孟 丹

(青島理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，青島 266033)

隨著海洋石油開采水深的增加，鋼懸鏈線立管(Steel Catenary Riser)成為深海油氣資源開發(fā)的首選立管形式。1994年安裝了世界上第一條鋼懸鏈線立管，引起了工程界和學(xué)術(shù)界的極大關(guān)注［1-5］。以往對深水海洋立管這種細(xì)長的柔性結(jié)構(gòu)多采用大位移小應(yīng)變的分析方法，而實際上即使對于伸展性不明顯的立管結(jié)構(gòu)，大應(yīng)變的影響都不可忽視［6］。小應(yīng)變的假設(shè)只適用于應(yīng)變量相對于單元長度來說足夠小的情況，對于深水細(xì)長立管，這種假設(shè)很難滿足設(shè)計計算中精度的要求。在波浪和流的作用下，不僅上部浮體產(chǎn)生的復(fù)雜動力響應(yīng)會作用于鋼懸鏈線立管［7-9］，立管本身也承受著強度相當(dāng)大的波浪和流的作用力。而在分析計算中，都是將外部流體的非線性作用力進行線性化，甚至忽略流體阻尼的影響，不能反映外部流體對立管振動的實際影響。準(zhǔn)確地預(yù)報出實際海況中鋼懸鏈線立管的動力響應(yīng)問題，對于逐漸向深海發(fā)展的海洋開采事業(yè)具有重大的意義［10］。

因此，本文考慮深水鋼懸鏈線立管大應(yīng)變的特性以及內(nèi)流和外部流體的影響，采用具有彎曲剛度的細(xì)長梁模型模擬鋼懸鏈線立管，利用Hamilton原理和拉格朗日應(yīng)變理論建立了立管的二維動力學(xué)模型，探討了在頂部浮體激勵影響下立管的動力響應(yīng)。

1 鋼懸鏈線立管的動力學(xué)模型

圖1給出了典型的上部連接于浮體的自由懸掛鋼懸鏈線立管的構(gòu)型圖，水深為xH，頂部的靜止偏移為yV。立管頂端作用有初始的拉力Tt以保持立管的初始構(gòu)型。圖中定義了立管的三種狀態(tài)分別為初始態(tài)、平衡態(tài)以及動態(tài)。立管在初始狀態(tài)下，由于其自重、內(nèi)流的作用、軸向和彎曲變形達到平衡狀態(tài)。同時，平衡狀態(tài)被認(rèn)為是立管動力學(xué)計算的初始狀態(tài)。在外部荷載的作用下，立管會由平衡態(tài)發(fā)展到動態(tài)，u1、u2和u3分別為立管微元ds0從平衡態(tài)到動態(tài)在X、Y和Z方向上的位移。在本文的研究中，只考慮立管在XOY平面內(nèi)的運動，即u3=0。

圖1 鋼懸鏈線立管大變形示意圖Fig.1 Schematics of large deformations of steel catenary riser

立管軸向應(yīng)變能Ua的變分表達式為:

其中，Ta=EA0ε0，Tb=EA0;E為立管的彈性模量，A0為平衡位置立管的橫截面積，ε0為平衡位置立管的應(yīng)變。彎曲應(yīng)變能的變分表達式為:

進行立管的動力分析，外力所做的虛功包括有效重力、外部流體以及慣性力所做的虛功［10］，其中由有效重力做的虛功可表示為:

其中，we=(ρ+ρf-ρeA0)g，并且 ρ為初始位置單位長度管道質(zhì)量，ρf為平衡初始位置單位長度內(nèi)部流體質(zhì)量，ρe為外部流體密度，g為重力加速度。

由外部流體做的虛功δWH可表示為:

其中，pn、pt分別為外部流體作用在立管上的正壓力、切向力［11］，在本文外部流體的參數(shù)分析中，假設(shè)外部流體為穩(wěn)定流，在XOY平面內(nèi)沿Y軸正向流動，且速度為U。以往針對鋼懸鏈線立管順流向動力響應(yīng)的研究中，都將外部流體的作用力進行了線性化，本文為了考慮外部流體阻尼的影響，定義符號函數(shù):

則pn、pt的表達式為:

根據(jù)參考文獻［10］給出的管道和內(nèi)部流體的加速度的表達式，由慣性力做的功δWI可表示為:

其中，m'os=ρs'0為平衡位置時單位長度管道的質(zhì)量;m'oi=ρfs'0為平衡位置時單位長度內(nèi)部流體的質(zhì)量;V為立管內(nèi)部流體的流速。

根據(jù)虛位移原理

可以得到動力學(xué)系統(tǒng)在虛位移δu1和δu2上的Euler’s方程，將立管在平衡位置的初始條件代入Euler’s方程可得系統(tǒng)在平衡位置處的靜力平衡方程。由于平衡位置是系統(tǒng)進行動力分析的初始狀態(tài)，所以聯(lián)合靜力平衡方程和Euler’s方程便可得到系統(tǒng)在XOY平面內(nèi)的運動方程。

將水深xH分成n個長度為l的單元，則相對應(yīng)的立管單元內(nèi)任意一點的位移可表示為:

其中:

Ni為Hermit插值函數(shù)，

其中:［M］、［G］、［K］分別為整體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，表達式為:

為外部流體在豎直和水平方向上的速度;

為豎直和水平方向上的流體阻尼和拖曳力系數(shù);

Cxy=(Ct-Cn)sinθcosθ為x-y平面內(nèi)等效水動力阻尼耦合系數(shù)，

為x-y平面內(nèi)拖曳力耦合系數(shù)，其中:

2 求解方法與模型驗證

為了得到立管的動力響應(yīng)，利用數(shù)值積分的方法，即Newmak-β法(積分參數(shù)γ=1/2，β=1/4)和Newton-Raphson迭代法對動力學(xué)方程進行求解。并用Matlab將上述算法編寫程序resp.m來輸出計算結(jié)果。

求解時立管底端的邊界條件為

立管頂部的邊界條件為

初始條件為

為了驗證本文建立模型的正確性和保證下文計算結(jié)果的有效性，現(xiàn)將本文的計算結(jié)果與已有研究成果進行比較。文獻［7］分別用有限差分法和REFLEX計算了二維鋼懸鏈線立管在頂部浮體激勵下的動力響應(yīng)，文獻采用的立管模型物理參數(shù)如表1所示。

表1 立管物理參數(shù)Tab.1 Analysis input data

圖2 MSBM處動彎矩結(jié)果比較Fig.2 Comparative results for the dynamic bending moment at the location of the maximum static bending moment

3 結(jié)果與討論

由于已有研究成果計算中未考慮外部流體以及內(nèi)流的作用。所以，以下內(nèi)容將針上述模型在內(nèi)外流體流動影響下的動力響應(yīng)進行詳細(xì)的分析，深入研究立管在彈性模量、內(nèi)流流速以及外部流體流速等不同影響因素的作用下動力響應(yīng)的變化情況。外部流體的參數(shù)為:海水密度 ρe=1 025 kg/m3，海流流速U=0 ～1.5 m/s，附加質(zhì)量系數(shù)CA=1，慣性系數(shù)CM=2。

3.1 彎曲剛度的影響

本文建立的模型的另一個特點就是考慮了立管彎曲剛度對動力響應(yīng)的影響，所以有必要分析有無彎曲剛度時立管的動力學(xué)行為。圖3為不同激勵頻率時立管響應(yīng)彎矩的包絡(luò)線，圖中虛線均為彎曲剛度為零時的動力響應(yīng)。從圖中可以看出，彎曲剛度存在對立管的動力響應(yīng)幅值有一定的影響，特別是上下兩端影響較大。對于立管頂部，ωV=0.4 rad/s時不考慮彎曲剛度計算所得的彎矩值約為考慮彎曲剛度時的1.4倍，ωV=1.1 rad/s時不考慮彎曲剛度計算所得的彎矩值約為考慮彎曲剛度時的1.5倍。

圖3 彎曲剛度影響下立管沿水深動彎矩幅值Fig.3 The total bending moment along the riser under horizontal excitation demonstrated the effects of extensibility

3.2 內(nèi)流流速的影響

圖4 不同時刻立管動彎矩分布圖Fig.4 The total bending moment along the riser demonstrated the effects of internal fluid velocities

內(nèi)流流速的變化會使立管的剛度產(chǎn)生變化［12］，進而影響立管在浮體激勵下的動力響應(yīng)。圖4為Tt=2.5×1 279×103kN、ωV=0.4 rad/s時不同內(nèi)流流速對立管浮體激勵動力響應(yīng)的影響。從可以看出，內(nèi)流流速的增加使動彎矩幅值增大，特別是立管的底部彎矩增加的最明顯，當(dāng)流速達到35 m/s時，彎矩增大了約0.5倍。同時還可以看出流速增加使產(chǎn)生最大彎矩的位置向下移動。

圖5為不同內(nèi)流流速時立管底端和頂端的應(yīng)力時程曲線，從中可以看出，動力響應(yīng)經(jīng)過一定的時間趨于問題。流速的變化對立管底端的應(yīng)力值產(chǎn)生很大的影響，而對頂端卻無明顯的影響。

圖5 不同內(nèi)流流速時單元應(yīng)力時程曲線Fig.5 Time history curve of stress at different internal fluid velocities

3.3 外部流體對動力響應(yīng)的影響

外部流體的存在不但使鋼懸鏈線立管產(chǎn)生附加質(zhì)量，還會產(chǎn)生非線性拖曳力的作用，所以對其動力響應(yīng)肯定會有影響。圖6和圖7分別為不同外流流速時立管動力響應(yīng)的彎矩分布圖和單元應(yīng)力時程曲線。從圖中可以看出，外流流速對立管底端的彎矩和應(yīng)力的影響非常明顯，如流速達到0.341m/s時，彎矩增大了約3倍，而對立管的其他部分影響很小。另外，與以上影響因素不同的是，外流流速增大會使立管底端由原來的正負(fù)應(yīng)力交替出現(xiàn)變?yōu)檎龖?yīng)力大小的交替變化，從圖7中可以明顯的反映出來。

圖6 不同時刻立管動彎矩分布圖Fig.6 The total bending moment along the riser demonstrated the effects of external flow velocity

圖7 不同外流流速時單元應(yīng)力時程曲線Fig.7 Time history curve of stress at different external flow rate

4 結(jié)論

本文詳細(xì)分析了彈性模量、內(nèi)流流速和外部流體對立管在上部浮體激勵下動力響應(yīng)的影響。結(jié)果表明，本文建立的動力學(xué)模型在分析鋼懸鏈線立管XOY平面內(nèi)的運動特性是有效的。并且，立管的動力分析設(shè)計需要考慮各種因素的影響。

鋼懸鏈線立管彎曲剛度存在與否對立管動力響應(yīng)的影響很大，特別是上下兩端。內(nèi)流的變化使立管的浮體激勵響應(yīng)產(chǎn)生變化，隨著內(nèi)流流速的增加，立管底部的彎矩明顯變大;外部流體的存在不但使鋼懸鏈線立管產(chǎn)生附加質(zhì)量，還會產(chǎn)生拖曳力的作用，所以對其動力響應(yīng)產(chǎn)生影響。外流流速對立管底端的彎矩和應(yīng)力的影響非常明顯，對立管的其他部分影響很小。另外，與彎曲剛度和內(nèi)流等影響因素不同的是，外流流速增大會使立管底端由原來的正負(fù)應(yīng)力交替出現(xiàn)變?yōu)檎龖?yīng)力大小的交替變化。

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