許康生，李 英，李秋紅

（中國(guó)地震局蘭州地震研究所，甘肅 蘭州 730000 ）

0 引言

地震波攜帶著豐富的震源信息和路徑介質(zhì)信息，人們希望通過(guò)對(duì)地震信號(hào)的分析獲取所關(guān)注的信息。對(duì)地震信號(hào)處理最經(jīng)典的方法是傅里葉變換，但傅里葉變換是純頻域的分析方法，處理時(shí)丟失了時(shí)間信息。又因?yàn)楦道锶~變換嚴(yán)格要求系統(tǒng)的線性、信號(hào)的平穩(wěn)性，對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)表現(xiàn)出很大局限性。后來(lái)發(fā)展的短時(shí)傅里葉變換（STFT），受窗函數(shù)的制約，不能在時(shí)間域和頻率域同事得到很好的分辨率。小波變換由于具有多分辨率的特征，其時(shí)間窗和頻率窗隨信號(hào)的具體形態(tài)可以動(dòng)態(tài)調(diào)整，在時(shí)域和頻域表征局部信息的能力得到加強(qiáng)。本文期望通過(guò)對(duì)地震信號(hào)的多分辨率分解，展現(xiàn)地震波在頻域和時(shí)域的動(dòng)態(tài)特征和規(guī)律。對(duì)近地震的相對(duì)能量分布特征的分析就是其中的問題之一。

1 地震信號(hào)各子帶相對(duì)能量分布的數(shù)學(xué)表達(dá)

信號(hào)的小波多分辨率分解可表達(dá)為

式中S（t）為信號(hào)；Cj（k）為小波系數(shù)；ψj，k（t）是小波母函數(shù)。由于小波簇｛ψj，k（t）｝對(duì)L2（R）是 正交的，小波系數(shù)由Cj（k）＝＜S，ψj，k＞ 給出，每層的能量就是細(xì)節(jié)信號(hào)的能量：

總能量有下式給出：

我們定義一個(gè)歸一化參數(shù)ρj表示相對(duì)小波能量：

這個(gè)時(shí)間窗口的總能量為

相對(duì)能量分布為

2 各子帶相對(duì)能量分布的理論測(cè)試

2．1 信號(hào)構(gòu)建

構(gòu)建信號(hào)的采樣率為100sps．構(gòu)建的正弦信號(hào)分為3段：第一段頻率為0．5Hz，第二段頻率為5 Hz，第三段頻率為15Hz。

2．2 小波基的選擇

在信號(hào)分析時(shí)小波基的選擇也很重要。我們?cè)诖诉x擇了Daubechies小波。其特點(diǎn)是有較好的緊支撐性、光滑性和近似對(duì)稱性。小波系數(shù)按正整數(shù)N分為不同序列（dbN），考慮到地震儀記錄地震波的頻帶范圍，在此我們選用db8。

2．3 理論信號(hào)的小波分解及結(jié)果檢驗(yàn)

在Matlab2009a環(huán)境下，自編程序?qū)崿F(xiàn)信號(hào)的小波多分辨率分解。圖1展示了原始理論信號(hào)和信號(hào)重構(gòu)的對(duì)比，可見信號(hào)沒有因分解和重構(gòu)的處理而發(fā)生失真。通過(guò)對(duì)原始信號(hào)和重構(gòu)信號(hào)的偏差統(tǒng)計(jì)分析，得到二者的方差（SSE）為1．554 2e－019，均方根差為（RMSE）為7．351 2e－012。可以滿足計(jì)算分析的要求。

2．4 理論信號(hào)的相對(duì)能量分布

根據(jù)前述信號(hào)的相對(duì)能量分布的數(shù)學(xué)表征，對(duì)構(gòu)建信號(hào)進(jìn)行了小波相對(duì)能量分布的計(jì)算。采用db8小波基將信號(hào)分解為8個(gè)子帶，每個(gè)子帶對(duì)應(yīng)的頻段如表1所示。

結(jié)果表明，信號(hào)的能量集中在子帶2、4、7，對(duì)應(yīng)信號(hào)的15Hz、5Hz和0．5Hz，與信號(hào)頻率一致。從理論信號(hào)的處理及測(cè)試結(jié)果表明，這種方法是有效的、可靠的。

3 實(shí)際地震波的計(jì)算處理

我們選取了9例2010年甘肅地震臺(tái)網(wǎng)記錄ML3．3～4．2，震源深度5．9～9．2km的地震，進(jìn)行小波多分辨率的分解及相對(duì)小波能量分布計(jì)算。所選地震的有關(guān)參數(shù)來(lái)自中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)（表2）。

表1 子帶與頻段對(duì)應(yīng)表Table 1 Corresponding table for frequency band and sub－band

表2 選取的地震參數(shù)Table 2 Seismic parameters of selected earthquake

3．1 實(shí)際地震信號(hào)的小波分解和結(jié)果檢驗(yàn)

對(duì)選取的9例地震記錄進(jìn)行了小波多分辨率分解（db8），并進(jìn)行信號(hào)重建。對(duì)重建信號(hào)和原始信號(hào)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果表明，方差（SSE）量級(jí)達(dá)到10－19，均方根差（RMSE）的量級(jí)達(dá)到10－12，與理論信號(hào)的誤差量級(jí)一致。圖2展示了2010年3月3日武都地震，甘肅文縣臺(tái)垂直向記錄的小波多分辨率分解的各層細(xì)節(jié)和信號(hào)重建的波形，可見分解后的細(xì)節(jié)更清晰的表達(dá)了信號(hào)的頻率特征和在時(shí)序上的變化過(guò)程，重建信號(hào)與原始信號(hào)之間偏差極小。

圖2 文縣臺(tái)垂直向地震記錄的小波多分辨率分解和信號(hào)重建（2010－03－03武都地震）Fig．2 Multiresolution decomposition and signal rebuild of Wudu earthquake in 2010recorded by Wenxian seismic station）．

表3 地震波峰值子帶Table 3 The sub－band of seismic wave peak

3．2 實(shí)際地震波的相對(duì)能量分布

采用同樣的計(jì)算方法，計(jì)算了這9例地震一些近臺(tái)記錄垂直向的相對(duì)能量分布（表3）。

從表3可見近地震的能量主要集中在3，4，5這3個(gè)頻率子帶，估算的頻率范圍在1～15Hz，其中，子帶4能量峰值最為集中，頻率范圍為在3～6Hz，同一地震不同臺(tái)站記錄的相對(duì)能量分布存在差異。

對(duì)不同震中距段內(nèi)，能量峰值子帶的出現(xiàn)概率作了初步統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表4?？梢钥闯鲭S震中距增大，峰值能量的頻率由低向高的走勢(shì)，這種現(xiàn)象的解釋或許是一個(gè)需要進(jìn)一步探求的問題。

表4 地震峰值能量頻帶的概率統(tǒng)計(jì)Table 4 The probability on sub－band of seismic wave peak

圖3 文縣臺(tái)垂直向記錄的相對(duì)能量分布（2010．03．03武都地震）Fig．3 Distribution of relative energy of Wudu earthquake in 2010recorded by Wenxian seismic sation．

圖3給出了2010年3月3日武都地震甘肅文縣臺(tái)垂直向記錄的相對(duì)能量分布。

4 結(jié)果與討論

（1）基于小波多分辨率分解的后的重建信號(hào)與原始信號(hào)之間的偏差很?。ㄔ?0e－12量級(jí)上），可以滿足信號(hào)分析的要求；

（2）將地震信號(hào)分解在不同頻率的子帶上，仍然保留了信號(hào)的時(shí)間信息，并在一定程度壓制了其它雜噪干擾信號(hào)，更利于研究地震波在不同頻段的時(shí)程變化規(guī)律，更利于研究震源過(guò)程、能量輻射規(guī)律和路徑介質(zhì)的各向異性；

（3）近地震的峰值能量頻率集中在3～6Hz之間；

（4）地震波相對(duì)能量的計(jì)算方法可以很好的揭示近地震能量分布在頻率域的特征；

（5）由于小波窗長(zhǎng)的影響，計(jì)算過(guò)程會(huì)有一些能量泄露，在計(jì)算處理時(shí)要給予注意和考慮。

［1］ 李英，張淑貞，許康生．小波降噪方法在地震信號(hào)處理中的應(yīng)用［J］．西北地震學(xué)報(bào)，2006，28（2）：159－162．

LI Ying，ZHANG Shu－zhen，XU Kang－sheng．Application of Wavelet Transfer in Seismic Signal Denoise［J］．Northwestern Seismological Journal，2006，28（2）：159－162．

［2］ 劉希強(qiáng)，沈萍，山長(zhǎng)侖，等．?dāng)?shù)字化地震波形資料的時(shí)頻分析方法及應(yīng)用［J］．西北地震學(xué)報(bào)，2004，26（2）：118－124．

LIU Xi－qiang，SHEN Ping，SHAN Chang－lun，et al．Time－frequency Method and Its Application in Digital Seismic Wave Data Processing［J］．Northwestern Seismological Journal，2004，26（2）：118－124．

［3］ 姚家駿，楊立明，馮建剛．常用時(shí)頻分析方法在數(shù)字地震波特征量分析中的應(yīng)用［J］．西北地震學(xué)報(bào)，2011，33（2）：105－109．

YAO Jia－jun，YANG Li－ming，F(xiàn)ENG Jian－gang．Application of Common Time－Frequency Analysis Methods in Analyzing Characteristic Quantity of Digital Seismic Wave［J］．Northwestern Seismological Journal，2011，33（2）：105－109．

［4］ 王燕，劉俊民，王曉明，等．地震閾值監(jiān)測(cè)技術(shù)中的震級(jí)校正［J］，西北地震學(xué)報(bào)，2011，33（4）：319－321．

WANG Yan，LIU Jun－min，WANG Xiao－ming，et al．Magnitude Calibration of Seismic Threshold Monitoring［J］．Northwestern Seismological Journal，2011，33（4）：319－321．

［5］ 楊福生．小波變換的工程分析與應(yīng)用［M］．北京：科學(xué)出版社，2000：42－68．

YANG Fu－sheng．Application and Engineering analysis of Wavelet Transfer［M］．BeiJing：Science Press，2000：42－68．

［6］ 胡昌華，張軍波，夏軍，等．基于 MATLAB的系統(tǒng)分析與統(tǒng)計(jì)［M］．西安：西安電子科技大學(xué)出版社，1999：210－232．

HU Chang－h(huán)ua，ZHANG Jun－bo，XIA Jun，et al．Statistics and Analysis of System Based on MATLAB［M］．Xi′an：Xi′an University of Electronic Science and Technology Press，1999：210－232．

［7］ 許康生，李秋紅，李英．大地震前近臺(tái)背景噪聲的頻譜分析［J］．西北地震學(xué)報(bào)，2012，34（2）：150－153．

XU Kang－sheng，LI Qiu－h(huán)ong，LI Ying．Analysis on the Spectrum of Background Noise in Stations Near by Epicenters of Two Great Earthquakes［J］．Northwestern Seismological Journal，2012，34（2）：150－153．

［8］ 劉希強(qiáng)，孫亞強(qiáng)，趙冰，等．地震震中實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)定位的方法研究［J］．西北地震學(xué)報(bào)，2012，34（4）：342－348．

LIU Xi－qiang，SUN Ya－qiang，ZHAO Bing，et al．Research on Real－time Evolutionary Earthquake Epicentral location［J］．Northwestern Seismological Journal，2012，34（4）：342－348．

［9］ Daubechies I．Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelet［J］．Communication Pure and Applied Mathematics，1988，41（7）：909－996．