劉永財(cái)，胡慶婉

（曲靖師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，云南 曲靖 655011）

數(shù)學(xué)建模是解決實(shí)際問(wèn)題的第一步.將錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化、抽象成合理的數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)行求解，對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，最后對(duì)模型進(jìn)行其他方面的應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模課程的主要內(nèi)容.數(shù)學(xué)建模是能力與知識(shí)的綜合運(yùn)用過(guò)程，需要建模者具有較扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對(duì)實(shí)際問(wèn)題有足夠的了解，并具有盡可能靈活的技巧去駕馭問(wèn)題的研究能力.因此，數(shù)學(xué)建模課程不僅需要教會(huì)學(xué)生知識(shí)，還需要培養(yǎng)學(xué)生駕馭知識(shí)的能力.

我校數(shù)學(xué)模型課程開(kāi)設(shè)幾年以來(lái)，學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力得到了明顯提高，教學(xué)效果明顯，參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的人數(shù)每年也都在逐步增加.但是，隨著數(shù)學(xué)模型課程教學(xué)的不斷深入，我們發(fā)現(xiàn)在授課過(guò)程中還存在著如下不足：教材和教學(xué)內(nèi)容陳舊，不能與時(shí)俱進(jìn)更新；教學(xué)內(nèi)容追求量不追求精，沒(méi)有足夠時(shí)間進(jìn)行精細(xì)的教學(xué)；數(shù)學(xué)建模課程獨(dú)立化，很少和其他相關(guān)課程真正地聯(lián)系起來(lái)；課后作業(yè)與實(shí)際問(wèn)題不搭邊，沒(méi)有新意，沒(méi)有趣味性，很多作業(yè)都能在網(wǎng)上或者參考書(shū)上找到答案，學(xué)生常常相互抄襲，敷衍了事；考核方式不合理，偏重理論知識(shí)，沒(méi)有學(xué)生駕馭知識(shí)能力的考核.針對(duì)以上問(wèn)題，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中進(jìn)行了下述的改革：

1 優(yōu)選教材，精選教學(xué)內(nèi)容，與競(jìng)賽題目相結(jié)合

我校自開(kāi)課以來(lái)一直采用姜啟源等主編的《數(shù)學(xué)模型（第三版）》作為教材，這是一本很經(jīng)典的教材，也是一本很基礎(chǔ)的教材.隨著時(shí)間的發(fā)展，這本教材也出現(xiàn)了一些問(wèn)題，例如內(nèi)容本身形式不新穎，很難激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，另一方面，由于內(nèi)容和課后作業(yè)題目已經(jīng)成型很多年，答案也比較固定，很容易找到標(biāo)準(zhǔn)答案，學(xué)生做作業(yè)的時(shí)候抄襲答案，敷衍了事.基于以上原因，我們?cè)谠瓉?lái)教材的基礎(chǔ)上，新增加兩本參考書(shū)，分別是浙江大學(xué)出版社出版，楊啟帆等編著的《數(shù)學(xué)建?！泛透呓坛霭嫔绯霭妫w靜等主編的《數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》.以這兩本書(shū)作為參考，結(jié)合往年教學(xué)內(nèi)容追求量忽視質(zhì)的缺陷，我們重新調(diào)整了數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)內(nèi)容，在初等模型章節(jié)，我們講解：席位的公平分配，汽車(chē)剎車(chē)距離，量綱分析，崖高的估算，艦艇的會(huì)合.在優(yōu)化模型章節(jié)，我們講解：存貯模型，最有價(jià)格.在規(guī)劃模型一章，我們講解：奶制品的生產(chǎn)和銷(xiāo)售，自來(lái)水的輸送和伙計(jì)裝運(yùn)，汽車(chē)生產(chǎn)和原油采購(gòu)，鋼管和易拉罐下料.對(duì)于易拉罐下料問(wèn)題我們結(jié)合2006年試題C題“易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題”進(jìn)行講授，問(wèn)題的背景更加有說(shuō)服力和感染力.在微分方程模型一章，我們講解傳染病模型，人口的預(yù)測(cè)和控制.人口預(yù)測(cè)和控制這一問(wèn)題我們結(jié)合2007年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的A題進(jìn)行講解，我們分析采用微分方程模型和差分方程模型解決這個(gè)問(wèn)題的可行性及優(yōu)缺點(diǎn)分析.最后，我們下載當(dāng)年獲得獎(jiǎng)杯的論文給學(xué)生們欣賞，討論該論文的優(yōu)點(diǎn)在哪里，尚有哪些不足.在穩(wěn)定性模型一章，我們講解捕魚(yú)業(yè)的持續(xù)收獲，種群的相互競(jìng)爭(zhēng)，捕食與被捕食模型.在差分方程模型一章，我們講解差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型和按年齡分組的種群增長(zhǎng).在離散模型一章，我們講解層次分析模型，并結(jié)合2010年全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題B題“2010年上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估”的題目以及2011年國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題A題“城市表層土壤重金屬污染分析”進(jìn)行講解，要求學(xué)生們用層次分析法去完成部分題目.

通過(guò)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，我們引入了部分新穎的題目，活躍了課堂氣氛，調(diào)動(dòng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性.特別是歷年競(jìng)賽題目的引入，使得問(wèn)題更加具有實(shí)際意義，一方面使學(xué)生知道所學(xué)知識(shí)的實(shí)際用途，學(xué)有所用，可以用到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解決中，也能夠?qū)⒆约核鶎W(xué)到的方法用到競(jìng)賽中去；另一方面，通過(guò)閱讀歷年的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的獲獎(jiǎng)?wù)撐?，能夠看到我們采用的方法存在的不足之處，還能從論文中學(xué)習(xí)到其他的建模方法，建模思路和學(xué)生們沒(méi)有學(xué)習(xí)到的知識(shí)和方法，以及建模論文的寫(xiě)作技巧，而這些都是我們數(shù)學(xué)模型的課堂很難直接教授給學(xué)生的.學(xué)然后知不足，通過(guò)采用這樣的授課方式，進(jìn)一步地激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣，有效地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

2 教師交叉授課，學(xué)生站上講臺(tái)

數(shù)學(xué)模型這門(mén)課程自開(kāi)課以來(lái)，得到了學(xué)生的普遍歡迎，為了進(jìn)一步提高課堂教學(xué)的效率，考慮到不同的上課教師授課的風(fēng)格習(xí)慣不同，講授的技巧不同，比如有的教師習(xí)慣于黑板加粉筆的傳統(tǒng)授課方式，有的教師喜歡采用多媒體課件授課，有的教師輔導(dǎo)過(guò)多屆學(xué)生參見(jiàn)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，建模經(jīng)驗(yàn)比較豐富，有的教師對(duì)課程的內(nèi)容熟悉，對(duì)知識(shí)的整體把握感強(qiáng)，鑒于此，我們采取了上課教師交叉授課的方式.在一個(gè)學(xué)期的授課過(guò)程中，安排6個(gè)課時(shí)，請(qǐng)其他講授數(shù)學(xué)模型的教師給本班同學(xué)授課，然后對(duì)教學(xué)效果進(jìn)行反饋，取長(zhǎng)補(bǔ)短，提高自己的教學(xué)水平.兩外我們精選6個(gè)小題目，安排6個(gè)課時(shí)請(qǐng)本班學(xué)生來(lái)講課，更大的調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.實(shí)行這一番措施后，學(xué)生們的反應(yīng)非常好，學(xué)生不僅能適應(yīng)不同教師的授課風(fēng)格，還能從一個(gè)被動(dòng)接受的角色轉(zhuǎn)變成主動(dòng)講授的角色.

3 增設(shè)實(shí)驗(yàn)課，提高學(xué)生使用數(shù)學(xué)軟件的能力

針對(duì)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生數(shù)學(xué)理論知識(shí)扎實(shí)，但是計(jì)算機(jī)軟件能力相對(duì)欠缺這一情況，我們除了安排理論課程之外，還專(zhuān)門(mén)安排了相關(guān)的上機(jī)實(shí)踐課程，因?yàn)閿?shù)學(xué)模型的求解，很多都要借助于計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)，比如一般的優(yōu)化問(wèn)題，需要借助LINGO或者LINDO軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)，主成分分析的問(wèn)題，需要借助于統(tǒng)計(jì)軟件SPSS來(lái)實(shí)現(xiàn)，微分方程模型，則大多需要借助MATLAB軟件來(lái)完成.

在實(shí)際的授課過(guò)程中，在講授完書(shū)本上介紹的理論課程后，及時(shí)地安排學(xué)生上機(jī)進(jìn)行實(shí)踐，使學(xué)生能夠熟練地使用相應(yīng)的軟件來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.實(shí)踐課上，要求所有的同學(xué)，能夠使用軟件來(lái)完成書(shū)本上給出的例題.而對(duì)學(xué)有余力的同學(xué)，尤其是理論知識(shí)扎實(shí)，而且計(jì)算機(jī)實(shí)踐能力突出的同學(xué)，安排有一定難度的課外題目要求他們完成.這樣的話，他們就能夠在使用軟件進(jìn)行基礎(chǔ)編程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)軟件的其他功能和技巧，增強(qiáng)他們使用數(shù)學(xué)軟件的能力.

4 改革作業(yè)模式，動(dòng)手又動(dòng)腦

作業(yè)是教學(xué)改革的重要部分，作業(yè)布置得不好會(huì)讓學(xué)生更加討厭這門(mén)課程，相反，作業(yè)布置得好可以激發(fā)學(xué)生更大的學(xué)習(xí)熱情.《數(shù)學(xué)建?！方滩挠泻芏囝}目可供學(xué)生練習(xí)，但是這些題目無(wú)論從形式上，還是從內(nèi)容上都很陳舊，題目的答案也很容易找到，學(xué)生大多彼此抄襲，敷衍了事，根本達(dá)不到預(yù)期的作業(yè)效果.針對(duì)這一情況，我們?cè)O(shè)計(jì)了形式和內(nèi)容都很新穎的作業(yè)題.

為了鍛煉學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，我們布置的一個(gè)作業(yè)題目是發(fā)給每個(gè)人一個(gè)形狀不規(guī)則的卡片如圖1所示，讓他們分別用梯形公式，Simpson公式，復(fù)化梯形公式，復(fù)化Simpson公式計(jì)算其面積.作業(yè)最后以小論文的形式上交，作業(yè)內(nèi)容包括設(shè)計(jì)算法，編寫(xiě)代碼，圖像展示數(shù)值結(jié)果，估計(jì)誤差.由于每個(gè)人的卡片不同，堅(jiān)決杜絕了作業(yè)抄襲的現(xiàn)象.另外由于形式新穎，且需要?jiǎng)邮譁y(cè)量，極大的調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

圖1 數(shù)值積分計(jì)算面積

還有的作業(yè)題目需要自己搜索資料和數(shù)據(jù)，例如我們考慮曲靖地區(qū)的氣溫變化，以24小時(shí)為小周期變化，與此同時(shí)日平均氣溫又隨季節(jié)變化，以一年為周期改變，建立數(shù)學(xué)模型刻畫(huà)時(shí)間與曲靖氣溫之間的關(guān)系.這個(gè)題目就需要學(xué)生自己去搜索曲靖市歷年氣溫變化情況，不僅鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，還鍛煉了學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)，查找文獻(xiàn)和數(shù)據(jù)的能力.

5 改革學(xué)生成績(jī)的考核方式

以前學(xué)生的綜合成績(jī)?cè)u(píng)定為平時(shí)成績(jī)占20%，期中成績(jī)占20%，期末成績(jī)占60%.期中和期末考試都采用閉卷形式，考察學(xué)生掌握知識(shí)的情況，但是根本考察不到學(xué)生的實(shí)踐能力和駕馭知識(shí)的能力.在這種考試模式下，學(xué)生往往出于對(duì)高分的追求，相應(yīng)的學(xué)習(xí)重心也發(fā)生轉(zhuǎn)移，過(guò)分注重書(shū)本上的理論知識(shí)，忽略了實(shí)踐能力的培養(yǎng)，這與我們開(kāi)設(shè)這門(mén)課的初衷是相違背的.因此，我們對(duì)考核方式進(jìn)行改革.綜合成績(jī)?cè)u(píng)定為平時(shí)成績(jī)占10%，期中成績(jī)占20%，上機(jī)實(shí)驗(yàn)成績(jī)占10%，期末成績(jī)占60%.平時(shí)成績(jī)主要是考勤和作業(yè)情況，所以不用占很大比例.我們?cè)黾恿松蠙C(jī)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，突出考察學(xué)生的實(shí)踐能力.我們還將期中考試的閉卷考試形式改成了提交一篇數(shù)學(xué)建模的小論文.授課教師指定若干題目，學(xué)生在老師制定的題目當(dāng)中任意選擇題目來(lái)做，這樣能有效地杜絕學(xué)生之間相互抄襲，提高學(xué)生的寫(xiě)作能力以及實(shí)踐能力，這部分的內(nèi)容占學(xué)生課程總成績(jī)的20%.通過(guò)這種考核方案的調(diào)整，能夠從一定程度上糾正學(xué)生只偏重書(shū)本理論知識(shí)的學(xué)習(xí)而忽略了實(shí)踐能力培養(yǎng)的學(xué)習(xí)方式.實(shí)踐證明，新的考核方式使得學(xué)生的使用計(jì)算機(jī)軟件能力以及論文的寫(xiě)作能力得到很大的提高.

我們鼓勵(lì)學(xué)生積極參加數(shù)學(xué)建模的網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，通過(guò)參加競(jìng)賽，學(xué)生把書(shū)本上學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題的解決中，進(jìn)一步地熟悉數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程，通過(guò)這樣的實(shí)戰(zhàn)演練，提高了學(xué)生的綜合能力.另外，通過(guò)參加競(jìng)賽，提高了學(xué)生快速查閱文獻(xiàn)的能力以及論文寫(xiě)作能力，而這些都是數(shù)學(xué)模型教學(xué)課堂沒(méi)有辦法直接教授給學(xué)生的.

以上是我們?cè)跀?shù)學(xué)模型教學(xué)課程中采用的一些方法和探索，一定存在很多不足之處.全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽正如火如荼地展開(kāi)，每年都有新題型、新問(wèn)題出現(xiàn)，這也給數(shù)學(xué)模型的課程帶來(lái)了新變化.而且，隨著新方法新技術(shù)的出現(xiàn)，數(shù)學(xué)模型課程的內(nèi)容也會(huì)發(fā)生變化.因此，數(shù)學(xué)模型課程的改革任重而道遠(yuǎn)，我們還要繼續(xù)努力，爭(zhēng)取把數(shù)學(xué)模型課程建設(shè)成為校級(jí)精品課程.

〔1〕羅衛(wèi)民,李昌興,史克剛.“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”與“數(shù)學(xué)建?！闭n程教學(xué)改革[J].高等工程教育研究,2005（6）：110-112.

〔2〕李大潛.素質(zhì)教育與數(shù)學(xué)教學(xué)改革.2000(03).

〔3〕姜啟源.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2001,31（5）.

〔4〕楊啟帆,談之奕,何勇.數(shù)學(xué)建模[M].江蘇:浙江大學(xué)出版社,2010.

〔5〕趙靜，但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社,2009.

〔6〕姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社,2009.