陳建穩(wěn) 陳務(wù)軍 張大旭

(上海交通大學(xué) 空間結(jié)構(gòu)研究中心，上海 200030)

膜材具有非線性、非彈性、各向異性及粘彈性等特征，膜材彈性常數(shù)是膜結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)分析的基礎(chǔ)，具有復(fù)雜性，一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn).因此，開展膜材力學(xué)性能及彈性常數(shù)方面的研究具有重要的意義.

國(guó)內(nèi)外對(duì)建筑膜材開展了各類力學(xué)試驗(yàn)與分析［1-17］.Blum 等［1］基于應(yīng)力張量場(chǎng)理論，應(yīng)用雙軸拉伸試驗(yàn)建立了線性增量應(yīng)力-應(yīng)變模型的彈性常數(shù)測(cè)試、計(jì)算方法，其研究顯示膜材不滿足正交互補(bǔ)定律.Minami［2］在平面應(yīng)力及正交互補(bǔ)定律的假設(shè)下，通過5 種比例的雙軸拉伸試驗(yàn)，由應(yīng)變項(xiàng)殘差平方和最小二乘法求解彈性常數(shù).Bridgens 等［3-4］指出，膜材細(xì)觀結(jié)構(gòu)中存在經(jīng)緯紗的卷曲及相互摩擦等作用，膜材不滿足正交互補(bǔ)定律，不能用單軸拉伸試驗(yàn)預(yù)測(cè)膜材雙軸拉伸彈性常數(shù);提出了正常工況加載(NCL)的雙軸試驗(yàn)方法.Galliot 等［5］研究了不同試驗(yàn)方法對(duì)試驗(yàn)彈性參數(shù)的影響.

衛(wèi)東等［7］測(cè)試了PVDF/PES 膜材的強(qiáng)度、徐變、彈性模量，并與國(guó)外雙軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比.易洪雷等［8-9］以單向拉伸試驗(yàn)為基礎(chǔ)，對(duì)膜材7 個(gè)面內(nèi)方向的拉伸試驗(yàn)特征進(jìn)行分析，研究了彈性本構(gòu)關(guān)系和強(qiáng)度準(zhǔn)則.劉文斌等［10］用充氣雙軸拉伸光柵測(cè)試大應(yīng)變參數(shù)，由最小二乘法求解模量與泊松比.倪靜［11］進(jìn)行了PVDF/PES 膜材多種應(yīng)力比的雙軸拉伸試驗(yàn)，根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系提出了兩階段雙模量模型.羅仁安等［12］基于雙軸正交拉伸循環(huán)試驗(yàn)提出了廣義泊松比，研究了雙軸受力下應(yīng)力-應(yīng)變、殘余應(yīng)變、滯回曲線、彈性模量等力學(xué)性能.李陽(yáng)等［13］研究了膜材抗拉強(qiáng)度、撕裂強(qiáng)度、徐變等力學(xué)性能，采用應(yīng)變殘差和最小二乘法求解膜材彈性常數(shù)，并采用面內(nèi)純剪試驗(yàn)測(cè)試剪切常數(shù).

文中基于雙軸拉伸試驗(yàn)定義了耦合彈性模量，即薄膜在雙軸拉伸平面受力狀態(tài)下的應(yīng)力與廣義應(yīng)變的比值，與雙軸拉伸試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線中的曲線斜率相對(duì)應(yīng).上述文獻(xiàn)主要對(duì)膜材的解耦彈性常數(shù)進(jìn)行了計(jì)算分析，較少涉及耦合彈性模量.為深入分析膜材力學(xué)性能及合理利用計(jì)算所得常數(shù)，有必要對(duì)耦合彈性模量的計(jì)算理論及變化規(guī)律開展研究.此外，開展循環(huán)加載下膜材彈性常數(shù)變化規(guī)律的研究對(duì)膜結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)分析具有指導(dǎo)意義.因此，文中以典型平紋織物膜材Ferrari1302 為對(duì)象進(jìn)行了一系列單、雙軸循環(huán)拉伸試驗(yàn)，得到了單、雙軸循環(huán)加載下材料的力學(xué)性能，推導(dǎo)了雙軸耦合彈性模量的理論公式，并對(duì)耦合彈性模量的變化規(guī)律及影響因素進(jìn)行了相關(guān)分析.

1 循環(huán)試驗(yàn)概況

1.1 試驗(yàn)儀器及加載制度

單軸循環(huán)采用ZWICK/R011/Z100 試驗(yàn)機(jī)，按正弦波循環(huán)加載15 次，加載速度為10 mm/min.試驗(yàn)環(huán)境如下:溫度為(20 ±2)℃、濕度為(65 ±2)%.測(cè)定此類膜材的彈性模量時(shí)，試驗(yàn)應(yīng)力控制在實(shí)際工況的應(yīng)力范圍內(nèi)，借鑒文獻(xiàn)［15］將經(jīng)、緯向最大拉力分別定為32.49 和26.85 kN/m，經(jīng)緯、向最小拉力分別定為6.50 和5.37 kN/m.

雙軸循環(huán)在上海交通大學(xué)空間結(jié)構(gòu)研究中心自主研制的雙軸拉伸試驗(yàn)機(jī)(見圖1)上進(jìn)行.試驗(yàn)機(jī)應(yīng)變測(cè)量范圍為0～0.2，夾具標(biāo)準(zhǔn)拉伸速率為2～4 mm/min，實(shí)時(shí)性控制為1～5 μs.采用精密伺服液壓油缸作為動(dòng)力裝置，通過比例閥、溢流閥等實(shí)現(xiàn)流量的精確控制，采用力傳感器閉環(huán)反饋和PID(比例-積分-微分)控制器進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，可實(shí)現(xiàn)任意載荷譜的精確跟蹤.

圖1 雙軸拉伸試驗(yàn)機(jī)Fig.1 Biaxial tensile tester

依據(jù)膜材單向拉伸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系及文獻(xiàn)［16］，確定加載曲線峰值為20.0 kN/m(10.0 kN/m)，谷值為4.0 kN/m.雙軸拉伸加載比例(經(jīng)、緯向應(yīng)力比)為1∶1、1∶2、2∶1、1∶0、0 ∶1.經(jīng)、緯向應(yīng)力比為1∶2 時(shí)的雙軸拉伸試驗(yàn)加載曲線見圖2.

圖2 雙軸拉伸試驗(yàn)加載曲線Fig.2 Loading curves of biaxial tension test

1.2 試件尺寸

單軸循環(huán)試驗(yàn)經(jīng)、緯向各用5 個(gè)試件.試件總長(zhǎng)為300 mm，寬為50 mm;兩端夾具夾持50 mm;有效長(zhǎng)度為200 mm.雙軸循環(huán)試驗(yàn)采用十字形試件(見圖3)，膜材伸臂縱橫向交叉，每個(gè)伸臂長(zhǎng)和寬均為160 mm，夾持范圍為40 mm，伸臂開3 道縫.

圖3 十字形試件尺寸(單位:mm)Fig.3 Dimension of cruciform specimen (Unit:mm)

2 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

2.1 單軸循環(huán)加載下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

單軸循環(huán)加載下試件的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線如圖4 所示，由圖可知，經(jīng)、緯向初次加載均有較大的殘余應(yīng)變，其值均在0.023 以上.第1 次加載曲線具有明顯的非線性:緯向有三階段曲線特征，依次為初始線性段、應(yīng)力強(qiáng)化段、應(yīng)變強(qiáng)化段，在初始線性段曲線平緩，接著應(yīng)力-應(yīng)變曲線的斜率增加，約為20.0 kN/m 后斜率變小;而經(jīng)向有兩段曲線特征，初始線性段、應(yīng)力強(qiáng)化段區(qū)分不明顯.經(jīng)、緯向曲線的差異反應(yīng)出經(jīng)、緯向纖維具有不同的力學(xué)特征，這是由經(jīng)、緯向纖維不同的編織工藝、編織幾何參數(shù)等所致.

為對(duì)比各循環(huán)加載下試件的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，選取各循環(huán)的加載上升段去除殘余應(yīng)變，得到試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線見圖5.由圖可知:隨循環(huán)次數(shù)的增加，曲線斜率逐漸變大，第1、第2 次循環(huán)的曲線斜率差別最大，后續(xù)相鄰循環(huán)間的曲線斜率差別逐漸減小;曲線的非線性隨循環(huán)次數(shù)的增大變化明顯，以緯向?yàn)槔?，? 次循環(huán)時(shí)曲線具有三段特征，其非線性特征顯著，而第2 次循環(huán)時(shí)，應(yīng)力低于12.0kN/m的曲線幾乎呈線性特征，第15 次循環(huán)時(shí)應(yīng)力低于20.0 kN/m 的曲線幾乎呈線性特征.經(jīng)向曲線特征與緯向曲線特征基本相似，可見循環(huán)加載使膜材的非線性特征逐漸減弱，而線性特征逐漸增強(qiáng).

圖4 單軸循環(huán)加載下試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.4 Stress-strain curves of specimens under uniaxial cyclic loadings

2.2 雙軸循環(huán)加載下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

以經(jīng)、緯向應(yīng)力比為2∶1 為例，雙軸循環(huán)加載下試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線見圖6，這3 組試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線相對(duì)偏移了0.5%.

由圖6 可知:初次循環(huán)后膜材殘余應(yīng)變較大，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，殘余應(yīng)變?cè)隽繙p小，滯回曲線形狀趨于穩(wěn)定;由于膜材具有粘彈性，卸載時(shí)應(yīng)變不是直接減小，而是先增大后減小.

去除殘余應(yīng)變后的應(yīng)力-應(yīng)變曲線見圖7.整體上，第1 次循環(huán)時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的非線性特征較顯著，第2 和第3 次循環(huán)時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的線性特征增強(qiáng)，第2 與第3 次循環(huán)間的應(yīng)力-應(yīng)變差異明顯小于第1 與第2 次循環(huán)間的差異;對(duì)于第1與第2 次循環(huán)間的應(yīng)力-應(yīng)變差異，緯向的差異比經(jīng)向的更明顯，其原因是膜材纖維在編織過程中，經(jīng)向纖維有預(yù)張拉，受到一定的預(yù)應(yīng)力，而緯向纖維處于卷曲狀態(tài)，緯向力學(xué)特征受循環(huán)加載的影響大于經(jīng)向纖維.經(jīng)緯各向異性還表現(xiàn)在應(yīng)變的正負(fù)上，如在經(jīng)、緯向應(yīng)力比為0∶1 和1∶2 時(shí)，經(jīng)向纖維收縮，應(yīng)變?yōu)樨?fù)值，而相對(duì)應(yīng)的緯向纖維在經(jīng)、緯向應(yīng)力比為2∶1 時(shí)仍處于張拉狀態(tài)，應(yīng)變?yōu)檎?在經(jīng)、緯向應(yīng)力比為1∶0 時(shí)緯向纖維表現(xiàn)為收縮，應(yīng)變?yōu)樨?fù)值.

圖5 去除殘余應(yīng)變后單軸循環(huán)加載下試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.5 Stress-strain curves of specimens without residual strain under uniaxial cyclic loadings

圖6 雙軸循環(huán)加載下試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.6 Stress-strain curves of specimens under biaxial cyclic loadings

圖7 去除殘余應(yīng)變后雙軸循環(huán)加載下試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.7 Stress-strain curves of specimens without residual strain under biaxial cyclic loadings

取每個(gè)循環(huán)周期的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式插值擬合，可得3 維(3D)應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)面，第3 次循環(huán)時(shí)的雙軸3D 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲面如圖8 所示.由圖可知，經(jīng)、緯向應(yīng)力對(duì)應(yīng)變的影響較復(fù)雜，呈三維非線性關(guān)系，響應(yīng)面存在曲率(梯度)顯著變化域和相對(duì)平緩域.響應(yīng)面的傾斜斜率和傾斜方向分別反映了膜材的彈性模量及泊松比.3D 響應(yīng)面梯度顯著變化區(qū)域是膜材的彈性模量和泊松比等參數(shù)變化集中的應(yīng)力應(yīng)變區(qū)域，在該區(qū)域膜材的力學(xué)特征復(fù)雜;當(dāng)膜材雙向受力在響應(yīng)面梯度顯著變化區(qū)域以外的平滑區(qū)域內(nèi)時(shí)，膜材處于較有利的雙軸受力態(tài).在膜結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)分析時(shí)，宜對(duì)應(yīng)力應(yīng)變處于響應(yīng)面梯度顯著變化域的膜材給予充分關(guān)注.

圖8 雙軸3D 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲面Fig.8 3D stress-strain relation surface of two directions

響應(yīng)面可近似為3 維曲面，采用的擬合公式為ε=aσx+bσy+c，其中ε 為應(yīng)變;σx、σy分別為經(jīng)、緯向應(yīng)力，kN/m;a、b、c 為參數(shù)，具體取值見表1.

表1 擬合公式參數(shù)值Table 1 Parameter values of the fitting formula

3 彈性常數(shù)

3.1 單軸循環(huán)加載下的彈性模量

隨循環(huán)加載次數(shù)的增加，膜材彈性模量E 逐漸增大.文中采用最小二乘法擬合彈性模量，即

f={［Et(i+1)-Et(i)］/［Et(15)-Et(1)］}×100%，

其中Et(i)為第i 次循環(huán)的彈性模量，f 為增大幅度，t 為膜材厚度.擬合結(jié)果見表2.

表2 單軸循環(huán)加載的彈性模量及其增幅Table 2 Elastic moduli and their increments of uniaxial cyclic loading

隨循環(huán)次數(shù)的增加，經(jīng)、緯向彈性模量均有大幅度的增加，循環(huán)加載對(duì)經(jīng)向彈性模量的影響更顯著，第15 次循環(huán)的經(jīng)向彈性模量較第1 次循環(huán)增大了1099.2kN/m，緯向彈性模量則增大了956.9kN/m，分別為第1 次循環(huán)的經(jīng)、緯向彈性模量的152.1%和145.1%.相鄰循環(huán)間增大幅度f(wàn) 以第2 次循環(huán)最大，經(jīng)、緯向彈性模量的增大幅度分別為50.82%和52.10%.后續(xù)循環(huán)中彈性模量的增大幅度逐次減小，經(jīng)向彈性模量增大幅度減小的趨勢(shì)平緩，而緯向彈性模量增大幅度在個(gè)別循環(huán)時(shí)出現(xiàn)了起伏，具體見圖9，這與緯向纖維在膜材中的伸展?fàn)顟B(tài)有關(guān)，它反映了緯向纖維在循環(huán)工況下的力學(xué)特征存在階段性.在第12 次循環(huán)之后彈性模量的增大幅度變化非常穩(wěn)定，這表明在第12 次循環(huán)后該膜材的耗能能力穩(wěn)定.

彈性模量增大幅度f(wàn) 可以擬合為循環(huán)次數(shù)n(n≥2)的負(fù)冪次函數(shù)關(guān)系，即

式(1)可為膜材彈性模量的選取及預(yù)測(cè)提供參考.

圖9 彈性模量增大幅度與循環(huán)次數(shù)的關(guān)系Fig.9 Relationship between increasing amplitude of elastic moduli and cycle number

3.2 雙軸循環(huán)加載下的彈性模量

經(jīng)、緯向應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系方程為

式中，εx、εy分別為經(jīng)、緯向應(yīng)變，eij(i，j =1，2)為剛度系數(shù)［17-18］.

解耦的彈性模量可表示為

式中:v =1-vxvy，vx=e21/e22，vy=e12/e11;E'xt、E'yt分別為經(jīng)、緯向(彈性主向)彈性模量，即解耦的彈性模量.

經(jīng)驗(yàn)算可知，本膜材不滿足麥克斯韋定理，即

雙軸拉伸經(jīng)、緯向應(yīng)力比σx/σy= rx/ry= r，其中rx、ry分別為經(jīng)、緯向應(yīng)力的約簡(jiǎn)值，它們不同時(shí)為0.

由式(2)-(4)可得

當(dāng)rx=0 或ry=0 時(shí)，雙軸拉伸轉(zhuǎn)化為單軸拉伸，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

對(duì)式(5)、(6)進(jìn)行求導(dǎo)，得到雙軸耦合彈性模量(Ext、Eyt)為

雙軸循環(huán)加載下耦合彈性模量的計(jì)算結(jié)果見表3.

表3 雙軸循環(huán)加載耦合彈性模量Table 3 Coupling elastic moduli under biaxial cyclic loadings

表3 表明，耦合彈性模量的試驗(yàn)值和理論計(jì)算值基本相近且變化規(guī)律相似，這說(shuō)明了文中理論推導(dǎo)的正確性.以耦合彈性模量的試驗(yàn)值為對(duì)象，分析其變化規(guī)律.由表3 可知，隨循環(huán)次數(shù)的增加，耦合彈性模量增大，第1、第2 次循環(huán)的耦合彈性模量差值明顯大于第2、第3 次循環(huán)之間的差值，第1、第2次循環(huán)的耦合彈性模量平均值之差占第1 次循環(huán)耦合彈性模量的44.8%(經(jīng)向)、52.2%(緯向)，第2、第3 次循環(huán)的耦合彈性模量差值占第1 次循環(huán)耦合彈性量的7.6%(經(jīng)向)、10.0%(緯向).除經(jīng)、緯向應(yīng)力比為2∶1 外，雙軸耦合彈性模量與單軸前3 個(gè)循環(huán)的耦合彈性模量大體上相當(dāng).從平均值看，經(jīng)向雙軸耦合彈性模量值比單軸耦合彈性模量值稍大.該規(guī)律可由式(7)解釋，在所選取的比例下，1-vx(rk)-1＜1，故雙軸耦合彈性模量大于單軸耦合彈性模量;由式(7)可知，隨著rk 的增大，緯向耦合彈性模量Eyt增大，而經(jīng)向耦合彈性模量Ext 減小.由表3 可知，耦合彈性模量的經(jīng)、緯向計(jì)算值Ext、Eyt 隨著rk 變化的規(guī)律和理論推導(dǎo)一致.由式(7)還可以知道，耦合彈性模量的正負(fù)(表3 中未給出負(fù)耦合彈性模量值)由1-vx(rk)-1及1-rkvy的正負(fù)決定，這是應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中出現(xiàn)負(fù)應(yīng)變的根源.對(duì)于文中試驗(yàn)?zāi)げ?，在?jīng)、緯向應(yīng)力比為0∶1 及1∶2 時(shí)，其經(jīng)向耦合彈性模量為負(fù)值，而在經(jīng)、緯向應(yīng)力比為1∶0 時(shí)，其緯向耦合彈性模量為負(fù)值，由此可推導(dǎo)出rk 應(yīng)滿足如下關(guān)系:

4 結(jié)語(yǔ)

文中以Ferrari1302 膜材為對(duì)象，開展了單、雙軸循環(huán)拉伸力學(xué)性能試驗(yàn)研究，通過對(duì)單軸循環(huán)試驗(yàn)結(jié)果的計(jì)算分析，建立了彈性模量增大幅度和循環(huán)次數(shù)的負(fù)冪次函數(shù)關(guān)系式;通過雙軸循環(huán)試驗(yàn)提出了雙軸耦合彈性模量的概念，推導(dǎo)出了耦合彈性模量的理論公式，并對(duì)耦合彈性模量的變化規(guī)律及影響因素進(jìn)行了相關(guān)分析;通過試驗(yàn)分析與理論計(jì)算，得到了多比例加載下的3D 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲面，并建立了該曲面的擬合公式;得出如下結(jié)論:

(1)Ferrari1302 膜材的非線性及正交各向異性的力學(xué)性能在應(yīng)力- 應(yīng)變關(guān)系、彈性模量中得到體現(xiàn).

(2)在單軸循環(huán)試驗(yàn)中，彈性模量隨循環(huán)次數(shù)的增加而顯著增大，其中第2 次循環(huán)時(shí)彈性模量在經(jīng)、緯向的增大幅度均占總增量的50%以上，后續(xù)循環(huán)中彈性模量的增大幅度逐次減小，緯向彈性模量的增大幅度在個(gè)別循環(huán)時(shí)出現(xiàn)了起伏，反映該膜材緯向纖維在循環(huán)加載下的力學(xué)性能存在階段性.

(3)在雙軸循環(huán)試驗(yàn)中，隨經(jīng)、緯向應(yīng)力比的增大，緯向耦合彈性模量增大，經(jīng)向耦合彈性模量減小，且耦合彈性模量及應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中應(yīng)變的正負(fù)可由理論公式的參數(shù)決定.

文中的研究結(jié)果和分析方法可為復(fù)雜膜結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)、分析及應(yīng)用提供一些有益的參考.

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