank-Nicolson格式的差分方法的數(shù)值求解.

本文第一部分將對(duì)Crank-Nicolson格式做個(gè)簡(jiǎn)單的介紹，第二部分將給出數(shù)值結(jié)果，第三部分則是本文的結(jié)論.

1 Crank-Nicolson格式簡(jiǎn)介

考慮如下的定解問(wèn)題：

上述方程是一個(gè)輸運(yùn)方程，該方程的最基本差分格式為向前差分和向后差分格式，向前差分格式可以寫為[2]：

可以將這個(gè)差分格式改寫為：

向后差分的的格式可以寫為[3]：

在（4）式的等式左右兩邊同乘θ，在（3）式的兩邊同乘(1-θ)，并將兩式相加得到[4]：

上式為加權(quán)隱格式的差分格式，在上面的式子中，λ表示時(shí)間步長(zhǎng)，h表示空間步長(zhǎng)，θ是一個(gè)大于0小于1的數(shù)，當(dāng)θ=0時(shí)上式成為向前差分格式，當(dāng)θ=1時(shí)上式變成向后差分格式.

這個(gè)格式一般稱作Crank-Nicolson格式，這個(gè)差分格式是無(wú)條件穩(wěn)定的，這會(huì)給數(shù)值解法帶來(lái)很多方便.

2 數(shù)值結(jié)果

定解問(wèn)題（1）能夠給出解析解，在此取a=1，其解析解為：

圖1 t=0.5時(shí)Crank-Nicolson格式下的數(shù)值解

圖2 t=0.5時(shí)定解問(wèn)題的解析解的函數(shù)圖像

圖3 t=0.5時(shí)Crank-Nicolson格式的數(shù)值解與解析解之間的差別，虛線是解析解的函數(shù)圖像，實(shí)線為Crank-Nicolson格式下的數(shù)值解

圖1給出了t=0.5定解問(wèn)題的數(shù)值解，圖2給出了t=0.5時(shí)的解析解的函數(shù)圖像，圖3給出了t=0.5兩種解法之間的比較，圖4給出了函數(shù)值u隨時(shí)間t及坐標(biāo)x變化的函數(shù)關(guān)系圖.從圖中可以出，數(shù)值解與解析解之間的誤差很小，數(shù)值解也是穩(wěn)定的，并且Crank-Nicolson格式是絕對(duì)穩(wěn)定的，這對(duì)于數(shù)值解是很有用的.

圖4 函數(shù)值u隨時(shí)間t及坐標(biāo)x變化的函數(shù)關(guān)系圖

3 結(jié)論與討論

通過(guò)上面的計(jì)算可知，Crank-Nicolson格式是一個(gè)覺(jué)得穩(wěn)定的格式，并且這種算法的精度比較高，在實(shí)際的數(shù)值求解過(guò)程中非常有用.這個(gè)差分格式適用于輸運(yùn)方程的數(shù)值求解中，雖然有很多輸運(yùn)方程很容易得到解析解，但數(shù)值解法在很多時(shí)候很多方面是具有優(yōu)越性和適用價(jià)值的.

〔1〕梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：高等教育出版社，1998.

〔2〕Ames W F.Numerical Metheds for Partial Differential Equations.2nd ed.New York:Academ ic Press,1977.

〔3〕徐長(zhǎng)發(fā),李紅.偏微分方程數(shù)值解法[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2000.

〔4〕陸金甫,關(guān)治.偏微分方程數(shù)值解法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004.