張保帥，周孝華，李 強(qiáng)

（重慶大學(xué)經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院，重慶 400030）

Bootstrap方法和SV模型在風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度中的應(yīng)用

張保帥，周孝華，李 強(qiáng)

（重慶大學(xué)經(jīng)濟(jì)與工商管理學(xué)院，重慶 400030）

文章用SV-GED模型刻畫收益率序列的尖峰厚尾、波動(dòng)集聚以及異方差等特征，在得到標(biāo)準(zhǔn)殘差序列的基礎(chǔ)上，與Bootstrap方法結(jié)合構(gòu)建一個(gè)基于參數(shù)---非參數(shù)估計(jì)的新的風(fēng)險(xiǎn)度量模型——基于Boot?strap-SV-GED模型的風(fēng)險(xiǎn)度量模型，最后對(duì)模型的有效性進(jìn)行了分析。研究表明：Bootstrap-SV-GED模型能很好的刻畫收益率序列的特征，并且能在一定程度上提高金融風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量的精度。

Bootstrap方法；SV-GED模型；風(fēng)險(xiǎn)

0 引言

VaR方法主要是利用金融資產(chǎn)回報(bào)誤差項(xiàng)的分布設(shè)定和波動(dòng)率對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行估計(jì)，傳統(tǒng)的辦法是將市場(chǎng)因子看成是具有固定方差的正態(tài)分布從而簡(jiǎn)單估計(jì)VaR值。而大量的實(shí)證研究表明，資產(chǎn)回報(bào)序列并不服從正態(tài)分布，而是具有尖峰厚尾性、波動(dòng)聚集性和偏倚性等非正態(tài)分布序列，還有資產(chǎn)回報(bào)序列之間往往存在非線性相關(guān)性和尾部相關(guān)性，而且是時(shí)變的。傳統(tǒng)的非條件正態(tài)分布假設(shè)已經(jīng)不再適用，而更具厚尾特征的條件分布才是更加符合實(shí)際市場(chǎng)波動(dòng)和風(fēng)險(xiǎn)狀況的收益分布假定。

本文的研究主要是通過引入SV-GED模型刻畫金融收益序列的波動(dòng)特征，在得到標(biāo)準(zhǔn)殘差序列的基礎(chǔ)上，進(jìn)而結(jié)合Bootstrap方法，計(jì)算收益率序列的VaR值，最后對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析。主要?jiǎng)?chuàng)新之處就是把Bootstrap方法與SV模型結(jié)合起來組建一個(gè)新的風(fēng)險(xiǎn)度量模型。

1 Bootstrap方法及風(fēng)險(xiǎn)度量模型構(gòu)建

1.1 Bootstrap方法

Bootstrap方法是1979年Efron首先提出的，在1987年被引入到國(guó)內(nèi)，在過去的幾十年時(shí)間，該方法在理論和應(yīng)用上得到了充分的發(fā)展，尤其被應(yīng)用到金融風(fēng)險(xiǎn)度量領(lǐng)域。Bootstrap方法不需要對(duì)總體分布作假設(shè)或事先推導(dǎo)估計(jì)量的解析式，而且還適用于小樣本的情形，它要做的僅僅是重構(gòu)樣本并不斷計(jì)算估計(jì)值，顯然，它本質(zhì)上是一種非參數(shù)方法。其基本思想為：用已知的經(jīng)驗(yàn)分布代替未知的總體分布，通過對(duì)原始樣本采用有放回的抽樣來產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)，從而對(duì)總體的特征做出推斷。

1.2 基于Bootstrap-SV-GED風(fēng)險(xiǎn)度量模型

為了能充分反應(yīng)資產(chǎn)收益的異方差性及“尖峰肥尾”特征，本文在基本SV模型基礎(chǔ)上采用JP Morgan在Risk Metrics提出廣義誤差分布(GED)，得到SV-GED模型：

其中：式(1)為均值方程，式(2)為波動(dòng)率方程；誤差項(xiàng)εt和ηt互不相關(guān)；φ為持續(xù)性參數(shù)，反映了當(dāng)前波動(dòng)對(duì)未來波動(dòng)的影響，對(duì)于φ＜1，SV-GED模型是協(xié)方差平穩(wěn)的。GED是一種更為靈活的分布，通過對(duì)參數(shù)的調(diào)整可以擬合不同的情形。

θt服從均值為μ+φ(θt-1-μ)，方差為τ-1的正態(tài)分布，即：

依據(jù)公式（1）可以推導(dǎo)出當(dāng)θt給定時(shí)，yt的分布密度函數(shù)為：

SV類模型的常用的參數(shù)估計(jì)主要有偽極大似然法（QML）及廣義矩法（GMM）等，但以上方法由于其對(duì)樣本條件的限制等常會(huì)使得參數(shù)估計(jì)值偏誤較大，我們這里采用基于MCMC(Markov Chain Monte Carlo)的貝葉斯估計(jì)方法對(duì)SV-GED模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，應(yīng)用的軟件為Winbugs。根據(jù)MCMC參數(shù)估計(jì)的基本原理可知，平穩(wěn)分布與初始分布無關(guān)，Markov鏈在經(jīng)過足夠多的次數(shù)迭代后，若各個(gè)時(shí)刻狀態(tài)的邊際分布都是平穩(wěn)分布，則認(rèn)為該Markov鏈為收斂的，因此，參數(shù)的后驗(yàn)分布不會(huì)隨著參數(shù)的先驗(yàn)分布發(fā)生顯著變化，由此我們參照Kim、Shephard、Eric等的經(jīng)驗(yàn)選取以下分布作為先驗(yàn)分布：

考慮到Bootstrap方法主要應(yīng)用對(duì)象是獨(dú)立同分布的殘差序列，而在SV-GED模型中，標(biāo)準(zhǔn)殘差zt是一個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，因此可以對(duì)zt進(jìn)行重復(fù)再抽樣，進(jìn)而估計(jì)出收益率序列的VaR值和區(qū)間估計(jì)。Bootstrap方法應(yīng)用過程中需要編寫一定的統(tǒng)計(jì)程序，主要使用R軟件。具體的步驟如下：

（1）有殘差序列zt=(z1,z2,…,zn)構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn;

（2）從Fb中又放回地隨機(jī)抽取簡(jiǎn)單樣本z?=(z?1,…z?b)，m≤n，稱為Bootstrap子樣，z?i～Fn，在隨機(jī)抽樣時(shí)，采用模特卡羅模擬的方法；

（3）重復(fù)步驟（2）抽樣N次，由Bootstrap子樣得到N個(gè)樣本的估計(jì)值ξi，i=1，…N，樣本估計(jì)量可以用ξb相應(yīng)的分為數(shù)來表示;

2 實(shí)證分析

2.1 樣本選取及統(tǒng)計(jì)描述

本文以上證綜指為應(yīng)用研究對(duì)象，選取上證綜指自2010年2月9日到2012年3月21日的共510個(gè)每日收盤指數(shù)進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)來源是大智慧炒股軟件。定義上證綜指的對(duì)數(shù)收益：

表1、圖1給出了上證綜指收益序列的描述性統(tǒng)計(jì)。從表1中可以看出，上證綜指收益均值均接近于0，偏度都為負(fù)，峰度大于3，這說明上證綜指收益率左偏且具有明顯的尖峰厚尾特征；J-B正態(tài)性檢驗(yàn)也說明收益率顯著異于正態(tài)分布；從圖1可以看出，上證綜指具有典型的尖峰厚尾特點(diǎn)，且呈現(xiàn)非對(duì)稱的分布，還有就是收益率的序列呈現(xiàn)一定的集聚性和爆發(fā)性。

表1 上證綜指收益率序列的統(tǒng)計(jì)特征

圖1 上證綜指收益率序列圖

2.2 SV-GED模型參數(shù)及檢驗(yàn)

首先對(duì)SV-GED模型的待定參數(shù)做貝葉斯估計(jì)，MCMC的Gibbs的抽樣次數(shù)為50000次，由于Markov鏈?zhǔn)諗壳暗囊欢螘r(shí)間的迭代中，各狀態(tài)的邊際分布還不能認(rèn)為是平穩(wěn)的，因而選擇“燃燒”舍去前25000個(gè)抽樣值，用后25000次的抽樣作為各參數(shù)的穩(wěn)定分布抽樣，參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2 SV-GED模型的估計(jì)結(jié)果

由表2可知，自由度值υ的估計(jì)值為1.351，明顯小于2，表明了收益率明顯不同于正態(tài)分布，有較強(qiáng)的尖峰厚尾特征，φ接近于1表示收益率序列有很強(qiáng)的波動(dòng)集聚性，因此，可以認(rèn)為SV-GED模型很好地刻畫了收益率序列的特征。而采用MCMC估計(jì)，參數(shù)估計(jì)值序列的收斂性診斷異常重要，如果一個(gè)參數(shù)估計(jì)值序列不收斂，那就意味著它不會(huì)圍繞一個(gè)值來波動(dòng)，方差將會(huì)很大，也就是等價(jià)于一個(gè)回歸模型中的回歸參數(shù)的t值非常小，從而無法通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。基于此，我們要對(duì)SV-GED模型進(jìn)行收斂性診斷。

有表2可以看到，各個(gè)參數(shù)的MC誤差遠(yuǎn)小于標(biāo)準(zhǔn)差，我們可以得到一個(gè)初步的結(jié)論，參數(shù)的估計(jì)趨于收斂；然后參數(shù)估計(jì)值收斂性的判斷可以通過觀察各參數(shù)估計(jì)值的演進(jìn)圖、變化趨勢(shì)圖、以及自相關(guān)圖獲得一個(gè)進(jìn)一步的判斷。我們就以參數(shù)φ為例，看下φ的演進(jìn)圖、變化趨勢(shì)圖、以及自相關(guān)圖，在圖2的演進(jìn)圖中可以看出兩條Markov鏈很快就絞合在一起了，變化趨勢(shì)圖也是如此，而且兩條鏈都沒有表現(xiàn)出明顯的變化趨勢(shì)，而在自相關(guān)圖中各參數(shù)經(jīng)過將Markov鏈打薄處理后明顯不具有記憶性了，其他的不再列舉，因此可以判斷各參數(shù)的估計(jì)值是收斂的。

圖2 參數(shù)φ估計(jì)值的收斂情況、概率分布及自相關(guān)圖

2.3 基于Bootstrap-SV-GED模型的VaR估計(jì)及檢驗(yàn)

2.3.1 Bootstrap-SV-GED模型的VaR估計(jì)

接下來，我們應(yīng)用Bootstrap方法計(jì)算出殘差序列的極大似然估計(jì)和區(qū)間估計(jì)（表3）。

表3 Bootstrap下95%、99%置信水平VaR估計(jì)

有表3可以看出，在95%置信水平下，在抽樣次數(shù)100次的時(shí)候，區(qū)間估計(jì)表現(xiàn)不是很好，而隨著抽樣次數(shù)的增加，區(qū)間估計(jì)就比較穩(wěn)定了，并且區(qū)間估計(jì)顯得比MLE估計(jì)更加緊湊，這說明，引進(jìn)Bootstrap方法可以在一定程度上彌補(bǔ)數(shù)據(jù)不足的缺陷；而在的99%的置信水平下，區(qū)間估計(jì)整體表現(xiàn)的都比MLE估計(jì)緊湊。接下來我們對(duì)Bootstrap-SV-GED模型效果進(jìn)行分析。

2.3.2 Bootstrap-SV-GED模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠?jì)量效果，將計(jì)算出的VaR與實(shí)際損失做比較，通常采用的是Kupiec失敗率檢驗(yàn)法，具體就是當(dāng)實(shí)際損失大于VaR時(shí)，稱之為一次“異?！?，可通過檢驗(yàn)發(fā)生的“異?！眰€(gè)數(shù)診斷估計(jì)模型。Kupiec給出了這種檢驗(yàn)方法的置信域，在置信域內(nèi)異常的次數(shù)越低，模型的預(yù)測(cè)效果越好，但異常次數(shù)過低，卻意味著模型過于保守。依次選擇置信度為0.95、0.99，為了比較模型的效果，分別用Bootstrap-SV-GED的VaR模型與基于SV-GED的VaR模型與Bootstrap-GRACH模型的VaR模型預(yù)測(cè)樣本數(shù)據(jù)樣本的VaR值，然后與實(shí)際VaR值對(duì)比做后驗(yàn)測(cè)試，檢驗(yàn)結(jié)果見表4。

表4 VaR失敗率的Kupiec LR檢驗(yàn)結(jié)果

由表4看出，置信度越高，各模型通過檢驗(yàn)的失敗次數(shù)越少，其中Bootstrap-SV-GED模型和另外兩個(gè)模型相比失敗次數(shù)更少，對(duì)VaR的預(yù)測(cè)效果更好。同時(shí)Bootstrap-GRACH模型表現(xiàn)比SV-GED模型要好，說明應(yīng)用Bootstrap方法度量金融風(fēng)險(xiǎn)是比較有效的。因此可以得出結(jié)論，Bootstrap-SV-GED模型能在一定程度提高VaR的預(yù)測(cè)效果，說明Bootstrap-SV-GED模型是合理有效的。

3 結(jié)論

VaR己經(jīng)成為金融風(fēng)險(xiǎn)度量的重要工具之一，近些年獲得了重大的發(fā)展，對(duì)于VaR方法的改進(jìn)主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是計(jì)算速度和計(jì)算精度的改進(jìn)；另一方面是對(duì)所謂“標(biāo)準(zhǔn)VaR”的擴(kuò)展。本文提出的基于Bootstrap方法和SV模型的VaR計(jì)算，是在計(jì)算精度方面的改進(jìn)，將這種統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用到了金融領(lǐng)域中的，克服了樣本不夠時(shí)估計(jì)VaR不準(zhǔn)確的缺陷，并且還能得到VaR的區(qū)間估計(jì)。同時(shí)，Bootstrap-SV-GED模型既考慮了金融數(shù)據(jù)的尖峰厚尾、波動(dòng)集聚、異方差等特征，又很好的模擬了殘差序列的特征，這種靈活的參數(shù)-非參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)度量模型能在很大程度上提高風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量的精度，有很廣闊的應(yīng)用前景，譬如投資組合的風(fēng)險(xiǎn)、極值尾部的風(fēng)險(xiǎn)以及波動(dòng)率等，其中基于Bootstrap方法和SV模型與極值理論結(jié)合研究風(fēng)險(xiǎn)度量是我們下一步研究方向。

[1]Giorgio Consigli.Tail Estimation and Mean-VaR Portfolio Selection in Markets Subject to Financial Instability[J].Journal of Banking&Fi?nance,2002,26.

[2]Bollerslev,T.A Conditionally Heteroskedastic Time-series Models for Security Prices and Return[J].Review of Economics and Statistics,1987,59.

[3]Morimoto T akayuki,Kawasaki Yoshinori.Empirical Comparison of Multivar Iate GARCH Models for Estimation o f Intraday Value at Risk[C].Working Paper,2008.

[4]Kim Shephard,Chib.Stochastic Volatility:Likelihood Inference and Comparison with ARCH Models[J].Review of Economic Studies,1998,65.

[5]Eric Jacquier,E,N.G.Polson,P.E.Rossi.Bayesian Analysis of Stochastic Volatility Models[J].Journal of Economic Statiatics,1994,12.

[6]Kim,S.,Shephard,N.,Chib,S.Stochastic Volatility:Likelihook Inference and Comparison with ARCH Models[J].Review of Economic Studies,1998,65.

[7]孟利鋒,張世英,何信.SV模型參數(shù)估計(jì)的經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)方法[J].系統(tǒng)工程,2004,22(21).

[8]葉五一,繆柏其,吳振翔.基于Bootstrap方法的VaR計(jì)算[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2004,19(5).

[9]曾羽中,萬(wàn)建平.基于Bootstrap方法的VaR區(qū)間估計(jì)[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2009,26(1).

[10]馮烽.基于EGARCH模型和Bootstrap方法的在險(xiǎn)價(jià)值度量[J].廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院學(xué)報(bào),2011,24(5).

F224

A

1002-6487（2013）04-0066-03

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目（CDJXS11021112）；重慶市自然科學(xué)基金計(jì)劃項(xiàng)目（CSTC2011BB2088）

張保帥（1981-），男，河南泌陽(yáng)人，博士研究生，研究方向：金融風(fēng)險(xiǎn)管理。

周孝華（1965-），男，湖南武岡人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：金融工程、金融市場(chǎng)及風(fēng)險(xiǎn)管理。

李 強(qiáng)（1969-），男，河南焦作人，博士研究生，研究方向：金融工程和風(fēng)險(xiǎn)管理。

（責(zé)任編輯/亦 民）