陳 振，徐 鑒

(同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092)

近些年學者對壓氣機的研究產(chǎn)生了很大的興趣，這其中主要包括對壓氣機內(nèi)部氣流的動力學行為的研究以及旋轉(zhuǎn)失速和喘振的控制問題［1-3］。出現(xiàn)這股研究熱潮的原因是因為近些年壓氣機工業(yè)上越來越追求大的升壓比和大推力的壓氣機。當軸流壓氣機工作在最大壓升時，容易產(chǎn)生不穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即壓氣機容易進入到旋轉(zhuǎn)失速和喘振工況。壓氣機進入到旋轉(zhuǎn)失速和喘振后，飛機發(fā)動機會出現(xiàn)不穩(wěn)定的振動，從而導致飛機出現(xiàn)“顫抖”，甚至會出現(xiàn)機毀人亡的慘劇。因此避免這兩種不穩(wěn)定的工作形式的出現(xiàn)具有很重要的意義。學者們把目光集中在了主動的采取措施來控制壓氣機的動力學行為，保證壓氣機不會進入到旋轉(zhuǎn)失速或者喘振。

上個世紀80年代，學者Moore等［4］提出了一個把壓縮系統(tǒng)流量、壓升、擾動波振幅耦合到一起的非線性動力學模型。這個模型形式上很簡單，但實驗發(fā)現(xiàn)它能夠準確的預(yù)測到旋轉(zhuǎn)失速和喘振的發(fā)生［5］?；贛G模型的優(yōu)越性，在過去的幾十年里，很多學者以MG模型為基本模型，提出了對軸流壓氣機旋轉(zhuǎn)失速和喘振的控制策略［6］。需要看到的是很多控制策略都是獨立的針對旋轉(zhuǎn)失速或喘振來控制。但是旋轉(zhuǎn)失速是喘振的先兆，旋轉(zhuǎn)失速和喘振之間沒有明確的分界線，因此需要把這兩種不穩(wěn)定的形式統(tǒng)一起來進行研究。Gu等［7］提出來的控制策略，初步的彌補了以前的控制策略的缺點，能夠控制旋轉(zhuǎn)失速和喘振的發(fā)生。旋轉(zhuǎn)失速在失速點附近發(fā)生叉式分岔，通過對線性化系統(tǒng)的分析，我們知道線性反饋控制對于系統(tǒng)的零特征根沒有影響，因此需要采用非線性控制策略［8］。Wang等［9］的研究表明，對于以節(jié)流閥作為執(zhí)行機構(gòu)(actuator)的線性控制策略，在消除旋轉(zhuǎn)失速所伴隨出現(xiàn)的遲回現(xiàn)象時會失效。因此非線性控制就成了學者研究的重點領(lǐng)域。而對喘振的控制主要是增加壓氣機的喘振裕度，避免壓氣機進入到喘振這種極端的工況。

本文是介紹了一種簡單有效的控制策略，可以對工程上進行壓氣機不穩(wěn)定工作的控制提供參考。

1 模型和旋轉(zhuǎn)失速現(xiàn)象

1986年，Moore和Greitzer建立的耦合非線性動力學 MG 模型［4］為:

其中:Φ為無量綱的流量系數(shù)，Ψ為無量綱的壓升系數(shù)，B為Greiter參數(shù)，lc為管道平均長度，a為時間參數(shù)，r為節(jié)流參數(shù)，A為流量波動的一次諧波振幅，W、H為和壓氣機有關(guān)的常數(shù)，ΦT(Ψ)為節(jié)流特性函數(shù)。根據(jù)實際的工況［7］，本文中的參數(shù)取值為:lc=3，ψc0=0.3，H=0.18，W=0.25，r=0.4，B=0.4。

當壓氣機進氣量減小時，壓氣機的內(nèi)部氣流會出現(xiàn)一個周向旋轉(zhuǎn)的擾動波，這個擾動波的存在會在葉片前段造成堵塞，增加氣流攻角，從而產(chǎn)生氣流分離，壓氣機進入到旋轉(zhuǎn)失速狀態(tài)。旋轉(zhuǎn)失速進一步發(fā)展，壓氣機內(nèi)氣流會出現(xiàn)全流程的大振幅的軸向振動，進入到喘振狀態(tài)，此時周向擾動消失，方程(1)中A會變?yōu)榱?。進一步，A=0為喘振的必要條件，為了研究在此情況下參數(shù)r和B對喘振的影響，首先簡化方程(1)，為此，作變換:

為記號方便，去掉上述記號上的波浪號，仍把流量系數(shù)記為Φ，節(jié)流閥參數(shù)為r，流量系數(shù)的一次諧波振幅為A。將上述記號帶入方程(1)有:

其中:

壓氣機穩(wěn)定工作點由壓壓升特性Ψc以及節(jié)流特性的交點的位置來決定，方程(1)中壓氣機的節(jié)流特性表示為:

由方程(4)、(5)、(6)可以得到壓氣機的特性曲線，如圖1。

圖1 壓氣機特性曲線Fig.1 Schematic of compressor characteristic

圖1中rc和ra分別對應(yīng)著節(jié)流線Ψr與Ψc交點位于最高點1處以及與曲線Ψs相切時對應(yīng)的節(jié)流參數(shù)值。本文中可以根據(jù)方程(4)、(5)和(6)求得rc=1.034，ra=1.096。下一節(jié)的穩(wěn)定性分析可以得到曲線Ψc和Ψs的虛線部分代表著系統(tǒng)(2)的不穩(wěn)定的平衡點，而實線部分代表穩(wěn)定的平衡點。于是，壓氣機穩(wěn)定工作時，節(jié)流線和穩(wěn)態(tài)特性線的交點4位于穩(wěn)態(tài)特性線右支，為穩(wěn)定狀態(tài)。此時減小節(jié)流參數(shù)r，節(jié)流線向左側(cè)偏移，交點向上移動，壓升系數(shù)增加，壓氣機的效率增加。當?shù)竭_最高點1時，壓氣機的效率達到最大值。繼續(xù)減小節(jié)流參數(shù)r，交點將進入到旋轉(zhuǎn)失速不穩(wěn)定區(qū)域，交點會從1點跳躍到非軸對稱壓升特性線上的2點，處在一個穩(wěn)定狀態(tài)，而不是沿著軸對稱曲線向左移動。為了使壓氣機從旋轉(zhuǎn)失速退出，需要增加節(jié)流閥參數(shù)r的值，但是此時交點不會沿著原路跳回到最高點1點，而是會沿著Φs曲線繼續(xù)向下移動到3點，壓氣機的效率繼續(xù)減小。隨著節(jié)流參數(shù)進一步的增加，交點會從3跳躍到穩(wěn)定的區(qū)域上的交點4。以上描述的節(jié)流線與特性線的交點的運動路徑為4→1→2→3→4，構(gòu)成了旋轉(zhuǎn)失速所伴隨的遲回環(huán)。遲回環(huán)的存在會使壓氣機旋轉(zhuǎn)失速的控制伴隨著降低壓氣機效率的現(xiàn)象，因此需要采取有效的控制策略來消除遲回環(huán)的存在。

2 旋轉(zhuǎn)失速控制

上面提到了由于旋轉(zhuǎn)失速時伴隨著遲回現(xiàn)象，這個現(xiàn)象的存在對于旋轉(zhuǎn)失速的控制帶來了很大的麻煩，因此需要提出能夠消除遲回現(xiàn)象的控制策略。而在非線性動力學理論中提到亞臨界的叉形分岔會導致遲回環(huán)的存在，而超臨界的叉形分岔則不會產(chǎn)生遲回環(huán)。因此構(gòu)造控制策略的出發(fā)點就是控制能夠使系統(tǒng)在分岔點附近的分岔由亞臨界的叉形分岔變?yōu)槌R界的叉形分岔［11］。

下面我們采用基于在失速點附近調(diào)整節(jié)流閥參數(shù)的方法來提出對應(yīng)的反饋控制策略。系統(tǒng)(2)可以寫為:

其中u為非線性的反饋控制函數(shù):

Ψ0是對應(yīng)著預(yù)先設(shè)定的壓氣機穩(wěn)定時的壓氣機的壓升值，本文中取Ψ0=0.6。我們的目的是使這個控制策略能夠消除旋轉(zhuǎn)失速伴隨的遲回現(xiàn)象。同時需要指出的是，k＞0、u＞0、r＞0，這樣反饋控制實際上通過增加節(jié)流參數(shù)來進行旋轉(zhuǎn)失速的控制。為了得到控制系統(tǒng)的平衡態(tài)，令方程(7)右端等于零得到:

其中u=ksin(Ψ-Ψ0)，首先討論k=0時，這時有未施加控制的情形。

圖2 k=0時系統(tǒng)(2)的平衡態(tài)(11)和(12)隨r的變化情況Fig.2 The stable steady(11)and(12)for k=0 with r varying in system(2)

未施加控制的系統(tǒng)(2)的分岔圖如圖2所示，圖2由方程(11)、(12)得到。從圖2(a)中可以看出，r＜rc時，有不穩(wěn)定的平衡點A=0及兩個穩(wěn)定的非零平衡點，可以由系統(tǒng)(2)線性分析得到的雅克比矩陣的特征根的實部的正負來判斷;ra＞r＞rc時，有穩(wěn)定的平衡點0和兩個非零的穩(wěn)定的平衡點及兩個非零的不穩(wěn)定平衡點;當r＞ra時有穩(wěn)定的平衡點A=0。系統(tǒng)(2)在r=rc處發(fā)生亞臨界的叉形分岔，r＜rc系統(tǒng)的平衡點不穩(wěn)定，對應(yīng)著圖1中曲線Ψc的左支不穩(wěn)定，而右支是穩(wěn)定的。圖2(b)中看出，r=ra時，系統(tǒng)(2)發(fā)生鞍結(jié)分岔。ra＞r＞rc時，出現(xiàn)兩個平衡點，分別對應(yīng)著流量較大的分支和流量較小的分支，其中流量大的分支不穩(wěn)定，而流量小的分支穩(wěn)定，對應(yīng)著圖1中Ψs的上支不穩(wěn)定，而下支穩(wěn)定［10］。

從圖2中可以看出，沒有加入反饋控制的系統(tǒng)會隨著節(jié)流參數(shù)的減小，在分岔點r=rc處發(fā)生亞臨界的叉形分岔，系統(tǒng)(2)會出現(xiàn)遲回現(xiàn)象。圖2中下圖得，增加壓氣機的節(jié)流參數(shù)值，系統(tǒng)(2)的平衡點會在r=rs處發(fā)生跳躍現(xiàn)象。即增加節(jié)流參數(shù)值，平衡點不能夠沿著原來的路徑返回到穩(wěn)態(tài)特性線上，表現(xiàn)為旋轉(zhuǎn)失速時的遲回現(xiàn)象。

對于控制系統(tǒng)(7)和(8)結(jié)合(9)和(10)得到分岔圖3和4，其中控制參數(shù)分別為分別對應(yīng)著k=0.06和k=0.2。在圖3中，取定控制參數(shù)k=0.06，系統(tǒng)在分岔點r=rc附近發(fā)生超臨界的叉形分岔，遲回現(xiàn)象消失。此時系統(tǒng)(7)的平衡點在r=rs處的跳躍現(xiàn)象消失，因此能夠通過控制實現(xiàn)消去旋轉(zhuǎn)失速遲回現(xiàn)象的目的。增大控制參數(shù)，k=0.2，壓氣機會從旋轉(zhuǎn)失速曲線上更加平穩(wěn)的過渡到軸對稱曲線上，旋轉(zhuǎn)失速的控制會更加的順利，如圖4所示。

需要提及的是，在對壓氣機節(jié)流閥參數(shù)來實施反饋控制時，添加的反饋信號值不應(yīng)該過大，否則會使壓氣機的節(jié)流特性發(fā)生大的變化，從而使壓氣機內(nèi)部氣流的流動受到過大的影響。

圖3 k=0.06時系統(tǒng)(7)的平衡態(tài)(9)和(10)隨r的變化情況Fig.3 The stable steady(9)and(10)for k=0.06 with r varying in system(7)

圖4 k=0.2時時系統(tǒng)(7)的平衡態(tài)(9)和(10)隨r的變化情況Fig.4 The stable steady(9)and(10)for k=0.2 with r varying in system(7)

3 喘振現(xiàn)象控制

當壓氣機處于喘振狀態(tài)時，內(nèi)部的氣流為軸向往復(fù)振蕩，周向失速氣流團消失，對應(yīng)著Ae=0的情形［4］。為了更好的說明喘振控制時真實的壓氣機壓升和流量的變化情況，本文采用未簡化的系統(tǒng)模型。喘振控制系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)變?yōu)?

對于沒有加入控制的模型(k=0)，系統(tǒng)的動力學行為主要受到節(jié)流參數(shù)r，以及Greitzer參數(shù)的影響。當節(jié)流閥參數(shù)減小，節(jié)流線和穩(wěn)態(tài)特性線的交點越過最高點進入到左支時，壓氣機的穩(wěn)態(tài)特性將會發(fā)生改變而進入到不穩(wěn)定的狀態(tài)對應(yīng)著旋轉(zhuǎn)失速的情況，而此時系統(tǒng)是否會進入到喘振狀況，還需要由Greitzer參數(shù)值的大小來確定。系統(tǒng)中存在一個臨界的Greitzer參數(shù)Bc，當B＞Bc時，壓氣機會進入到喘振狀態(tài)。而B＜Bc時，壓氣機則處在旋轉(zhuǎn)失速狀態(tài)［4］。壓氣機一旦進入到喘振狀態(tài)，則會在內(nèi)部出現(xiàn)周期性的往復(fù)振動，對應(yīng)著動力系統(tǒng)出現(xiàn)周期振動的情形［12］。這種振動是大振幅、低頻率的振動，對壓氣機的安全工作危害很大，是壓氣機工作中需要避免出現(xiàn)的情況。

壓氣機的喘振對應(yīng)著非線性動力學系統(tǒng)中出現(xiàn)了周期振動。因此加入控制的動力學系統(tǒng)中，就需要研究隨控制參數(shù)k的變化，期望系統(tǒng)會發(fā)生亞臨界Hopf分岔，平衡態(tài)從周期運動變?yōu)榉€(wěn)定的焦點。

假定控制系統(tǒng)的平衡點為(Φ0，Ψ0)，作變換~Φ=Φ-Φ0，~Ψ=Ψ-Ψ0將系統(tǒng)的平衡點移動到(0，0)，為便于書寫記憶，仍把流量系數(shù)和壓升系數(shù)記為Φ、Ψ。可以得到對應(yīng)的平衡點位于(0，0)的控制系統(tǒng)的線性化方程為:

線性化系統(tǒng)(14)對應(yīng)的特征方程為:

其中:

假定系統(tǒng)特征方程存在一對純虛根λ=±ωi，其中ω為振動頻率，代入到特征方程(16):

為了保證上式恒成立，要求實部虛步都為零，從而滿足下列條件:

因此可求得系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時的臨界控制參數(shù)的值:

通過Winpp軟件來進行數(shù)值仿真，得到控制系統(tǒng)(14)的Hopf分岔圖，如圖5所示，其中分岔參數(shù)為k。根據(jù)圖5知，控制系統(tǒng)存在一個臨界的控制參數(shù)kc，當k＜kc時，控制系統(tǒng)會出現(xiàn)極限環(huán)，進入到周期振動，對應(yīng)著壓氣機中出現(xiàn)喘振狀態(tài);k＞kc時，控制系統(tǒng)的平衡點為穩(wěn)定焦點，壓氣機從喘振狀態(tài)退出。

圖 5 lc=3，H=0.15，W=0.25 時，控制系統(tǒng)(14)對應(yīng)的Hopf分岔圖Fig.5 lc=3，H=0.15，W=0.25，Hopf bifurcation diagram of controlled system(14)

圖6和7是對系統(tǒng)(13)進行數(shù)值仿真得到的壓升的時間歷程圖。從圖6中可以看出，當控制參數(shù)k=0.5時，控制系統(tǒng)(13)的壓升將進入周期振動，表現(xiàn)為壓氣機進入到喘振工況。而當控制參數(shù)k=0.6時，系統(tǒng)(13)的壓升會趨向于穩(wěn)定，而不是周期振動，此時壓氣機從喘振狀況退出，壓氣機的壓升將維持在一個定值。

為了驗證控制系統(tǒng)策略對喘振的控制效果，根據(jù)系統(tǒng)(13)得到了圖8，其中實線代表著k=0未施加控制時，壓升隨時間的變化曲線，而虛線代表施加控制后的壓升變化。圖8(a)中可以看出此時壓氣機處在喘振狀態(tài)，壓升的變化滿足周期振動規(guī)律，未施加控制的系統(tǒng)振動的振幅為0.35，而施加控制后，取控制參數(shù)k=0.52時，系統(tǒng)壓升變化的幅度明顯減小，為0.2左右。而當繼續(xù)增大控制參數(shù)至k=0.58時，系統(tǒng)壓升的周期振動將會完全的抑制下來，達到了控制的目的。

圖 6 lc=3，ψc0=0.3，H=0.18，W=0.25，r=0.4，B=0.4，k=0.5 時，控制系統(tǒng)(13)的壓升時間歷程圖和相圖Fig.6 Transient controlled system(13)behavior:lc=3，ψc0=0.3，H=0.18，W=0.25，r=0.4，B=0.4，k=0.5

圖 7 lc=3，ψc0=0.3，H=0.18，W=0.25，r=0.4，B=0.4，k=0.6 時，控制系統(tǒng)(13)的壓升時間歷程和相圖Fig.7 Transient controlled system(13)behavior:lc=3，ψc0=0.3，H=0.18，W=0.25，r=0.4，B=0.4，k=0.6

圖8 lc=3，ψc0=0.3，H=0.18，W=0.25，r=0.4，B=0.4 時系統(tǒng)(13)的控制效果圖(虛線為施加控制的效果，黑實線為未施加控制)Fig.8 Control effect diagram(13)(Dotted line is vibration curve with control，solid line is without control)，lc=3，ψc0=0.3，H=0.18，W=0.25，r=0.4，B=0.4

值得指出的是，本文當壓氣機穩(wěn)定時壓升值不大，壓氣機回到理想的工作狀態(tài)還需要重新對氣體進行加壓。但是可以避免壓氣機進入喘振這種危害很大的工作狀態(tài)。

圖9表明了控制系統(tǒng)(14)對于不同的控制參數(shù)，節(jié)流參數(shù)r和臨界Greitzer參數(shù)B的關(guān)系。圖中的曲線為喘振邊界線，曲線以上的部分代表著會出現(xiàn)喘振的區(qū)域，曲線下方則代表著穩(wěn)定的區(qū)域。從圖中可以看到，隨著控制參數(shù)的增加，對于不同得節(jié)流參數(shù)值，出現(xiàn)喘振時對應(yīng)的GreitzerB參數(shù)的值會增加，喘振邊界曲線以上的面積會逐漸的減小，表明著喘振區(qū)域減小，而穩(wěn)定的區(qū)域增大，從而增加了壓氣機的穩(wěn)定工作范圍。

4 結(jié)論

圖 9 lc=3，ψc0=0.3，H=0.18，W=0.25不同的控制參數(shù)k值，對應(yīng)的B-r圖Fig.9 B-r dragram for different k:lc=3，ψc0=0.3，H=0.18，W=0.25

由于旋轉(zhuǎn)失速進一步惡化會造成喘振的發(fā)生，這兩個不穩(wěn)定的現(xiàn)象并不是獨立的，而是有一定聯(lián)系的，本文應(yīng)用非線性動力學理論建立了兩者之間的關(guān)系。旋轉(zhuǎn)失速的控制主要是為了消除遲回效應(yīng)，使壓氣機壓升隨節(jié)流參數(shù)的增加能平緩的回到軸對稱特性線的最高點，且控制策略不能過多的影響節(jié)流閥的特性。文中提出的正弦控制策略能夠解決這兩個問題。而喘振的控制需要壓氣機進入到喘振這種危害極大的工作狀態(tài)中。文中提出的正弦控制策略具有以下優(yōu)點:①能夠消除旋轉(zhuǎn)失速的遲回現(xiàn)象，保證壓氣機能從旋轉(zhuǎn)失速平緩的退出，且控制參數(shù)對節(jié)流閥特性影響小。② 能夠抑制喘振現(xiàn)象的產(chǎn)生，通過增加控制參數(shù)能夠使動力學系統(tǒng)的解從喘振周期解退出到穩(wěn)定焦點。

值得指出的是壓氣機旋轉(zhuǎn)失速與喘振是一復(fù)雜的流動失穩(wěn)情況，主要是葉片邊界層流動分離、管網(wǎng)不匹配等流動行為引起的，表現(xiàn)出壓力、流量的大幅脈動，是一分布參數(shù)的動力學問題，而M-G模型只是一種簡化的集中參數(shù)模型，用于定性地解釋一些現(xiàn)象。

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