劉漢陽 黃松清

（安徽工業(yè)大學電氣信息學院，安徽 馬鞍山 243002）

電力電子技術是21世紀最有潛力、應用最為廣泛新興技術之一[1]。但是電力電子裝置應用到的開關器件均工作在非線性狀態(tài)，使得對其分析一直停留在定性的階段，這也成為電力電子技術應用的瓶頸。常規(guī)的開關模型沒有完整描述電力電子裝置的能力，在分析上多采用仿真結合實驗的對比和推演分析，并不能全面揭示出裝置內(nèi)部的工作規(guī)律，總有管中窺豹之感。在這種分析方法下，大量數(shù)學工具無法得到應用，給控制算法的優(yōu)化研究帶來了很大困難，同時也造成了電力電子裝置的設計和改進多依靠經(jīng)驗。

PWM 控制方法目前為止是眾多電力電子裝置對開關器件的控制方法。在仔細分析眾多的PWM控制算法后，能夠發(fā)現(xiàn)它們?nèi)源嬖谝恍┕餐膯栴}：

1）控制算法繁多，有些算法大同小異，研究上有一定的盲目性。

2）各種算法直接存在內(nèi)在聯(lián)系，但目前并沒有人在數(shù)學層面上對其進行完整的揭示，致使算法研究存在重復性。

3）對各種優(yōu)化算法優(yōu)劣的評判標準主要靠仿真和實驗驗證，缺少系統(tǒng)的量化分析。

缺少一種統(tǒng)一的分析工具是導致這些問題的重要原因，本文提出一種將開關狀態(tài)函數(shù)化的分析方法，巧妙地將數(shù)學分析工具引入到電力電子技術的分析過程中。找出了函數(shù)化后的電力電子裝置定義域，將輸出定義為所需要的 PWM信號。因此，可以將已有的 PWM控制算法用開關狀態(tài)函數(shù)的形式統(tǒng)一的表達，并以此產(chǎn)生輸出信號；也可以根據(jù)裝置輸出指標要求得到控制所需的 PWM信號。可見此方法可對各種 PWM控制算法進行統(tǒng)一分析，簡化研究的復雜度。最后將這種全新的分析方法應用到多電平逆變器的分析之中。

1 開關狀態(tài)函數(shù)

將電力電子裝置中的一個或幾個開關器件在某一時刻整體的開通關斷狀態(tài)定義為電力電子裝置的開關狀態(tài)S。無論電力電子裝置采用何種電路拓撲結構，在某一時刻經(jīng)開關器件變換輸出的電壓都至少對應一種開關狀態(tài)，而某一時刻每個開關狀態(tài)只對應一種輸出電壓。由此可見開關狀態(tài)是時間的函數(shù)，而裝置的輸出電壓是開關狀態(tài)和時間的函數(shù)

在這種情況下去推導輸出電壓的解析式并不容易，因為即使開關狀態(tài)一定，電壓依然是時間的函數(shù)，可能會隨時間變化。但當變換裝置的電源為穩(wěn)定直流時，裝置只能靠不同開關組合產(chǎn)生有限種輸出電壓，此時輸出電壓是幅值離散的連續(xù)信號，一種開關狀態(tài)只能對應一種輸出電壓。在實際應用中控制系統(tǒng)多為數(shù)字系統(tǒng)，在每個控制周期里裝置輸出為一組電壓序列，第n個控制周期的輸出電壓可表達為

式中，Ts為系統(tǒng)控制周期，m是開關狀態(tài)的數(shù)量，AnS是開關狀態(tài)S在第n個控制周期里的作用區(qū)間，可通過計算機或者微控制器離線或在線計算得到。

利用式（2）可得出在連續(xù)時間上輸出電壓的表達式

式（2）和式（4）即為變換裝置輸出電壓的開關狀態(tài)函數(shù)表達式，可見開關狀態(tài)函數(shù)相當于一種基函數(shù)，任意波形的輸出電壓均可以由開關狀態(tài)函數(shù)的組合來表達。不同的控制算法的區(qū)別僅僅在于AnS的計算方法不同，所以可以基于開關狀態(tài)函數(shù)對各種控制算法進行統(tǒng)一地分析并得出開關器件的控制信號，這就是開關狀態(tài)函數(shù)的分析方法?？梢婇_關狀態(tài)函數(shù)特別適用于分析那些對直流電源進行變換的電力電子裝置。

對得到電壓序列表達式的過程進行逆向思考，可知能夠在已知電壓序列的情況下得到與之對應的開關狀態(tài)分布情況，由此在實際設計中我們就可以根據(jù)裝置期望的輸出要求得到開關器件的控制信號。裝置的一種電壓輸出可能對應了多種開關狀態(tài)，所以設電壓Um對應的開關狀態(tài)集合為Sm。定義函數(shù)為

通過式（5）即可由裝置的輸出電壓得到相應的開關狀態(tài)的集合，進一步要根據(jù)系統(tǒng)要求的控制目標來合理地選擇開關狀態(tài)，此過程即為上面開關狀態(tài)函數(shù)化表達的逆過程。至此通過開關狀態(tài)函數(shù)建立了裝置的輸出電壓和開關狀態(tài)之間較為完整的關系，二者的互逆關系給系統(tǒng)的分析和設計帶來了很大方便。

下面利用開關狀態(tài)函數(shù)的分析方法對圖1所示電路做簡要分析。此電路即為基本的Buck變換電路，電路有兩種開關狀態(tài)，可定義S的定義域為{0, 1}，0表示開關導通1表示開關關斷。若控制周期為0.002s，占空比為0.5，輸出電壓為

由開關狀態(tài)函數(shù)得到系統(tǒng)輸出電壓的準確表達式，則負載電流可充分利用系統(tǒng)分析的方法來求解。

圖1 Buck變換電路

基于基爾霍夫回路方程，可得電路微分方程為

易求電流的沖擊響應h(t)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為激勵函數(shù)u(t)與h(t)的卷積

將系統(tǒng)離散化，則式（7）改寫為差分方程的形式有

x(nT)是輸出電壓u(t)的采樣序列，y(nT)是負載電流序列。

同樣有式（8）的離散形式

減小樣值時間T，利用計算機可以較為精確的求解式（9）和式（10）。

可見利用開關狀態(tài)函數(shù)得到電力電子裝置輸出電壓表達式后，可以較為方便的引入傳統(tǒng)系統(tǒng)分析方法對輸出進行分析。將表達式離散化后，可以方便的利用計算機對各表達式進行數(shù)值求解，也可進一步對信號進行變換和分析，方法的通用性較強。

2 開關狀態(tài)函數(shù)在多電平逆變器分析中的應用

多電平逆變器具有輸出電壓電流諧波小、降低器件的電壓應力和耐壓等級要求等優(yōu)點，因而在高壓調(diào)速、靜止無功補償?shù)榷鄠€領域得到應用[5-7]。多電平逆變器的 PWM控制技術一直是多電平逆變技術的研究重點之一，但長期以來并沒有一種分析方法能夠對現(xiàn)存的方法進行統(tǒng)一的分析和比較。這導致了在實際應用中控制算法選擇和實現(xiàn)的困難，同時也造成了PWM算法研究的重復性和盲目性。文獻[3]利用開關狀態(tài)函數(shù)對三電平逆變電路進行了分析，但所提方法不能簡單有效的分析更多電平的電路。下面提出一種更有效的開關狀態(tài)函數(shù)的分析方法，對多電平逆變器進行分析并提出一種根據(jù)輸出要求得到三電平開關序列排布的簡易方法和一種逆變器輸出諧波的計算方法。

2.1 多電平逆變器的開關狀態(tài)函數(shù)

設逆變器直流母線電壓為UDC，由圖2可得對于一個m電平逆變器，每一級電平值為

圖2 多電平逆變器開關模型

則每一相可以輸出的電平為0，E，2E，…，(m-1)E。定義逆變器輸出電壓的最低電位為參考零點0，0′為三相對稱負載的中點，三相開關狀態(tài)為Sa，Sb，Sc，則逆變器三相輸出電壓為

在三相負載平衡的情況下負載的相電壓之和為0，將式（14）各項相加得

將式（15）代回式（14）中，可得

將式（11）帶入式（12）和式（16）中并將其改寫成矩陣形式可得逆變器輸出相電壓和負載相電壓關于開關狀態(tài)的函數(shù)

開關狀態(tài)與電壓空間矢量之間也有著密切關系。定義m電平電壓空間矢量關于開關狀態(tài)的函數(shù)為

圖3 三電平逆變器的電壓空間矢量與開關狀態(tài)

式中，1=ej0°、a=ej120°、a2=ej240°分別為A相、B相和C相電壓的單位空間矢量。由此定義可得到多電平逆變器輸出電壓的空間矢量圖。如圖3所示空間電壓矢量圖中的每一個頂點都是一種獨立的電壓空間矢量，總數(shù)為3m(m - 1)+1。而逆變器的開關狀態(tài)共有m3種，除了最外側的空間矢量外，其它空間矢量都對應了多種開關狀態(tài)，此即開關狀態(tài)的冗余。進一步分析可知開關狀態(tài)的冗余的本質(zhì)是疊加在線電壓上的共模電壓，冗余狀態(tài)間有如下關系，即

式中，k為開關狀態(tài)冗余系數(shù)。

由以上分析可以得多電平逆變器的開關狀態(tài)與逆變器輸出電壓以及空間電壓矢量有著簡單的線性映射關系，因此開關狀態(tài)函數(shù)可以作為多電平逆變器的有力分析工具。事實上在數(shù)字系統(tǒng)中，載波調(diào)制法多采用對稱規(guī)則采樣，在每個采樣周期里逆變器三相輸出電壓都是關于Ts/2對稱的電壓序列。在上面的分析中指出，在這種調(diào)制方法下各種PWM控制方法的差異僅僅是電壓序列中各個電壓（也即開關狀態(tài)）的作用時間的計算方法不同，這就為用統(tǒng)一的分析方法去分析不同的控制方法提供了可能性。

2.2 一種三電平開關序列排布的簡易方法

多電平逆變器的 PWM控制法主要可分為載波調(diào)制法，消除特定諧波法（開關點預置 PWM法）和空間電壓矢量調(diào)制法?；谶@三種 PWM控制算法，針對不同的電路結構和要求，又可以派生出許多具體優(yōu)化的多電平PWM控制法[6-9]。這些算法實際上是逆變器輸出電壓序列排布方法有所不同，也即開關序列排布方法不同。

將開關狀態(tài)函數(shù)化后可以揭示出一些普通分析方法較難發(fā)現(xiàn)的控制規(guī)律。下面提出一種根據(jù)輸出要求得到三電平開關序列排布的簡易方法。

設圖3中由電壓矢量000、100、110的頂點圍成的三角形為ΔABC，以參考矢量Uref位于ΔABC區(qū)域里的情況為例。此時根據(jù)NTV法則（Nearest Triangle Vectors）需利用UA、UB、UC三個電壓矢量根據(jù)秒伏平衡的原理來合成Uref。開關狀態(tài)的排布要滿足兩個基本原則：每個采樣周期內(nèi)開關狀態(tài)序列應歷遍三種電壓矢量；每次開關狀態(tài)切換時只能有一位改變且只變化一級。這保證了每次切換只有一個橋臂上的開關動作從而降低開關頻率，同時杜絕了電源正負極直通的情況。將含有“0”的開關狀態(tài)排在最底層，在式（20）中令k從零開始增加依次向上排列出其他的冗余狀態(tài)，則三個電壓矢量的開關狀態(tài)排列成圖4的形式。此時只要選擇一個開關狀態(tài)作為起點沿圖4中所示路徑按一個方向變化即可快速查找出所有滿足以上兩個基本原則的開關序列，進一步可根據(jù)不同的控制目標對開關序列進行選擇。此方法適用于任意電平逆變器的分析，尤其當電平數(shù)增加時開關狀態(tài)冗余進一步增多，用此方法來排布開關狀態(tài)可大大降低工作量。

圖4 開關序列排布方式

以三電平二極管鉗位電路的中點電壓作為附加控制目標說明此方法的應用。按照電壓矢量的幅值一般可將三電平電壓空間矢量分為4類：零矢量、短矢量、中矢量、長矢量。電路輸出零矢量和長矢量時電容上沒有電流流過，所以二者對中點電壓沒有影響。中矢量的開關狀態(tài)沒有冗余，但中矢量自身對中點電壓偏移有平衡作用。每個短矢量對應兩個開關狀態(tài)，且這兩個開關狀態(tài)對中點電壓的影響是相反的。因此通過在一個開關序列周期里排布兩個對中點電壓起相反作用的短矢量開關狀態(tài)可達到修正中點電壓偏移和抑制中點電壓波動的目的[10-11]。仍以上述ΔABC區(qū)域為例，若采用七段式矢量合成方案，則一個開關序列周期里要包含UB或UC的兩個開關狀態(tài)。利用圖4可得出4種可選方案。

1）選擇100為起點：

100—110—111—211—111—110—100

2）選擇211為起點：

211—111—110—100—110—111—211

3）選擇110為起點：

110—111—211—221—211—111—110

4）選擇221為起點：

221—211—111—110—111—211—221

對于方案1）來說，結合中點電壓和中點電流的方向合理分配開關狀態(tài)100與211的作用時間即可達到對中點電壓平衡控制的目的，其他方案同理。有關各矢量作用時間計算以及分配的問題國內(nèi)外學者已提出了多種方法，這里不再贅述[10-14]。

2.3 開關狀態(tài)函數(shù)化方法應用—逆變器輸出諧波分析

以三電平逆變器為例，為減小開關損耗令uA0、uB0、uC0在一個采樣周期里一般最多跳變兩次。

則A相在一個采樣周期里輸出電壓序列為

根據(jù)式（21）可知一個完整的2π電角度周期內(nèi)，逆變器輸出電壓表達式為

對u(t)做周期拖延后得到的周期函數(shù)顯然滿足Dirichlet條件，則可對輸出電壓進行Fourier級數(shù)展開

根據(jù)式（18）可推得A相負載相電壓的n次諧波的幅值為

利用式（23）、（24）、（25），借助計算機可以比較簡單準確的計算出逆變器輸出電壓序列的各階諧波幅值。

3 仿真結果

Simulink RTW（Real-TimeWorkshop，新版Simulink中稱為 Simulink Coder）可以從Simulink模塊、Matlab函數(shù)搭建的仿真模型生成目標芯片的可執(zhí)行代碼，并在Simulink與目標芯片間建立通信路徑從而實現(xiàn)在Simulink平臺上結合外部實物系統(tǒng)進行包括半實物實時仿真等多種仿真功能，這大大提高了驗證算法可行性的速度，縮短了系統(tǒng)開發(fā)的周期。為方便用戶使用RTW生成TI DSP C2000系列芯片的可執(zhí)行代碼，TI公司與Mathworks公司聯(lián)合開發(fā)了Target Support Package TC2軟件包并DSP C2000系列芯片中的各個部分抽象封裝成Simulink模塊形式。

本系統(tǒng)運用Simulink搭建了三相鉗位式三電平逆變器，依據(jù)上文所提方法編寫了基于C語言的S-function實現(xiàn)了一種帶有中點點位平衡功能的三電平SVM 算法和諧波計算算法，并利用Simulink RTW和Target Support PackageTC2實現(xiàn)了仿真與DSP芯片間的耦合，令仿真更具現(xiàn)實意義。仿真參數(shù)如下：直流電源電壓600V，鉗位電容470μF，調(diào)制度0.8，輸出電壓頻率50Hz，仿真采樣時間1×10-6s，控制周期2×10-4s，三相對稱RL負載：R=10Ω，L=0.1H。圖5（a）、（b）、（c）、（d）分別為逆變器輸出的線電壓、負載相電壓、負載電流和中點電壓的仿真波形?？梢娯撦d相電壓在任何時刻沒有發(fā)生超過兩個電壓階梯的躍變，負載電流較接近正弦波，中點電壓的波動幅度控制在5V以內(nèi)。表1為計算得到的負載相電壓奇次諧波的幅值。可見算法較好的實現(xiàn)了三電平SVM算法且具有平衡中點電壓的能力。系統(tǒng)設計采用ICETEK-F2812-A評估板實現(xiàn)控制部分，評估板硬件結構如圖6所示。DSP2812包含兩個獨立的EV模塊，每個模塊可輸出三路兩兩互補的 PWM波形。程序設計中對兩個EV模塊進行統(tǒng)一配置，使12路PWM信號同步工作，對電路中12個開關器件進行控制，達到了充分利用DSP片上資源的效果。

圖5 仿真波形

表1 負載相電壓諧波幅值

圖6 ICETEK-F2812-A評估板硬件結構

4 結論

本文通過分析總結傳統(tǒng)電力電子分析方法的弊端，提出了一種開關狀態(tài)函數(shù)的分析方法，巧妙地將數(shù)學分析工具引入到電力電子技術的分析過程中，力圖從數(shù)學上做到對電力電子裝置較為完整且統(tǒng)一的分析。因此，可以根據(jù)傳統(tǒng)的 PWM技術，得到多電平PWM控制信號；也可以根據(jù)逆變器輸出要求得到控制需要的 PWM信號。通過利用此方法對多電平逆變器的分析以及仿真實現(xiàn)驗證了方法的可行性和有效性。開關狀態(tài)函數(shù)的分析方法提供了一種運用數(shù)學手段完整描述電力電子裝置的途徑，為將更多的數(shù)學工具引入分析和優(yōu)化工作中奠定了基礎。

[1]陳堅.電力電子學—電力電子變換和控制技術[M].2版.北京:高等教育出版社，2004.12.

[2]黃松清.電壓型變頻器—三相交流異步電動機傳動系統(tǒng)的穩(wěn)定性[J].控制理論與應用,2005,22(2):223-228.

[3]趙圣寶,黃松清,胡寅峰.基于開關狀態(tài)函數(shù)化的三電平逆變器分析及仿真研究[J].電氣技術, 2010(6).

[4]孫長冬，黃松清，劉緒良，等.一種改進的七電平逆變器對比仿真研究[J].電氣技術, 2010(1).

[5]NABAEA,TAKAHASHII,AKAGIH.A new neutral-point clamped PWM inverter [J]. IEEE Trans.Ind. Applicat., 1981, IA-17(5): 518-523.

[6]LAI J S, PENG F Z. Multilevel inverters: A new breed of power converters[J]. IEEE Transaction on Industry Application, 1996, 32(3): 509-517.

[7]劉鳳君.多電平逆變技術及其應用[M].北京:機械工業(yè)出版社, 2007.4.

[8]姜衛(wèi)東,王京群,陳權.一種完全基于兩電平空間矢量調(diào)制的三電平空間矢量調(diào)制算法[J].電工技術學報, 2009, 24(1): 108-114.

[9]HOU X, LI Y D, LIU Y H. A novel general space vector modulation algorithm for multilevel inverter based on imaginary coordination[C]. PEDS’03 Record,2003: 201-207.

[10]宋文祥,陳國呈,武慧,等.一種具有中點電位平衡功能的三電平空間矢量調(diào)制方法及其實現(xiàn)[J].中國電機工程學報, 2006, 26(12): 95-100.

[11]SHEN J, STEFAN S, ROBERT R. A comprehensive study of neutral-point self-balancing effect in neutral-point-clamped three-level inverters[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2011, 26(11):3084-3095.

[12]竇真蘭,張同莊,凌禹.三電平NPC 整流器空間矢量脈寬調(diào)制及中點電位平衡控制[J].電力自動化設備, 2008, 28(2): 65-69.

[13]宋強,劉文華.基于零序電壓注入的三電平 NPC逆變器中點電位平衡控制方法[J].中國電機工程學報,2004, 24(5): 58-62.

[14]宋文祥,陳國呈,束滿堂,等.中點鉗位式三電平逆變器空間矢量調(diào)制及其中點控制研究[J].中國電機工程學報, 2006, 26 (5): 105-109.