吳義成，吳玉國

（1.馬鞍山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 馬鞍山 243000；2.安徽工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243000）

0 前言

機械優(yōu)化是數(shù)學(xué)規(guī)劃理論、機械結(jié)構(gòu)分析理論以及計算機應(yīng)用技術(shù)等多學(xué)科交叉形成的綜合決策學(xué)科［1］。機械機構(gòu)中，四桿機構(gòu)使用廣泛，無論是在日常生產(chǎn)生活還是軍事領(lǐng)域當中都被大量應(yīng)用，如起重機、汽車轉(zhuǎn)向機構(gòu)、飛機起落架機構(gòu)及雷達天線俯仰機構(gòu)等［2］。根據(jù)機械的用途和性能要求的不同，四桿機構(gòu)的設(shè)計要求基本上可歸納為：滿足預(yù)定的運動規(guī)律要求、滿足預(yù)定的連桿位置要求以及滿足預(yù)定的軌跡和性能要求。常用的設(shè)計方法有解析法、作圖法和實驗法。這些常規(guī)的設(shè)計方法在針對單個設(shè)計目標時，一般具有很好的效果。但在實際應(yīng)用中，往往是多個設(shè)計目標同時出現(xiàn)，而且經(jīng)常會出現(xiàn)各目標之間互相矛盾和制約的問題，此時，常規(guī)設(shè)計方法可能會失效。本文以四桿機構(gòu)中的曲柄搖桿機構(gòu)為例，針對一個實際應(yīng)用過程中多個優(yōu)化目標的實現(xiàn)，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，使用MATLAB 優(yōu)化工具箱，對具有多個目標函數(shù)的數(shù)學(xué)模型進行求解，討論了在特定條件下，各組不同解的優(yōu)劣性和滿足設(shè)計要求的取舍問題；并使用Pro／E 機構(gòu)運動仿真模塊對該求解結(jié)果進行驗證。此綜合方法為四桿機構(gòu)的多目標優(yōu)化設(shè)計問題提供了一個很好的解決途徑。

1 問題提出及數(shù)學(xué)模型的建立

曲柄搖桿機構(gòu)是鉸鏈四桿機構(gòu)中的一種，在實際工程應(yīng)用中，該型機構(gòu)應(yīng)用廣泛，如縫紉機踏板機構(gòu)、攪拌器機構(gòu)等［3］。要求設(shè)計一曲柄搖桿機構(gòu)，能同時實現(xiàn)以下幾個要素［4］：

（1）為提高機構(gòu)的急回性能，極位夾角θ盡可能大（0°＜θ≤17°）；

（2）為改善機構(gòu)的傳力性能，當該機構(gòu)曲柄與連桿重疊共線時，最大壓力角αmax盡可能?。?°＜αmax≤55°）；

（3）該搖桿擺角Δψ＝60°。

1.1 設(shè)計變量的確定

為更好地求解，現(xiàn)直觀地表示出該曲柄搖桿機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)示意圖，如下圖1所示：

圖1 曲柄搖桿機構(gòu)示意圖［3］

1.2 目標函數(shù)的建立

當曲柄搖桿機構(gòu)的各桿長值確定后，該機構(gòu)的搖桿擺角、最大壓力角及極位夾角都會確定下來，即該機構(gòu)的各項性能也能確定下來。這里，將搖桿擺角Δψ＝60°這個目標處理為無限接近60°這個目標值，定義為一目標函數(shù)，求之同60°之差的絕對值的最小值。由上圖1及設(shè)計要求，可列出該設(shè)計的分目標函數(shù)分別為：

由余弦定理，所以有：

這里，根據(jù)設(shè)計要求，極位夾角θ盡可能大為好。為了能實現(xiàn)用MATLAB編程求解，做一下處理，定義f1（x）＝－｜θ｜。這樣就實現(xiàn)了f1（x），f2（x），f3（x）→min，滿足MATLAB 優(yōu)化工具箱對目標函數(shù)的統(tǒng)一要求。對各目標函數(shù)的范圍做進一步明確：

1）為保證極位夾角盡可能大，確定極位夾角不小于10°，即10°≤θ≤17°，于是轉(zhuǎn)換成弧度，有：

2）由設(shè)計要素的條件得：

3）為保證搖桿的擺角Δψ盡可能接近60°，使－1°≤f3（x）≤1°，轉(zhuǎn)換成弧度，有：

1.3 約束條件的確定

曲柄搖桿機構(gòu)要滿足曲柄存在的條件。其中最長桿與最短桿的長度之和≤其他兩桿長度之和；四桿中要有一個為最短桿。取l1＝1，因此有：

2 使用MATLAB 優(yōu)化工具箱進行優(yōu)化求解

MATLAB的優(yōu)化工具箱選用最佳方法來求解，初始參數(shù)輸入簡單，語法特征符合數(shù)學(xué)表達式的書寫，編程工作量大大減少，有著很大的優(yōu)越性［5］。該優(yōu)化工具箱提供了一般和大型的非線性優(yōu)化函數(shù)，同時還提供了線性規(guī)劃、二次規(guī)劃、非線性方程求解的工具。本例屬于一般非線性多目標規(guī)劃問題，其標準型為：

調(diào)用MATLAB優(yōu)化工具箱中非線性規(guī)劃求解函數(shù)fgoalattain［6］來求解。其命令的基本格式：［X，fval，attainfactor，exitflag］＝fgoalattain（＠ObjFun，x0，goal，weight，A，B，Aeq，Beq，vlb，vub）；其中各個參數(shù)的含義如下：ObjFun 為定義求解的多目標函數(shù)；x0為變量初值；A，B為約束函數(shù)中線性不等式約束的參數(shù)；Aeq，beq為約束函數(shù)中線性等式約束的參數(shù)；c（x），ceq（x）均為非線性函數(shù)組成的向量；vlb，vub分別是變量X 的下限和上限值；goal是目標函數(shù)邊界組成的向量；Weight是目標函數(shù)的權(quán)重值［7］。對于判斷求解是否有效可通過attainfactor和exitflag 兩個參數(shù)來確定：當exitflag＞0時，表示所求的解收斂；當attainfactor＞0時，表示目標值沒有溢出goal。對于本例中求解最優(yōu)解，分兩個步驟進行：

1）根據(jù)前文敘述的目標函數(shù)表示法，建立M文件ObjFun.m，定義各個目標函數(shù)：

2）根據(jù)非線性多目標規(guī)劃求解函數(shù)fgoalattain的形式，建立主程序qiujie.m 函數(shù)：

3 使用Pro／E軟件仿真功能對多目標優(yōu)化結(jié)果進行驗證

針對多目標優(yōu)化設(shè)計，由于含有多個目標值，各個目標之間往往存在互相制約和矛盾的情況，而且各個目標函數(shù)的權(quán)重值不好確定，因此非線性多目標優(yōu)化結(jié)果往往很難準確給出最優(yōu)結(jié)果。在使用MATLAB優(yōu)化工具箱求解時，只有在明確了各個目標函數(shù)的權(quán)重值時，才有可能。此四桿機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計含有三個目標函數(shù)，在滿足不同的目標函數(shù)權(quán)重值前提下，理論上滿足條件的解應(yīng)該是無窮多個?，F(xiàn)在令各目標函數(shù)權(quán)重值weight＝0.3333，即在各目標函數(shù)同等重要的情況下，在不同桿長度段初始值運行程序進行搜索，得出滿足該設(shè)計目標的優(yōu)化值，現(xiàn)取桿長初值x0 ＝［2 2 2］～［6 6 6］時，各組解的情況，列表如下：

表1 相同目標函數(shù)比重值時的優(yōu)化結(jié)果

由上表數(shù)據(jù)可以看出，滿足該多目標優(yōu)化解的結(jié)果很多，通過表中數(shù)據(jù)可以確定第二組解是相對最 優(yōu)解，其 中：l1＝1，l2＝2.9513，l3＝2.1433，l4＝2.8873。

仿真的重要工具是計算機和仿真軟件，Pro／E操作軟件是美國參數(shù)技術(shù)公司（PTC）旗下CAD／CAM／CAE一體化的三維軟件［8］。將以上所求的曲柄、連接桿、搖桿和固定桿長值都擴大100倍，在Pro／E軟件中進行尺寸設(shè)計、裝配并設(shè)置連接后，添加驅(qū)動器伺服電動機，進行運動仿真，當曲柄與連架桿運動到重疊共線時，仿真狀態(tài)位置圖如下圖所示：

圖2 四桿機構(gòu)運動仿真位置圖

經(jīng)過Pro／E 軟件運動仿真，該組結(jié)構(gòu)參數(shù)完全滿足此多目標優(yōu)化設(shè)計的要求，搖桿擺角為60°，極位夾角相對最優(yōu)，最大壓力角也滿足要求。

4 結(jié)語

在進行四桿機構(gòu)及其他類型機構(gòu)的多目標優(yōu)化設(shè)計時，對于各個目標函數(shù)做統(tǒng)一邊界處理，明確各目標函數(shù)在整個數(shù)學(xué)模型中的權(quán)重值和所要設(shè)計的機械性能特性，應(yīng)用多目標優(yōu)化設(shè)計的線性加權(quán)法［9］，使用MATLAB 優(yōu)化工具箱，進行程序編制，找出滿足條件的解，再進行性能相對比較分析，尋找到比較適合各設(shè)計目標的最優(yōu)解，最終通過Pro／E軟件進行運動仿真，將在MATLAB軟件中求解的數(shù)據(jù)導(dǎo)入到Pro／E 軟件中，對結(jié)果進行驗證。該方法具有方便、快捷、高效和準確的特點，為較好地解決四桿機構(gòu)多目標優(yōu)化設(shè)計問題提供了一個途徑。

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