楊少華

數(shù)值分析是研究各種數(shù)學(xué)問題計算方法的課程，其研究內(nèi)容繁雜，包括函數(shù)逼近、非線性方程與方程組的數(shù)值解法、數(shù)值微分與數(shù)值積分、微分方程初值問題的數(shù)值解法等，把數(shù)學(xué)理論與計算機技術(shù)緊密結(jié)合起來，重點研究數(shù)學(xué)問題的近似解求法及理論。隨著計算機技術(shù)的普及和發(fā)展，數(shù)值求解方法在生產(chǎn)實踐、工程技術(shù)和社會發(fā)展等眾多領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越廣泛，如力學(xué)、物理學(xué)、航空航天、能源開發(fā)和金融風(fēng)險投資等領(lǐng)域內(nèi)的有關(guān)人員，都將計算方法作為自己領(lǐng)域內(nèi)的一種重要的應(yīng)用工具。

數(shù)值分析有著數(shù)學(xué)課程的高度抽象性、理論嚴謹性，又有著自身的廣泛實用性。該課程以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)值算法設(shè)計原理和理論分析能力為目標，要求學(xué)生能根據(jù)數(shù)學(xué)問題建立模型，設(shè)計出計算方法，然后上機運算出結(jié)果，使學(xué)生在掌握理論基礎(chǔ)的同時，具有抽象思維能力和解決問題的能力。由于其廣泛的應(yīng)用性，數(shù)值分析目前已成為很多專業(yè)的必修課程。因此，進一步提高數(shù)值分析課程的教學(xué)效果，改進數(shù)值分析課程的教學(xué)方法，成為高校教師關(guān)注的焦點。

1 數(shù)值分析與計算機技術(shù)關(guān)系密切

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展和完善，許多領(lǐng)域的科學(xué)研究越來越離不開計算機，而數(shù)值分析與計算機的聯(lián)系更是密切。它需要設(shè)計出合理可行、能經(jīng)得起誤差檢驗、有好的計算復(fù)雜性的算法，然后通過計算機的運行得到數(shù)值解，這是它不同于其他數(shù)學(xué)課程的顯著特點。在此，數(shù)值分析中的算法設(shè)計起到橋梁作用，它把該課程的理論基礎(chǔ)與計算機技術(shù)緊密聯(lián)系在一起，為得到數(shù)值結(jié)果起到重要的作用。

1.1 計算結(jié)果需要進行誤差檢驗

數(shù)值分析主要研究算法設(shè)計原理，利用計算機得到較高精度的數(shù)值解，然后對結(jié)果進行誤差分析。誤差分析是一個重要而復(fù)雜的過程，而對誤差進行定量分析更是一個復(fù)雜的過程，通常只能對數(shù)值結(jié)果進行定性或可靠性分析，因此，算法的設(shè)計必須有堅實的理論基礎(chǔ)，具有收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性，也就是說能無限逼近真實解，達到計算的精度要求。而穩(wěn)定性分析建立在相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上，因此要求算法設(shè)計者具有扎實的數(shù)學(xué)功底。誤差分析因其復(fù)雜、抽象、理解較困難，一直都是數(shù)值分析課程的教學(xué)重點和難點。在實際教學(xué)中可通過一些簡單的例子讓初學(xué)者掌握誤差分析的基本方法，由淺入深，達到最終的教學(xué)目的。要讓學(xué)生明白數(shù)值計算過程中不可省略誤差的分析與檢驗，而對誤差的準確分析與檢驗需要扎實的數(shù)學(xué)理論功底。

1.2 計算方法要合理可行

由于數(shù)值分析與計算機的密切關(guān)系，在解決計算復(fù)雜、非人力所能解決的計算問題時，要設(shè)計出計算機能接受、滿足精度要求、計算省時的優(yōu)良算法。因此，要設(shè)計出合理、可行的算法，同時準確地將算法描述成計算機所能接受的程序，這是得到數(shù)值解的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，否則無法得到結(jié)果。在教學(xué)中，要讓學(xué)生掌握算法設(shè)計的方法、規(guī)則和描述語言，在實例中感受和理解設(shè)計出合理可行的算法的重要性，教師在上課時必須注意這方面的訓(xùn)練。

1.3 算法的設(shè)計要符合計算機的特點

計算問題的最終目的是要把設(shè)計好的算法轉(zhuǎn)換成計算機所能接受的某種語言，然后通過計算機運算出結(jié)果，所以算法的設(shè)計還需要考慮到輔助工具計算機的特點。針對具體問題在一定限制條件和思想指導(dǎo)下設(shè)計出具有好的計算復(fù)雜性的算法，這包括兩方面內(nèi)容：其一是指時間復(fù)雜性，能節(jié)約運行時間；其二是指空間復(fù)雜性，能節(jié)省存儲空間，這是算法設(shè)計的基本要求，它對能否得到計算結(jié)果起到關(guān)鍵作用。在教學(xué)中，教師應(yīng)加強學(xué)生對算法復(fù)雜性分析的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生進行算法設(shè)計與改良，指導(dǎo)學(xué)生進行獨立性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，設(shè)計出節(jié)約運行時間、節(jié)省存儲空間的算法。

1.4 試驗在數(shù)值分析中占據(jù)著至關(guān)重要的地位

具備上述3個特點的算法最終還要被證明是行之有效的。算法設(shè)計的復(fù)雜性和計算機運行的特點使得算法可能出現(xiàn)異常結(jié)果，不符合實際意義，所以教師在傳授理論知識的同時，還要加強培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力。通過算法設(shè)計實例的講解，引導(dǎo)學(xué)生主動理論聯(lián)系實踐，提高學(xué)生解決數(shù)值計算問題的實際能力。此外，還要重視對數(shù)值計算結(jié)果的分析、討論。通過對實驗的體會和回味，使學(xué)生了解算法設(shè)計的優(yōu)缺點，驗證數(shù)值結(jié)果的可靠性，解釋出現(xiàn)異常結(jié)果的原因，進一步鞏固和消化理論知識，提高科學(xué)計算能力。

2 傳統(tǒng)數(shù)值分析教學(xué)中出現(xiàn)的突出問題

2.1 內(nèi)容、知識點多，難以全面掌握

數(shù)值分析這門課程內(nèi)容比較多，信息量比較大，對于既需要接受理論基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)又要完成試驗課任務(wù)的學(xué)生來說，一個學(xué)期的教學(xué)時間遠遠不夠。想讓學(xué)生在規(guī)定的教學(xué)時數(shù)內(nèi)真正掌握這些內(nèi)容比較困難，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生已經(jīng)具備一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，情況相對來說會好一些，而對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言情況可能會雪上加霜。

2.2 片面重視理論，授課方式單調(diào)

目前，數(shù)值分析的教學(xué)中依然存在理論與實踐嚴重脫節(jié)的問題，然而這門課程具有很強的實踐特征。由于教學(xué)時數(shù)不夠，大多數(shù)教師只講授書本的理論部分，學(xué)生無法真正理解理論的用處，不能體會到理論對實踐的指導(dǎo)作用。很多學(xué)生只是為了考試而學(xué)習(xí)，這樣他們只獲得了表層知識，而沒有抓住知識的精髓和實質(zhì)。

2.3 理論晦澀、公式繁雜，不利于記憶

數(shù)值分析是數(shù)學(xué)的分支，與其他數(shù)學(xué)課程一樣有著抽象的理論，但數(shù)值分析還具有其他數(shù)學(xué)課程所不具備的實踐性強的特點。之前學(xué)生對數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)大都是先學(xué)習(xí)理論，然后根據(jù)理論完成相應(yīng)的作業(yè)，邏輯推理的特性比較強，并且知識結(jié)構(gòu)的銜接非常緊湊，而數(shù)值分析各部分內(nèi)容自成體系，邏輯性、連貫性不強，學(xué)習(xí)內(nèi)容的巨大差異，加上學(xué)生的思想模式不能很快轉(zhuǎn)變，使得教學(xué)效果差強人意。此外，數(shù)值分析比之前所學(xué)的其他數(shù)學(xué)課程的公式更加繁雜，證明過程更是抽象，這也是學(xué)生不感興趣的主要原因。學(xué)生對數(shù)值分析這門課程的重要性認識不足，不能領(lǐng)會到數(shù)值分析這門課程對后續(xù)課程學(xué)習(xí)的重要作用，在學(xué)習(xí)中稍稍遇到困難時，他們往往就知難而退，喪失了學(xué)好課程的信心。

3 數(shù)值分析教學(xué)改革的舉措

3.1 優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，減小學(xué)習(xí)壓力

數(shù)值分析課程的教學(xué)內(nèi)容多、任務(wù)重，但學(xué)時有限，所以我們要仔細篩選，做到重點突出，但同時能圓滿完成教學(xué)大綱規(guī)定的任務(wù)。為使學(xué)生在理論課程的學(xué)習(xí)過程中能熟練掌握現(xiàn)代科學(xué)計算中常用的數(shù)值計算方法，在教學(xué)過程中要及時將教研、科研成果向?qū)W生介紹，使他們了解本學(xué)科最新的研究成果，開拓視野，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，形成完整的理論體系，為學(xué)習(xí)后續(xù)課程奠定基礎(chǔ)。實驗課教學(xué)是數(shù)值分析課程必不可少的教學(xué)環(huán)節(jié)，這個過程主要是使學(xué)生根據(jù)之前掌握的計算機知識和相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件把設(shè)計出的算法編程，利用計算機運算出結(jié)果，然后分析結(jié)果的可靠性，可以培養(yǎng)學(xué)生利用計算機進行科學(xué)計算和解決實際問題的能力，為以后從事科學(xué)工作打下良好的基礎(chǔ)。為實現(xiàn)這一目的，課前要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容詳細地設(shè)計實驗課，要求學(xué)生熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件編制程序，上機實現(xiàn)算法，仔細研究、分析實驗結(jié)果，將理論與實踐相結(jié)合，培養(yǎng)自己的實踐能力。

3.2 培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)求知欲

課堂教學(xué)是教師傳授知識的主要方式，由于數(shù)值分析的內(nèi)容抽象、公式繁雜，學(xué)生難免會有畏懼的心理，在聽課的過程中稍稍走神，后面的內(nèi)容就會聽不懂。因此，對數(shù)值分析的教學(xué)要特別注重課前的預(yù)習(xí)，在講每一部分內(nèi)容之前把這一章和每個小節(jié)的主要內(nèi)容及解決問題的思路告訴學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生對新內(nèi)容進行預(yù)習(xí)，課外獨立思考，尋找補充材料，讓他們考慮能否得到問題的準確解。在教學(xué)環(huán)節(jié)上，可采用以數(shù)值問題產(chǎn)生的背景為出發(fā)點，仔細講解問題的分析過程以及如何設(shè)計出合理的算法，最終上機運算出結(jié)果的方式，這樣可以喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高他們的學(xué)習(xí)興趣。此外還可以應(yīng)用靈活的教學(xué)方式，如設(shè)計出難易適中的問題，在課堂上讓學(xué)生分組討論、給出結(jié)果，并對他們的結(jié)果進行分析與評價，這樣既可以調(diào)動他們學(xué)習(xí)的積極性，還可以促使他們相互啟發(fā)，不斷深化認識，使問題的解決方案逐漸完善，讓學(xué)生從中體會到成功的喜悅和學(xué)習(xí)的樂趣，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的熱情。

3.3 多學(xué)科相融合，培養(yǎng)實踐能力和創(chuàng)新能力

數(shù)值分析是培養(yǎng)學(xué)生實踐能力的最佳課程，因為它需要人們通過計算機解決數(shù)值計算問題，所以掌握好計算機知識、增強學(xué)生的實踐能力是學(xué)好該課程的關(guān)鍵。選擇合適的教學(xué)軟件，將數(shù)值理論方法和計算機知識相結(jié)合，處理一些實際問題，在解決問題的過程中讓學(xué)生找到自己的不足之處，然后老師給出具體啟發(fā)性、引導(dǎo)性的回答，培養(yǎng)他們獨立解決問題的實踐能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，使學(xué)生真正學(xué)好這門課程。另外，教師還要高度重視培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)和研究等創(chuàng)新能力，改變學(xué)生理論知識與實際應(yīng)用脫節(jié)的問題。在教學(xué)時，由介紹新知識產(chǎn)生的背景將新知識引出，需要教師在課前充分備課，查閱文獻資料，向?qū)W生介紹問題是如何產(chǎn)生的，對問題進行剖析，建立數(shù)學(xué)模型，最終解決問題，為創(chuàng)新能力的培養(yǎng)奠定扎實的理論基礎(chǔ)。另外，針對教材內(nèi)容陳舊、作業(yè)形式單一等問題，教師可以通過布置一些簡單的學(xué)術(shù)文獻閱讀來彌補教材內(nèi)容陳舊的缺陷，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。在實施的過程中，可對班里的同學(xué)進行分組，對組內(nèi)成員的工作進行分工，將問題的處理過程寫成論文，并安排陳述和答辯，這對學(xué)生的團隊合作能力和創(chuàng)新能力的提高有很大的幫助。

3.4 建立科學(xué)的考核機制

在傳統(tǒng)的教學(xué)中，判斷學(xué)生對知識的掌握情況往往是通過閉卷考試，這一方式往往沒有考慮數(shù)值分析突出的實踐性特點，將學(xué)生引入學(xué)習(xí)的誤區(qū)。這門課程的考核應(yīng)該將平時成績（書面作業(yè)和上機作業(yè)）和期末成績相結(jié)合，按一定比例算出最終的綜合成績，兼顧到對理論知識的掌握和實際動手能力的考核，而科學(xué)的考核機制將為學(xué)生更好地學(xué)習(xí)這門課程、教師完成教學(xué)大綱規(guī)定的教學(xué)任務(wù)指出明確的方向。

4 結(jié)語

數(shù)值分析是一門理論抽象、公式繁雜、不易記憶、實用性很強的課程。根據(jù)以上特點，我們提出以學(xué)生為中心，合理地選擇教學(xué)內(nèi)容，注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鍛煉學(xué)生的實踐能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，改進考核方式和手段等相應(yīng)的教學(xué)改革舉措，提升了教學(xué)效果，增強了學(xué)生學(xué)好數(shù)值分析課程的信心。當(dāng)然，數(shù)值分析課程的教學(xué)改革仍處在摸索階段，在今后的教學(xué)中，我們還要不斷地改進教學(xué)方式、方法，力爭達到更好的教學(xué)效果。

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