龔建良，劉佩進(jìn)，李 強(qiáng)

(西北工業(yè)大學(xué)燃燒、熱結(jié)構(gòu)與內(nèi)流場(chǎng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

0 引言

復(fù)合固體推進(jìn)劑作為固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的重要能源物質(zhì)，要求其具有一定的力學(xué)性能。一般復(fù)合固體推進(jìn)劑的粒子體積分?jǐn)?shù)高達(dá)80%，是一種粒子增強(qiáng)體復(fù)合材料，力學(xué)特性復(fù)雜，出現(xiàn)多種現(xiàn)象，如應(yīng)變軟化、Mullin效應(yīng)、界面脫濕及體積膨脹等［1］。在化學(xué)性能不變的情況下，這些力學(xué)現(xiàn)象是多種因素綜合作用的結(jié)果，可將其影響因素分為3種:一是幾何因素，如粒子體積分?jǐn)?shù)﹑粒子的幾何形狀﹑粒徑分布﹑顆粒的聚集程度等;二是物理因素，如基體的物理屬性、粒子的物理屬性、粒子與基體的界面粘結(jié)特性;三是環(huán)境因素，如溫度、載荷速率、圍壓等。在這些因素共同影響下，復(fù)合固體推進(jìn)劑內(nèi)部出現(xiàn)的損傷，如基體裂紋、粒子斷裂、基體與粒子的界面脫濕，使得其力學(xué)性能從線粘彈性轉(zhuǎn)為非線性粘彈性，對(duì)正確預(yù)估其力學(xué)性能提出困難。文獻(xiàn)［2］與［3］分別從試驗(yàn)與理論上，確定了在復(fù)合固體推進(jìn)劑中主要損傷形式是粒子與基體的界面脫濕，并對(duì)其宏觀力學(xué)行為具有重要影響。特別對(duì)其研究方法，不能局限于傳統(tǒng)的宏觀力學(xué)水平，由于顆粒﹑界面的尺度都處于微米級(jí)別，涉及到細(xì)觀尺度。因此，研究中應(yīng)充分考慮細(xì)觀現(xiàn)象對(duì)其宏觀性能的影響，有必要建立一種宏細(xì)觀結(jié)合的粘彈性本構(gòu)關(guān)系。

復(fù)合固體推進(jìn)劑是一種粒子增強(qiáng)的復(fù)合材料，主要由聚合物基體與剛性的氧化劑粒子組成［1］。國(guó)外，針對(duì)復(fù)合固體推進(jìn)劑，Schapery從不可逆熱力學(xué)角度，引入2個(gè)內(nèi)變量描述復(fù)合固體推進(jìn)劑的損傷，提出了宏觀形式的本構(gòu)關(guān)系［4］。Vratsanos與Farris從能量守恒角度，假定粒子的脫濕是從大粒子到小粒子依次脫濕，認(rèn)為粒子的脫濕是導(dǎo)致復(fù)合固體推進(jìn)劑非線性的主要原因，并確定了宏觀本構(gòu)關(guān)系［5］。Jung從粘彈性角度，假定基體粘性不改變粒子的脫濕過程，建立了臨界脫濕應(yīng)力方程，利用微分方程計(jì)算了宏觀有效割線模量，并結(jié)合Simo粘彈性本構(gòu)關(guān)系，描述了復(fù)合固體推進(jìn)劑的力學(xué)性能［4，6］。Ravichandran與 Liu基于 Eshelby等效夾雜理論與Mori-Tanaka方法，考慮了復(fù)合固體推進(jìn)劑中的界面損傷，提出了一個(gè)率無(wú)關(guān)的唯象本構(gòu)關(guān)系［7］。Tan針對(duì)PBX9501高能炸藥，使用數(shù)字圖像相關(guān)(DIC)技術(shù)，獲取了基體與粒子的界面粘性定律，并確定了模型參數(shù)，并在RVE上，使用平均化與Mori-Tanaka法，確定了高三軸應(yīng)力下的線彈性宏觀本構(gòu)關(guān)系，利用有限元技術(shù)數(shù)值模擬了宏觀本構(gòu)關(guān)系，顯示了增強(qiáng)體粒徑大小對(duì)PBX9501高能炸藥的界面脫濕具有重大影響，并將此模型擴(kuò)張到線粘彈性本構(gòu)關(guān)系［3，8－9］。國(guó)內(nèi)，陳建康針對(duì)粒子增強(qiáng)體粘彈性復(fù)合材料，使用Eshelby等效理論與Mori-Tanaka法，建立了宏觀本構(gòu)關(guān)系，通過數(shù)值模擬得出了宏觀應(yīng)變率、粒子分散度、基體的松弛時(shí)間與界面粘結(jié)強(qiáng)度對(duì)宏觀本構(gòu)關(guān)系都具有重大影響［10］。彭威針對(duì)復(fù)合固體推進(jìn)劑，考慮粒子增強(qiáng)作用與界面脫濕損傷，建立了含損傷變量的粘彈性宏觀本構(gòu)關(guān)系，并與拉伸曲線對(duì)比，結(jié)果吻合較好［1］。李丹與胡更開針對(duì)高粒子體積分?jǐn)?shù)聚合物材料，基于Laplace變換和雙夾雜相互作用的彈性模型，建立了細(xì)觀力學(xué)模型，計(jì)算了玻璃珠/ED-6復(fù)合材料的有效松弛模量及常應(yīng)變率下的本構(gòu)關(guān)系［11］。趙玖玲針對(duì)復(fù)合固體推進(jìn)劑的界面脫濕機(jī)理，建立了雙尺度有限元損傷分析平臺(tái)，分析了在小應(yīng)變范圍內(nèi)的宏觀應(yīng)力應(yīng)變曲線，得到了界面脫濕使推進(jìn)劑的宏觀模量降低［12］。

從以上研究可看出，針對(duì)復(fù)合固體推進(jìn)劑的力學(xué)性能，國(guó)內(nèi)外已從細(xì)觀力學(xué)角度展開研究。然而，在大應(yīng)變載荷時(shí)，界面脫濕對(duì)宏觀力學(xué)行為具有重要影響，需要深入地定量分析。因此，本文針對(duì)聚合物基復(fù)合固體推進(jìn)劑，采用橫觀各向同性的空泡(Vacuole)代替已發(fā)生脫濕的AP粒子，基于能量守恒定律與細(xì)觀有效場(chǎng)理論，推導(dǎo)了一種宏細(xì)觀結(jié)合的粘彈性算法。采用Fortran語(yǔ)言完成程序的編寫，針對(duì)單峰分布的配方與雙峰分布的配方推進(jìn)劑，數(shù)值計(jì)算了拉伸曲線，定量分析了界面脫濕對(duì)其粘彈性力學(xué)性能的影響，為預(yù)估推進(jìn)劑配方在大應(yīng)變載荷時(shí)的力學(xué)性能，提供了一種精確與穩(wěn)定的工具。

1 建立宏細(xì)觀結(jié)合的粘彈性算法

在載荷作用下，假設(shè)復(fù)合固體推進(jìn)劑內(nèi)部粒子從大到小依次發(fā)生界面脫濕，采用能量守恒方法得到了在粒子發(fā)生脫濕后的臨界應(yīng)變方程，并依據(jù)細(xì)觀理論Ju-Chen方法，估計(jì)了在臨界應(yīng)變方程中的宏觀有效模量。最后，采用三參數(shù)Poything模型，描述了復(fù)合固體推進(jìn)劑的粘彈性。在復(fù)合固體推進(jìn)劑所有內(nèi)部粒子的脫濕過程中，通過循環(huán)迭代，建立了宏細(xì)觀的粘彈性算法。

首先，依據(jù)能量守恒定律，假設(shè)其內(nèi)部損傷完全由界面脫濕決定，得到了在粒子發(fā)生脫濕后的臨界應(yīng)變方程［6］:

式中 Gc是基體/粒子單位面積的界面粘結(jié)能，R是粒子的半徑，c是粒子體積分?jǐn)?shù)，G0與K0分別是復(fù)合固體推進(jìn)劑宏觀有效剪切模量與體積模量。

應(yīng)變偏量eij與體量εkk滿足:

可知，式(1)描述了復(fù)合固體推進(jìn)劑在粒子發(fā)生脫濕后，臨界應(yīng)變與宏觀有效模量、粒子半徑、粒子體積分?jǐn)?shù)及界面粘結(jié)能的關(guān)系。

其次，采用了Ju-Chen方法確定臨界應(yīng)變方程的宏觀有效模量。由掃描電鏡結(jié)果可知，復(fù)合固體推進(jìn)劑在拉伸過程中存在基體/粒子的界面脫濕，并產(chǎn)生空泡，粒子的增強(qiáng)效果減弱［2］。因此，粒子在發(fā)生脫濕后，采用空泡描述其狀態(tài)，見圖1。圖1描述的是一種由粒子、空泡與基體組成的三相復(fù)合材料。為了確定細(xì)觀尺度的粒子對(duì)復(fù)合材料的宏觀增強(qiáng)效果，采用Ju-Chen方法，預(yù)估了含空泡的三相復(fù)合材料的宏觀有效模量。設(shè)復(fù)合材料平均剛度矩陣是［ˉC］，基體剛度矩陣是［C0］，粒子剛度矩陣是［Ci］，以及由粒子脫濕而產(chǎn)生的空泡剛度矩陣是［cv］，有如下關(guān)系［13］:

式中 ［］方括號(hào)表示方陣;［A］=［Ci－ C0］－1［C0］，［B］=［Cv－C0］－1［C0］;ci為粒子的體積分?jǐn)?shù)，cv為由粒子脫濕而產(chǎn)生的空泡體積分?jǐn)?shù);［S］為Eshelby矩陣［13］。

圖1 三相復(fù)合材料Fig.1 Three-phase composite

在載荷作用下，脫濕的粒子并不是完全地散失載荷傳遞能力，不同部位脫濕程度不同，一般是從極區(qū)開始脫濕。因此，引入因子Fb表示不同的脫濕程度，認(rèn)為脫濕的粒子，即空泡，具有橫觀各向同性屬性，其剛度矩陣表示為［14］

式中 m=(1－ν23ν32)－1;Eii為彈性粒子的彈性模量;νij為彈性粒子的泊松比。

為了考慮相與相的相互影響，式(3)中的［Γr］表示相互影響矩陣，當(dāng)r=i表示粒子;當(dāng)r=v表示空泡，相互影響矩陣表示為［13］

式中 ［I］為單位方陣;cr為相 r的體積分?jǐn)?shù);Y=Ym(1－cr)，Ym為相互影響系數(shù);［Wr］= ζ1δijδkl+ζ2(δikδjl+ δilδjk)，包括參數(shù) ζ1，ζ2，β。

最后，復(fù)合推進(jìn)劑在載荷作用下的力學(xué)響應(yīng)是粘彈性，如果采用細(xì)觀力學(xué)有效場(chǎng)理論確定粘彈性復(fù)合材料的有效模量，需要使用Laplace變換原理，這涉及頻率域到時(shí)間域的逆變換，過程復(fù)雜，甚至不存在逆變換。因此，本文將粘彈性的力學(xué)響應(yīng)分為彈性響應(yīng)與粘性響應(yīng)，彈性響應(yīng)使用Ju-Chen方法確定，而粘性響應(yīng)使用3參數(shù)Poything模型描述［15］，在恒溫常拉伸速率載荷下，復(fù)合固體推進(jìn)劑的粘彈性宏觀本構(gòu)關(guān)系是:

式中 E0是瞬時(shí)彈性響應(yīng)模量，由等式(3)確定;參數(shù)E1與τ分別是復(fù)合固體推進(jìn)劑的松弛模量與松弛時(shí)間。

至此，完成了宏細(xì)觀結(jié)合的界面脫濕粘彈性算法的建立。為了將算法應(yīng)用于復(fù)合固體推進(jìn)劑力學(xué)性能的預(yù)估，采用Fortran語(yǔ)言編制了程序，程序的流程結(jié)構(gòu)見圖2。

圖2 粘彈性算法的流程圖Fig.2 Flow chart of viscoelastic algorithm

2 界面脫濕粘彈性算法的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證算法的正確性，針對(duì)單峰分布的HTPB基玻璃珠增強(qiáng)復(fù)合材料展開數(shù)值模擬，算法中的原始參數(shù)依據(jù)文獻(xiàn)［14］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果而確定。平均粒徑32 μm，對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差0.167;初始粒子體積分?jǐn)?shù)Fi=30%，初始的空泡體積分?jǐn)?shù)Fv=0。擬合確定界面粘結(jié)能Gc=2.24 J/m2，部分脫濕因子 Fb=10－5，相互影響系數(shù)Ym=1.18。依據(jù)文獻(xiàn)［14］玻璃珠增強(qiáng)粒子的剪切模量Gi=30 GPa與泊松比 νi=10－5，基體的泊松比 ν0=0.495，基體的瞬時(shí)彈性響應(yīng)模量 E0=1.55 MPa［14］。

給定控制體的體積是4 609 mm3，在控制體中內(nèi)粒子的頻度分布依據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果而確定。由文獻(xiàn)［14］可知，粒子的頻度滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布，圖3顯示了在數(shù)值模擬中控制體內(nèi)粒子的頻度分布，平均粒徑32 μm，最小粒徑 1 μm，最大粒徑113 μm。

在拉伸速率10 mm/min、有效距離75 mm載荷下，文獻(xiàn)［14］獲取了模擬復(fù)合固體推進(jìn)劑HTPB的拉伸曲線，應(yīng)用本文算法在相應(yīng)的應(yīng)變率˙ε=0.002 2 s－1下，松弛模量 E1=0.2 E0，松弛時(shí)間 τ =120 s，通過數(shù)值模擬獲取計(jì)算結(jié)果，并與文獻(xiàn)［14］的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相對(duì)比，見圖4。結(jié)果表明，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較為吻合，說(shuō)明了假定粒子從大粒徑到小粒徑粒子的脫濕過程是合理的，且拉伸曲線由線粘彈性階段與非線性軟化階段組成。

圖3 控制體中粒子的頻度分布Fig.3 Frequency distribution of particles on the ensemble-volume

圖4 針對(duì)HTPB基復(fù)合材料，數(shù)值模擬與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.4 Comparison between computation and experiment for composite based HTPB

3 數(shù)值模擬的分析

3.1 界面粘結(jié)能對(duì)粘彈性力學(xué)性能的影響

為了確定基體與粒子的界面粘結(jié)能力對(duì)復(fù)合固體推進(jìn)劑宏觀力學(xué)行為的影響，針對(duì)單峰分布的HTPB基玻璃珠增強(qiáng)復(fù)合材料，采用第2章的初始參數(shù)，計(jì)算了不同界面粘結(jié)能的拉伸曲線，見圖5?？芍?，隨著界面粘結(jié)能的增大，臨界應(yīng)變隨之增大，推進(jìn)劑的強(qiáng)度提高，具有更高的承載能力。因?yàn)榕R界應(yīng)變方程表明了臨界應(yīng)變與界面粘結(jié)能的平方根成正比，所以在推進(jìn)劑配方中，增加基體與粒子界面的粘接能力，可提高力學(xué)性能。但也可看出，在拉伸曲線的初始階段，界面粘接能不影響拉伸曲線的性能，因?yàn)樵诖穗A段基體與粒子界面粘接良好，所以獲得相同的拉伸曲線。

3.2 拉伸速率對(duì)脫濕與力學(xué)性能的影響

為了分析拉伸速率對(duì)復(fù)合固體推進(jìn)劑脫濕與力學(xué)性能的影響，針對(duì)單峰分布的HTPB基玻璃珠增強(qiáng)復(fù)合材料，采用第2章的初始參數(shù)，計(jì)算了在不同拉伸速率下的拉伸曲線，見圖6。可知，拉伸速率越高，初始宏觀有效模量上升，粒子內(nèi)部更容易發(fā)生界面脫濕。因?yàn)槔焖俾实奶岣?，改變了載荷對(duì)復(fù)合材料的作用時(shí)間，載荷速率越高，作用時(shí)間越短，粘彈性基體顯示出脆性。

圖5 界面粘結(jié)能對(duì)宏觀力學(xué)行為的影響Fig.5 Influence of interfacial adhesive energy on macroscopic mechanical behavior

圖6 不同拉伸速率下的計(jì)算拉伸曲線Fig.6 Calculation curves for different tension rates

3.3 體積分?jǐn)?shù)對(duì)脫濕與力學(xué)性能的影響

針對(duì)簡(jiǎn)化配方的雙峰分布HTPB基復(fù)合材料，依據(jù)文獻(xiàn)［12］的 AP 粒徑峰值是 335 μm 與 135 μm;在不影響粒子增強(qiáng)效果與界面損傷情況，忽略小組分等微量元素;應(yīng)用本文算法取Gc=11.2 J/m2，分別計(jì)算了粒子體積分?jǐn)?shù)47%﹑55%與59%的拉伸曲線，見圖7。由圖7可知，粒子體積分?jǐn)?shù)的增大，初始宏觀有效模量值隨之增大，宏觀強(qiáng)度也得到提高。但當(dāng)界面發(fā)生脫濕后，復(fù)合固體推進(jìn)劑內(nèi)部粒子發(fā)生而出現(xiàn)空泡，宏觀有效模量發(fā)生退化，拉伸曲線發(fā)生線粘彈性轉(zhuǎn)化為非線性粘彈性的現(xiàn)象，體積分?jǐn)?shù)越高，產(chǎn)生空泡的機(jī)會(huì)也就越高，力學(xué)性能更容易出現(xiàn)軟化行為。為了進(jìn)一步說(shuō)明在高粒子體積分?jǐn)?shù)的推進(jìn)劑中更容易發(fā)生損傷。圖8為不同體積分?jǐn)?shù)下的體積膨脹應(yīng)變行為。

圖8計(jì)算了在拉伸過程中相應(yīng)的體積膨脹應(yīng)變。可知，體積分?jǐn)?shù)越高，體積膨脹應(yīng)變?cè)酱?，表明了推進(jìn)劑內(nèi)部損傷程度嚴(yán)重，也說(shuō)明了界面發(fā)生脫濕后，推進(jìn)劑從不可壓向可壓縮性質(zhì)轉(zhuǎn)變。表1給出了Ju-Chen方法預(yù)估復(fù)合材料的初始模量值?？芍?，本文的預(yù)估精度高于文獻(xiàn)［12］。

圖7 不同體積分?jǐn)?shù)下的力學(xué)行為Fig.7 Mechanical behaviors for different particle volume fraction

表1 HTPB初始模量Table 1 Initial Modulus for HTPB

圖8 不同體積分?jǐn)?shù)下的體積膨脹應(yīng)變行為Fig.8 Dilatation strain behaviors of different particle volume fractions

4 結(jié)論

(1)針對(duì)復(fù)合固體推進(jìn)劑在幾何因素與物理因素確定的情況下，只要給定了粒子與基體的界面粘結(jié)能，就可直接應(yīng)用本文算法，分析在大應(yīng)變載荷時(shí)界面脫濕對(duì)其粘彈性本構(gòu)關(guān)系的影響。

(2)粒子體積分?jǐn)?shù)對(duì)宏觀力學(xué)行為具有重要影響，高粒子體積分?jǐn)?shù)可增強(qiáng)強(qiáng)度，但拉伸曲線的軟化行為更加明顯。

(3)增加界面粘結(jié)能，可對(duì)粒子的脫濕起到抑制作用。但隨拉伸速率的提高，界面更容易脫濕。

［1］彭威.復(fù)合固體推進(jìn)劑粘彈損傷本構(gòu)模型的細(xì)觀力學(xué)研究［D］.長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)，2001.

［2］曾甲牙.丁羥基推進(jìn)劑拉伸斷裂行為的掃描電鏡研究［J］.固體火箭技術(shù)，1999，22(4):328-334.

［3］Tan H，Huang Y，Liu C，et al..The Mori-Tanaka method for composite materials with nonlinear interface debonding［J］.International Journal of Plasticity，2005，21(10):1890-1918.

［4］Schapery R A.A micromechanical model for non-linear viscoelastic behavior of particle-reinforced rubber with distributed damage［J］.Engineering Fracture Mechanics，1986，25(5):845-867.

［5］Vratsanos-Anderson L L，F(xiàn)arris R J.A predictive model for the mechanical behavior of particulate composites.Part I:Model derivation［J］.Polymer Engineering ＆ Science，1993，33(22):1458-1465.

［6］Jung G D，Youn S K.A nonlinear viscoelastic constitutive model of solid propellant［J］.International Journal of Solids and Structures，1999，36(25):3755-3777.

［7］Ravichandran G，Liu C T.Modeling constitutive behavior of particulate composites undergoing damage［J］.International Journal of Solids and Structures，1995，32(6):979-990.

［8］Tan H，Liu C，Huang Y，et al..The cohesive law for the particle/matrix interfaces in high explosives［J］.Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2005，53(8):1892-1917.

［9］Tan H，Huang Y，Liu C.The viscoelastic composite with interface debonding［J］.Composites Science and Technology，2008，68(15):3145-3149.

［10］Chen J K，Huang Z P，Mai Y W.Constitutive relation of particulate-reinforced viscoelastic composite materials with debonded microvoids［J］.Acta Materialia，2003，51(12):3375-3384.

［11］李丹，胡更開.高體積百分比顆粒增強(qiáng)聚合物材料的有效粘彈性性質(zhì)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2007，28(3):270-280.

［12］趙玖玲，強(qiáng)洪夫.基于粘附功的復(fù)合推進(jìn)劑AP/基體界面損傷宏細(xì)觀仿真［J］.固體火箭技術(shù)，2011，34(5):614-618.

［13］Ju J W，Chen T M.Effective elastic moduli of two-phase composites containing randomly dispersed spherical inhomogeneities［J］.Acta Mechanica，1994，103(1):123-144.

［14］Wong F C，Kadi A A.Predictive capability of a new Mori-Tanaka micromechanical model for particulate composites［R］.AIAA 98-1861.

［15］張義同.熱粘彈性理論［M］.天津:天津大學(xué)出版社，2002:53-139.