賀 亮，王有峰，吳 蕊，謝 冉

(1.上海航天控制技術研究所，200233上海;2.上海市空間智能控制技術重點實驗室，200233上海;3.北京航空航天大學宇航學院，100191北京)

近年來，以在軌服務技術為代表的空間應用領域得到了突飛猛進的發(fā)展，為了奪取技術制高點，各航天強國都投入巨資開展關鍵技術攻關.目前，以美歐為代表的航天強國已經完成了諸如模塊更換、在軌組裝以及燃料加注［1-2］等項目的空間演示驗證，并且繼續(xù)制定一系列新的計劃拓寬在軌服務的內容和手段.

空間機器人作為在軌服務的一種有效手段［3］，尤其受到美德等國的青睞.實踐證明，空間機器人由于具有自主、靈活和安全等特點，在抓捕和操作目標的過程中表現出了其它工具所不具備的獨特優(yōu)勢，因此更加適合對精度要求較高的在軌服務項目.

空間機器人按機械臂的數量可以劃分為單臂空間機器人和多臂空間機器人.隨著任務復雜程度的不斷增加，單臂空間機器人將不能滿足對操作精度要求較高的在軌服務任務，相反，多臂空間機器人則能較好地滿足此類任務的需求，通過多條機械臂協同工作，快速靈活地完成抓捕、更換以及拖曳等操作.目前，國外已經制定了多項多臂空間機器人的研究計劃，典型的有美國的SUMO/FREND 計劃［4］、NM-5計劃以及鳳凰計劃.這些計劃都涉及到一項核心技術——機械臂協同控制技術，本文正是以此為背景，進行空間機器人多臂精準協同控制技術研究.

多臂空間機器人由于工作在零過載、微重力的空間環(huán)境中［5-6］，故安裝在其上的機械臂通常設計為輕柔的細長桿型結構，這使得它成為一種典型的多柔體系統;同時，由于機械臂運動產生的反作用力和力矩會改變本體的位置和姿態(tài)，即機械臂和本體之間存在著運動學和動力學耦合，導致地面固定基座操控平臺的控制技術不能直接應用到多臂空間機器人上［7-8］，因此需要利用多柔體系統動力學［9］的理論和方法建立柔性多臂空間機器人動力學模型.

在空間機器人建模方面，國內外學者已經取得了許多研究成果，典型的有美國的VAFA Z和DUBOWSKY S提出的虛擬機械臂(VM)概念［10］中國的梁斌提出的動力學等價機械臂［11］以及李瑰賢等［12］采用牛頓-歐拉法建立的動力學方程.為了得到更具普遍性的結果，本文采用Kane方法建立系統動力學模型.

1 系統建模

1.1 系統構型

本文研究的空間機器人包含3條機械臂，每條機械臂由7節(jié)構成，其構型如圖1所示.

圖1 多臂空間機器人構型

1.2 基本參數定義

1.2.1 坐標系單位基向量

1)中心體連體坐標系Sb(Obxbybzb)

原點Ob位于中心體質心，xb、yb和zb與中心體慣性主軸平行且滿足右手定則.

設系統有i條機械臂，第i條臂有ni節(jié)，定義第i條臂中第j節(jié)臂的機械臂坐標系原點位于第j節(jié)臂與其內接體的鉸鏈oi j處，坐標系各軸與第j節(jié)臂固連.

1.2.2 位置參數定義

接下來給出圖1中各矢量的定義:

1.2.3 運動參數

1.2.3.1 角速度

1.2.3.2 線速度

1)中心體線速度

2)第i條機械臂線速度不妨以j＞2為例，對R?i j求導，j=1 時同理可得

1.2.3.3 加速度

1)中心體質心加速度

2)第i條機械臂(以j＞2為例j=1時同理)

1.3 多臂空間機器人Kane方程

1.3.1 引理

理想約束條件下，系統若處于平衡，則

這個方程就是Kane方程，式中f*Ⅰk，f*ek和f*Nk分別稱為系統與偏速度Wk對應的第k階廣義慣性力、廣義主動力和廣義彈性力.

1.3.2 機械臂系統參數計算

1.3.2.1 廣義慣性力

1)中心體慣性力

中心體第1階廣義慣性力為

中心體第2階廣義慣性力為

中心體第k(k＞2)階廣義慣性力為

1.3.2.2 第i條機械臂第j節(jié)臂的慣性力

1)第1階廣義慣性力

2)第2階廣義慣性力

3)第2+7*(i-1)+l階廣義慣性力

1.3.2.3 廣義主動力

系統所受外力主要包括以下3個部分:

1)作用于中心體上的力F;

2)作用于中心體上的力矩T;

3)作用于機械臂各關節(jié)處的控制力矩，對應于第i條機械臂第j節(jié)臂的關節(jié)處的控制力矩記為Tij.

1.3.3 空間機器人各體動力學方程

1.3.3.1 中心體平動方程

中心體平動方程對應于第1階廣義速度R，將式(6)和式(9)式代入式(5)，因此有

1.3.3.2 中心體轉動方程

中心體轉動方程對應于第2階廣義速度ωb，將式(7)和式(10)式代入式(5)，因此有

1.3.3.3第i條機械臂第j節(jié)臂的轉動方程

第1節(jié)臂轉動方程對應于第2+7*(i-1)+1階廣義速度ωi1，將(8)和(11)式代入(5)，因此有

其他各節(jié)臂轉動方程類似，不再重復.

1.3.4 空間機器人系統矩陣形式完整動力學方程將中心體平動方程和轉動方程整合得到機械臂系統的動力學方程為

2 開鏈系統控制器設計

空間機器人軌跡跟蹤控制方面，國內外學者已經取得了大量研究成果，典型的有YOSHIDA K等［13］人提出的雙臂補償控制方法和林成金［14］提出的軌跡跟蹤魯棒控制方法.這些方法需要進行繁瑣的矩陣運算，難以實現機械臂軌跡實時跟蹤控制，為此，本文基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，推導得出了較為簡潔的控制算法，詳細過程如下文.

2.1 動力學方程簡化

在控制器設計過程中，忽略質心平動運動的影響，同時考慮到機械臂的運動過程一般比較緩慢，中心體的角速度一般也是小量，因此方程中的非線性耦合項可以作為高階小量忽略不計，于是系統動力學方程可以重新寫成下述的線性形式:

式中:

小角度假設下有

式(16)雖然形式上很簡潔，但實際上系統質量矩陣與機械臂各關節(jié)轉角相關，且計算表達式非常復雜，但考慮到整個系統運動較為緩慢，且機械臂的質量和慣量較小，因此可采用“凍結系數法”來計算質量陣.記更新時間段之內M的常值取為，則該時間段內控制器設計模型為

不同時段內除Mc的取值不同外，系統模型形式無變化，選取式(17)作為控制方程.

2.2 控制律設計

定義狀態(tài)量為實際值與期望值之間的誤差為

取中間變量

式中:K為對稱的正定矩陣.取Lyapunov函數

則有

取控制力矩

得到

從而說明函數V是定負的，因此由式(23)可知，函數V的解對t的全導數是定負的，也即說明該控制律能夠保證誤差收斂且是漸近收斂的.

3 數值仿真

首先給出多臂多自由度機械臂系統的仿真參數，表1給出3條機械臂在中心體上的安裝位置.

表1 3條機械臂在中心體上的安裝位置

表2給出第1條臂第2～7節(jié)的安裝位置，由于3條機械臂完全相同，故在此只給出其中1條的數據.

表3給出中心體、各條機械臂以及目標的質量特性參數，3條機械臂完全相同，只給出第1條臂的參數.

給定中心體姿態(tài)角初始狀態(tài)為［2 3 2］Tdeg，第一條臂各關節(jié)相對于標稱狀態(tài)的初始轉角為［-7.02 155.24-142.08-13.15-3.37 0 0］Tdeg，中心體和機械臂各關節(jié)角速度均為零，考慮到實際控制力矩的大小有限，限定中心體的最大控制力矩為umax-b=［100100100］TN·m，各關節(jié)最大控制力矩為50 N·m，利用Matlab仿真得到結果如圖2～5所示.

表2 第1條臂第2～7節(jié)的安裝位置

表3 中心體、第1條機械臂各節(jié)以及目標的質量特性參數

圖2 中心體在控制力矩作用下姿態(tài)角變化曲線

圖3 第1條臂第1、3、5關節(jié)角在控制力矩作用下的變化曲線

圖4 中心體所受的控制力矩變化曲線

圖5 第1條臂第1、3、5關節(jié)所受的控制力矩變化曲線

第2、4、6關節(jié)的仿真結果類似，文中不再給出.從圖2至圖5可以看出，在控制力矩受約束的情況下，最終平臺姿態(tài)和關節(jié)轉角都能很好的跟蹤期望值(姿態(tài)角和關節(jié)轉角的期望值都取為零)，并且姿態(tài)角控制精度達到了1×10-9rad，與梁斌［10］提出的動力學等價機械臂(DEM)方法相比，具有更高的控制精度，與林成金［13］提出的軌跡跟蹤魯棒控制方法相比，具有更高的穩(wěn)定.

4 結論

1)利用Kane方法建立了具有3條7自由度的空間多臂機器人動力學方程，并且只要改變模型中的求和上限，即可改變機械臂的數量和自由度所得的結果可以推廣到具有n條m個自由度的空間機器人，n，m∈Z.

2)針對開鏈情況下中心體和機械臂的協同控制問題，設計了基于李雅普諾夫函數的機械臂運動跟蹤控制律，實現了機械臂在三維空間抓捕目標過程中對期望軌跡的跟蹤.

3)通過數值仿真可知，本文所設計的控制律其他方法相比具有更高的控制精度和穩(wěn)定性，并且在力矩大小受限與不受限兩種情況下均能實現機械臂末端軌跡跟蹤.

4)本文所建立的模型具有一定的開放性，只要在現有模型中加入彈性坐標系即可將模型轉化為柔性機械臂系統，而不需要重新推導方程.

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