羅 暢，黃長強(qiáng)，丁達(dá)理，國海峰

(空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安 710038)

0 引言

高超聲速滑翔式飛行器(Hypersonic Glide Vehicle，HGV)可利用自身特殊的氣動(dòng)外形提供升力在臨近空間進(jìn)行馬赫數(shù)大于5的無動(dòng)力滑翔飛行，其特點(diǎn)是飛行速度快、突防概率高、毀傷威力大、作戰(zhàn)效能高。但隨著攔截技術(shù)的發(fā)展，導(dǎo)彈防御系統(tǒng)正逐步發(fā)展成為包括助推段、中段和末段三層防御并實(shí)行地基、?；?、空基、天基攔截相結(jié)合的全方位攔截系統(tǒng)。其中，地基中段防御系統(tǒng)最為成熟。高超聲速滑翔式飛行器巡航飛行段彈道較為平緩，容易被攔截［1-4］。針對(duì)導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)HGV在巡航段的機(jī)動(dòng)突防方法將成為突破導(dǎo)彈防御系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)精確打擊遠(yuǎn)程目標(biāo)的有效途徑。

多約束條件下的高超聲速滑翔式飛行器彈道優(yōu)化問題一直是國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。大多數(shù)文獻(xiàn)在研究突防彈道時(shí)，將飛行器看作質(zhì)點(diǎn)，以燃油最省、航程最短，吸熱量最小等指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)，利用遺傳算法、蟻群算法、Voronoi圖等方法，在規(guī)避雷達(dá)探測范圍的條件下達(dá)到優(yōu)化彈道的目的［5-8］。文獻(xiàn)［9］實(shí)現(xiàn)了一種擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)的方法，但并未將其運(yùn)用于突防彈道設(shè)計(jì)。

本文針對(duì)導(dǎo)彈防御系統(tǒng)中段攔截的特點(diǎn)，將HGV的橫向機(jī)動(dòng)過程與地基雷達(dá)的探測概率相結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)突防方法。該方法解算得到的突防彈道使HGV在滿足威脅時(shí)間窗要求的前提下毀傷概率的極大值取極小，取得了較好的突防效果。

1 系統(tǒng)模型的建立

1.1 導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的簡化模型

導(dǎo)彈防御系統(tǒng)主要由反導(dǎo)彈/飛行器武器，監(jiān)視與跟蹤系統(tǒng)，戰(zhàn)斗管理和指揮、控制、通信和情報(bào)(BM/C3I)系統(tǒng)組成(見圖1)。其中:監(jiān)視與跟蹤系統(tǒng)負(fù)責(zé)探測和發(fā)現(xiàn)來襲導(dǎo)彈/飛行器，并追蹤其飛行軌跡;攔截器用于識(shí)別并攔截摧毀來襲導(dǎo)彈/飛行器;戰(zhàn)斗管理和指揮、控制、通信和情報(bào)(BM/C3I)系統(tǒng)則負(fù)責(zé)控制整個(gè)導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的操作［3-4］。

圖1 導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Configuration of missile defence system

導(dǎo)彈防御系統(tǒng)是一個(gè)可以進(jìn)行助推段、末助推段和中后段攔截的反導(dǎo)防御系統(tǒng)。助推段和末助推段攔截層由天基動(dòng)能攔截彈和部署在地球同步軌道上的監(jiān)視與跟蹤衛(wèi)星探測器組成，中后段攔截層由地基動(dòng)能攔截彈和地基探測器組成。因此，針對(duì)高超聲速滑翔飛行器巡航段突防則主要考慮預(yù)警雷達(dá)、地基雷達(dá)和地基攔截導(dǎo)彈的影響。

設(shè)n為飛行區(qū)域內(nèi)地基雷達(dá)總數(shù)，第i個(gè)地基雷達(dá)成功跟蹤到飛行器的概率為Pti，則Pti可近似表示為

式中:Ri為雷達(dá)探測跟蹤距離;σi為飛行器的雷達(dá)散射面積(RCS);c1、c2為雷達(dá)性能常數(shù)。

對(duì)于多個(gè)地基雷達(dá)，因?yàn)楦骼走_(dá)噪聲以熱噪聲為主且各雷達(dá)探測跟蹤時(shí)多工作于不同時(shí)間段，使用不同頻率，所以可假設(shè)各雷達(dá)間沒有相互作用。總的探測跟蹤概率可表示為

式中，n為飛行區(qū)域內(nèi)地基雷達(dá)總數(shù)。

1.2 高超聲速滑翔式飛行器巡航段模型

在接近目標(biāo)區(qū)域的巡航飛行段，高超聲速滑翔式飛行器彈道較為平緩，假設(shè)其作等高度飛行，則運(yùn)動(dòng)方程可簡單描述為

式中:x，y表征飛行器的位置;飛行器以速度v飛行，航向偏角為ψ;橫向加速度為u;最大橫向加速度不可超過U。HGV巡航段運(yùn)動(dòng)學(xué)量關(guān)系圖如圖2所示。

圖2 HGV巡航段運(yùn)動(dòng)學(xué)量關(guān)系圖Fig.2 Kinematic relation of cruising HGV

圖2中，θ=arctan(y/x)，λ=θ-ψ+π。雷達(dá)與飛行器間目標(biāo)線仰角φ、飛行器傾側(cè)角ν，計(jì)算為

式中:z表示飛行器高度;g為重力加速度。

HGV的雷達(dá)散射面積與其相對(duì)于雷達(dá)的視線角以及傾側(cè)角相關(guān)［10］，如圖3所示。

圖3 影響RCS的相關(guān)因素Fig.3 Related factors of RCS

HGV頭部及尾部RCS較小，兩側(cè)、背部及腹部RCS較大。因此可以使HGV在突防過程中做適當(dāng)?shù)臋C(jī)動(dòng)，減小其RCS以達(dá)到減小其被地基雷達(dá)探測到的概率的目的。

本文在計(jì)算HGV的RCS時(shí)將其等效為一個(gè)橢球體。給出RCS近似表達(dá)式

式中，λe=arccos［cosφ cosλ］;νe=ν-arctan［tanφ/sinλ］;a，b，c分別為橢球體3個(gè)方向的半軸長度。

1.3 毀傷概率模型

設(shè)HGV在整個(gè)突防過程中的存活概率為Ps，則Ps=1-PhPk/h。其中:Ph為HGV被擊中的概率;Pk/h為HGV被擊中條件下毀傷的概率。

本文中假設(shè)Pk/h=1，所以HGV被毀傷的概率可表示為

在不考慮其他因素的條件下，Pk的上限即為HGV被地基雷達(dá)探測到的概率Pt。減小Pt的值即可達(dá)到降低毀傷概率、提高存活概率的目的。

2 基于威脅時(shí)間窗的擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)突防彈道設(shè)計(jì)

2.1 擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)突防的實(shí)現(xiàn)

擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)的實(shí)現(xiàn)問題可以簡單描述為:根據(jù)所需擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)彈道的關(guān)鍵參數(shù)(一般為機(jī)動(dòng)幅值和機(jī)動(dòng)頻率)求解迎角、傾側(cè)角等控制量。前提是要保持飛行器在縱向平面的穩(wěn)定性并且滿足動(dòng)壓、過載以及氣動(dòng)加熱等約束條件。

設(shè)飛行器機(jī)動(dòng)起始、終止位置分別為:A(x0，y0，z0)，B(xf，yf，zf)。建立坐標(biāo)系Oxyz，其中:z軸沿地心矢方向，向上為正;x軸與z軸垂直，指向機(jī)動(dòng)終止位置B;y軸與x軸和z軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)如圖4所示。

圖4 擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)示意圖Fig.4 Lateral weaving maneuver

擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)彈道可以有多種形式。以按正弦規(guī)律變化為例，如圖4所示，側(cè)向機(jī)動(dòng)距離可表示為

式中:y0為初始值;ω為機(jī)動(dòng)頻率;ly為機(jī)動(dòng)幅值;ω0為初始相位角;x為當(dāng)前位置在x軸方向上的大小。本文中令y0、ω0均為0。

假設(shè)速度矢量偏離xOz平面的角度為小量，則

式中:v為飛行器速度大小;D為飛行器所受阻力大小。

對(duì)式(8)求關(guān)于時(shí)間的二次微分得到y(tǒng)軸方向的橫向過載

令L為飛行器升力大小，ν為傾側(cè)角，根據(jù)傾側(cè)角定義

至此，飛行器傾側(cè)角以及橫向過載均與x軸方向上的飛行距離聯(lián)系起來。

為保持飛行器在縱向平面的穩(wěn)定性，需要調(diào)整迎角以抵消由于側(cè)向機(jī)動(dòng)所帶來的升力變化(L變?yōu)長 cosν)。設(shè)地心距為r，此時(shí)傾側(cè)角應(yīng)滿足

結(jié)合式(11)可知傾側(cè)角的變化規(guī)律為

為使擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)滿足動(dòng)壓、過載以及氣動(dòng)加熱等約束條件，則需根據(jù)各約束條件所允許的上限值解算出相應(yīng)的迎角-速度飛行走廊［9］，確定迎角取值。

2.2 威脅時(shí)間窗

在地基攔截導(dǎo)彈發(fā)射之前，地基雷達(dá)需要時(shí)間Tresp跟蹤并鎖定目標(biāo)。攔截導(dǎo)彈發(fā)射后，在其飛行時(shí)間段Tfo，地基雷達(dá)仍然需要持續(xù)跟蹤目標(biāo)。Tresp取決于雷達(dá)的性能，Tfo則由攔截導(dǎo)彈的速度vm和兩者的相對(duì)距離Ri決定:Tfoi=Ri/vm;Tfo=mii n Tfoi。

定義威脅時(shí)間窗T=Tresp+Tfo。如果在威脅時(shí)間窗內(nèi)，地基雷達(dá)丟失了目標(biāo)，則必須重新跟蹤并發(fā)射地基攔截導(dǎo)彈。那么，地基攔截導(dǎo)彈要在時(shí)間點(diǎn)t成功毀傷HGV，地基雷達(dá)則必須在時(shí)間段［t-T，t］內(nèi)對(duì)HGV保持持續(xù)跟蹤狀態(tài)。本文中將T視為一常量。

突防過程的流程如圖5所示。

圖5 突防過程流程圖Fig.5 Flow chart of penetration

在突防的整個(gè)過程中，HGV將經(jīng)歷多個(gè)威脅時(shí)間窗，而要達(dá)到成功突防的目的則要求在每個(gè)威脅時(shí)間窗內(nèi)毀傷概率盡可能小。

假設(shè)HGV經(jīng)歷的威脅時(shí)間窗總數(shù)為m，第i個(gè)威脅時(shí)間窗內(nèi)毀傷概率的上限表示為

式中，u為飛行器橫向加速度，作為控制量隱含于Pt中。

目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)主要特征是，即使每個(gè)fi(x)都具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，目標(biāo)函數(shù)在使兩個(gè)以上的函數(shù)等于ξ(x)的那些點(diǎn)處往往不可微。因此Minimax問題屬于不可微優(yōu)化。

本文所研究的內(nèi)容屬于帶約束的非線性Minimax問題，用公式表述為

由式(1)做Pt與R、σ的關(guān)系圖如6～圖7所示。

圖6 探測概率與探測距離的關(guān)系Fig.6 Relationship of explorative probability and distance

圖7 探測概率與飛行器RCS的關(guān)系Fig.7 Relationship of explorative probability and RCS

圖6、圖7證實(shí)了HGV在威脅時(shí)間窗內(nèi)做擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)的可行性。在探測距離一定的條件下HGV的RCS對(duì)地基雷達(dá)探測概率有顯著的影響。因此，在短時(shí)間內(nèi)可以利用HGV的機(jī)動(dòng)飛行來控制其RCS大小，降低其被地基雷達(dá)探測跟蹤到的概率以實(shí)現(xiàn)較好的突防效果。

3 仿真分析

3.1 HGV突防單個(gè)地基雷達(dá)

假設(shè)地基雷達(dá)處于位置O(0 km，0 km)，最大探測距離為150 km。HGV初始位置位于A(-150 km，-150 km)，目標(biāo)點(diǎn)位于B(150 km，150 km)。HGV的最大橫向加速度|U|=5g，初始航向偏角為ψ0=π/6，巡航高度為25 km，巡航馬赫數(shù)為8，巡航總時(shí)間TM≤3 min。利用時(shí)間窗理論設(shè)計(jì)突防彈道，設(shè)威脅時(shí)間窗T=12 s，仿真結(jié)果如圖8～圖9所示。

圖8 以航向偏角為自變量設(shè)計(jì)的突防彈道Fig.8 Trajectory of penetration based on heading angle

圖9 結(jié)合飛行器橫向機(jī)動(dòng)設(shè)計(jì)的突防彈道Fig.9 Trajectory of penetration based on lateral maneuver

由圖8所示的突防彈道解算得到HGV被探測到的概率的極大值P1kup(u)為0.9871。由圖9所示的機(jī)動(dòng)突防彈道解算得到HGV被探測到的概率的極大值P2kup(u)為0.1651。圖8中僅僅是以改變航向偏角的方式使Pkup(u)達(dá)到最小，并沒有考慮到HGV的RCS對(duì)探測概率的影響，整個(gè)突防過程中飛行器傾側(cè)角ν為0。圖9中將HGV被探測到的概率通過其RCS與飛行器的橫向機(jī)動(dòng)聯(lián)系起來，通過改變橫向加速度u來改變傾側(cè)角ν和視線角λ，得到了較好的突防效果。兩種突防彈道的對(duì)比圖如圖10所示。

圖10 兩種突防彈道的對(duì)比圖Fig.10 Contrast of two trajectories

對(duì)兩種突防彈道的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)進(jìn)行比較，如圖11～圖14所示。

圖11 方位角對(duì)比圖Fig.11 Contrast of aspect angle

圖12 仰角對(duì)比圖Fig.12 Contrast of elevation angle

圖13 傾側(cè)角對(duì)比圖Fig.13 Contrast of bank angle

圖14 距離對(duì)比圖Fig.14 Contrast of distance

由圖3、圖11～圖14可知，雖然兩種突防彈道與地基雷達(dá)之間的距離并無較大的差異，但相對(duì)于不考慮橫向機(jī)動(dòng)的情況，經(jīng)極大極小值原理設(shè)計(jì)的機(jī)動(dòng)突防彈道中HGV的RCS很小且暴露時(shí)間很短，使得P2kup(u)取值僅為0.1651，從而達(dá)到了預(yù)期的突防效果。由兩種突防彈道得到各性能參數(shù)如表1所示。

表1 兩種突防彈道性能參數(shù)Table 1 Parameters of two trajectories

所設(shè)計(jì)的擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)突防彈道中，飛行器以較大的航時(shí)和航程換取了較小的毀傷概率和較大的存活概率。

3.2 HGV突防多個(gè)地基雷達(dá)

假設(shè)有兩臺(tái)地基雷達(dá)，最大探測距離均為150 km。兩者獨(dú)立工作，分別處于位置O1(0 km，0 km)、O2(0 km，200 km)。HGV的最大橫向加速度|U|=5g，初始位置位于A(-200 km，0 km)，目標(biāo)點(diǎn)位于B(200 km，200 km)。HGV初始航向偏角為ψ0=π/6，于25 km高度巡航，巡航馬赫數(shù)保持為8，巡航總時(shí)間TM≤5 min。

以j∈{1，2}編號(hào)兩臺(tái)地基雷達(dá)，則飛行威脅時(shí)間窗可表述為

式中，Ptj表示HGV被第j臺(tái)地基雷達(dá)探測到的概率。取T=12 s，仿真結(jié)果如圖15～圖16所示。

圖15 結(jié)合飛行器橫向機(jī)動(dòng)設(shè)計(jì)的突防彈道Fig.15 Trajectory of penetration based on lateral maneuver

圖16 以航向偏角為自變量設(shè)計(jì)的突防彈道Fig.16 Trajectory of penetration based on heading angle

4 結(jié)論

本文利用導(dǎo)彈防御系統(tǒng)威脅時(shí)間窗將HGV、地基雷達(dá)和攔截導(dǎo)彈聯(lián)系起來加以考慮，建立毀傷概率模型，并認(rèn)為提升HGV生存概率的關(guān)鍵在于毀傷概率最大的威脅時(shí)間窗。在實(shí)現(xiàn)HGV擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)的前提下實(shí)時(shí)改變HGV的RCS以使毀傷概率在所有威脅時(shí)間窗內(nèi)的極大值極小化。仿真分析表明，所設(shè)計(jì)的機(jī)動(dòng)突防彈道取得了較好的突防效果，使HGV的生存能力得到提高。

［1］雍恩米.高超聲速滑翔式再入飛行器軌跡優(yōu)化與指導(dǎo)方法研究［D］.長沙:國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2008.

［2］陳小慶，侯中喜，劉建霞.高超聲速滑翔飛行器彈道特性分析［J］.導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù)，2011(2):5-9.

［3］劉興.防空防天信息系統(tǒng)及其一體化技術(shù)［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2009.

［4］孫連山，楊晉輝.導(dǎo)彈防御系統(tǒng)［M］.北京:航空工業(yè)出版社，2004.

［5］STARKEY R，RANKINS F，PINES D.Coupled waverider/trajectory optimization for hypersonic cruise［C］//The 43rd AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit 10-13 January 2005，Reno，Nevada，10.2514/6.2005-530.

［6］CHUANGCH，MORIMOTOH.Optimal periodic cruise for a hypersonic vehicle with constraints［C］//AIAA Guidance，Navigation and Control Conference，San Diego，CA，29-31 July，1996.10.2514/6.1996-3876.

［7］GRANT M J，CLARK I G，BRAUN R D.Rapid simultaneous hypersonic aerodynamic and trajectory optimization using variational methods［C］//AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference，Portland，Oregon，08-11 August，2011，10.2514/6.2011-6640.

［8］SZCZERBA R J.Robust algorithm for real-time route planning［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2000，36(3):869-878.

［9］謝愈，劉魯華，湯國建，等.高超聲速滑翔飛行器擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)突防彈道設(shè)計(jì)［J］.航空學(xué)報(bào)，2011，32(12):2174-2181.

［10］王若鵬.極大極小問題的數(shù)值解法［D］.西安:西北大學(xué)，2002.