徐斌 唐云 楊鳳紅 林木

(1．清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系，北京 100084)(2．中央財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)系，北京 100084)

分段線性連續(xù)系統(tǒng)中的同宿分岔*

徐斌1?唐云1楊鳳紅2林木2

(1．清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系，北京 100084)(2．中央財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)系，北京 100084)

對于平面上分段線性的連續(xù)系統(tǒng)研究了同宿軌的存在性及同宿分岔問題．該系統(tǒng)同宿軌的存在性可以歸結(jié)為兩種情況:一種是由一個可見鞍點(diǎn)和一個可見焦點(diǎn)(或中心)組成的系統(tǒng);另一種是由兩個穩(wěn)定性相反的結(jié)點(diǎn)重合于原點(diǎn)組成的系統(tǒng)．本文對第一種情況給出了同宿軌存在的充要條件，并研究了相應(yīng)的同宿分岔問題．

分段線性， 同宿軌， 同宿分岔

引言

許多現(xiàn)實(shí)際問題都涉及到狀態(tài)的突然轉(zhuǎn)化，如碰撞、摩擦和電力系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)化等，這類系統(tǒng)需要用非光滑動力系統(tǒng)來描述．因此，雖然對非光滑系統(tǒng)動力學(xué)行為研究的歷史并不長，近年來卻成為一個倍受關(guān)注的熱門領(lǐng)域．分段光滑系統(tǒng)是非光滑動力系統(tǒng)中的一個重要分支，包括碰撞系統(tǒng)、Filippov系統(tǒng)及連續(xù)而不處處可微的向量場系統(tǒng)等［1］［2］．對線性系統(tǒng)的研究不但非常自然，而且有助于人們理解非線性系統(tǒng)的現(xiàn)象，因而有重要的意義．

本文研究的是平面上的分段線性連續(xù)向量場系統(tǒng)，以一條直線為非光滑邊界把平面分成兩部分，兩邊的兩個半平面內(nèi)部分別都是線性系統(tǒng)，而且向量場在非光滑邊界上是連續(xù)的．1998年Freire在［3］中證明了，這樣的系統(tǒng)至多只有一個極限環(huán)，或孤立的同宿軌，且若極限環(huán)存在，則或是吸引的，或是排斥的．這回答了1991年Lum和Chua在［4］提出的問題．對于極限環(huán)，Simpson在文獻(xiàn)［5］中研究了此類系統(tǒng)中出現(xiàn)的Hopf分岔，隨后他又在文獻(xiàn)［6］中對極限環(huán)問題做了進(jìn)一步研究．對于有多個非光滑邊界的分段線性系統(tǒng)周期軌問題，可以參考文獻(xiàn)［7］和［8］．在分段線性系統(tǒng)中的分岔現(xiàn)象，可參考文獻(xiàn)［9］和［10］．

本文對該系統(tǒng)中同宿軌的存在性及同宿分岔問題做了進(jìn)一步研究．首先將系統(tǒng)變換成規(guī)范形式，在給定的規(guī)范形式下，同宿軌只能在兩種情形下出現(xiàn):一種是由一個可見鞍點(diǎn)和一個可見焦點(diǎn)(或中心)組成的系統(tǒng)，稱為非退化鞍點(diǎn)同宿軌;另一種是由兩個穩(wěn)定性相反的結(jié)點(diǎn)重合于原點(diǎn)組成的系統(tǒng)，稱為退化鞍點(diǎn)同宿軌．其中后者是平凡的．對于前者，本文給出了同宿軌存在的條件，并研究了其同宿分岔問題．

1 問題概述

本文研究如下的平面線性系統(tǒng):

系統(tǒng)以x2軸為非光滑邊界．向量場在x2軸上連續(xù)．

為了進(jìn)一步研究，首先要將系統(tǒng)化簡，減少參數(shù)．做變換:

將系統(tǒng)變成如下的規(guī)范形式:

兩邊的平衡點(diǎn)分別位于

若x*(L)≤0，或x*(R)≥0，則稱對應(yīng)的平衡點(diǎn)是可見的，否則稱它是不可見的．

系統(tǒng)(3)的同宿軌可能在兩種情況下存在:

1．平衡點(diǎn)不在非光滑邊界y軸上，此時平衡點(diǎn)是一個非退化的鞍點(diǎn)．下文稱此類同宿軌為非退化鞍點(diǎn)同宿軌．

2．平衡點(diǎn)在y軸上，此時這個平衡點(diǎn)同時是兩邊的平衡點(diǎn)，是一個退化的鞍點(diǎn)．下文稱此類同宿軌為退化鞍點(diǎn)同宿軌．

對于前者，這個平衡點(diǎn)必定是個可見的鞍點(diǎn)．若它在左半平面，則，若它在右半平面，則μ＜0．對于后者μ＞0，這個平衡點(diǎn)必定位于原點(diǎn)，即μ=0．這種情況是平凡的．下面詳細(xì)討論非退化鞍點(diǎn)同宿軌．在這之前，先介紹兩個出自文獻(xiàn)［3］的引理．

引理1 系統(tǒng)(3)至多存在一個孤立的同宿軌或極限環(huán)．若極限環(huán)存在，則它或是吸引的，或是排斥的．

引理2 系統(tǒng)(3)存在閉軌線的一個必要條件是 τLτR≤0．

2 非退化鞍點(diǎn)同宿軌的存在性

這一節(jié)研究具有非退化鞍點(diǎn)的同宿軌．

不妨設(shè)左半平面是個可見的鞍點(diǎn)，即

計算可得AL的特征值和特征向量為

可見鞍點(diǎn)的兩個特征方向是一個正向的不穩(wěn)定流形和一個負(fù)向的穩(wěn)定流形．設(shè)它們與y軸交于C1=(0，c1)，C2=(0，c2)兩點(diǎn)，計算可得

C1在原點(diǎn)上方，C2在原點(diǎn)下方，原點(diǎn)是一個不可見的切點(diǎn)(對于右半平面的系統(tǒng)來說，就是一個可見切點(diǎn))．若同宿軌存在，則必然從鞍點(diǎn)z*(i)出發(fā)，沿不穩(wěn)定流形到達(dá)C1，在右半平面被半Poincare映射PR沿順時針方向映到C2，最后從C2沿穩(wěn)定流形回到z*(i)．如圖1所示．

圖1 第一類同宿軌的形態(tài)Fig．1 homoclinic orbits

根據(jù)Poincare－Bendixon定理，同宿軌內(nèi)部必含一個平衡點(diǎn)，該平衡點(diǎn)為右半平面的可見平衡點(diǎn)．又因?yàn)榭梢姷慕Y(jié)點(diǎn)和鞍點(diǎn)其不變流形都是直線，軌線不能穿過它們，因此右邊系統(tǒng)的平衡點(diǎn)只能是焦點(diǎn)或中心．

同宿軌存在等價于這個焦點(diǎn)將C1映到C2，這是一個很強(qiáng)的條件，若直接解方程，計算量非常之

大，且得到的是一個超越方程，無法求解．所以我們先對系統(tǒng)做一些變換，使得存在條件可以寫出來．

記

先對右半平面做一個坐標(biāo)變換:

它將右半平面一一地映到右半平面，因此以下討論不需要涉及到左邊鞍點(diǎn)的部分．

變換之后的系統(tǒng)變成

新的焦點(diǎn)位于

原先的C1，C2兩點(diǎn)變成

C1仍然在y軸上半軸，在下半軸．變換后的焦點(diǎn)仍沿順時針方向?qū)⒂车?/p>

將(12)極坐標(biāo)化:

也就是說，在新的坐標(biāo)下，右邊的軌線都是標(biāo)準(zhǔn)的Archimedes螺線:

現(xiàn)記在極坐標(biāo)下，的坐標(biāo)為

如圖2所示．

于是若α≠0，同宿軌存在等價于

注意到上式與μ無關(guān)，因此可以直接設(shè)μ=1．

圖2 坐標(biāo)變換后的右半平面Fig．2 the right half plane after Coordinate transformation

α=0，即τR=0時，右邊為一可見中心，此時的條件需要單獨(dú)討論．由于對中心有~c1=~c2，即c1=－c2，得出τL=0．此時同宿軌的存在性與δL無關(guān)．該同宿軌內(nèi)部的軌線都是周期的．

對于μ＜0．的情形，同宿軌存在的充要條件與上面的結(jié)論相同，但需交換L和R．

整理以上結(jié)果，得到下面的結(jié)論．

命題1 系統(tǒng)(3)在μ≠0時若存在同宿軌，則是由一邊為可見鞍點(diǎn)，另一邊為可見焦點(diǎn)或中心的系統(tǒng)組成．

1)若為鞍點(diǎn)和焦點(diǎn)的組合，記鞍點(diǎn)的一邊為S，焦點(diǎn)的一邊為F(取代原先的L，R)，則存在同宿軌的充要條件為滿足以下式子:

2)若為鞍點(diǎn)和中心的組合，記鞍點(diǎn)的一邊為S，中心的一邊為C，則存在同宿軌的充要條件為滿足以下式子:

注意到命題1隱含了引理2的結(jié)論．

3 非退化鞍點(diǎn)的同宿分岔

這一節(jié)將討論非退化鞍點(diǎn)同宿軌的分岔問題．

仍設(shè)左半平面有可見鞍點(diǎn)，根據(jù)τL與0的大小關(guān)系，同宿分岔可分為兩種情況．首先討論τL≠0的情況．若給系統(tǒng)一個小擾動，使其不滿足(21)中的Λ=0，就會發(fā)生同宿分岔．根據(jù)參數(shù)的不同，出現(xiàn)的分岔現(xiàn)象也不同．以下的討論設(shè)μ＞0;但對于μ＜0的情況，除了P(C1)與C2的關(guān)系之外，發(fā)生的現(xiàn)象是一樣的．

1．當(dāng) τF＞0時，焦點(diǎn)是排斥的．若 Λ ＜0，則P(C1)＜C2，軌線反向繞向(排斥的)焦點(diǎn)．此時不存在極限環(huán)．若Λ＞0，則P(C1)＞C2，正向繞向一個極限環(huán)．引理1保證了這個極限環(huán)是吸引的且唯一．

2．當(dāng) τF＜0時，焦點(diǎn)是吸引的，若 Λ ＜0，則P(C1)＜C2，軌線正向繞向(吸引的)焦點(diǎn)．此時不存在極限環(huán)．若Λ＞0，則P(C1)＞C2，反向繞向一個極限環(huán)．引理1保證了這個極限環(huán)是排斥的且唯一．

圖3(b)是當(dāng)參數(shù)為 μ =1，τL= －0．6333，δL=－0．3667，τR=0．5，δR=2 時存在的同宿軌．圖 3(a)(b)(c)分別是當(dāng)參數(shù) τR=0．4，0．5，0．6 時的分岔現(xiàn)象，τR=0．4時存在一個極限環(huán)．

圖3 一類分岔現(xiàn)象Fig．3 one kind of homoclinic bifurcations

現(xiàn)在討論 τR=0 的情況，此時改變 τL，δL，δR都可改變同宿軌的存在性．

(1)若改變 τL，δL而保持 δR不變，則從鞍點(diǎn)出發(fā)的軌線或正向或反向繞向一個極限環(huán)．引理1保證了這個極限環(huán)是存在唯一的，且由中心的性質(zhì)可知該極限環(huán)與原點(diǎn)相切．

(2)若改變 δR而保持 τL，δL不變，則從鞍點(diǎn)出發(fā)的軌線或正向或反向繞向可見焦點(diǎn)．引理1保證了此時不存在極限環(huán)．

(3)若同時改變 τL，δL，δR，則變?yōu)榻裹c(diǎn)的情形．

圖4 是當(dāng)參數(shù)為 μ =1，δL= －1，τR=0，δR=1，τL在0附近時發(fā)生的同宿分岔現(xiàn)象．注意到圖中有一個半極限環(huán)，這種現(xiàn)象在光滑動力系統(tǒng)中非常罕見．

整理上述結(jié)論，將μ＞0時的分岔現(xiàn)象畫在一張圖上，見圖5．圖中的軌線都是沿順時針方向走的．之所以沒有畫出τL軸，是因?yàn)楦鶕?jù)引理2以及命題1，在τR≠0時τL的符號都與之相反，故只需在τR=0時畫出特殊情況即可．

圖4 另一類分岔現(xiàn)象Fig．4 another kind of homoclinic bifurcations

圖5 分岔圖Fig．5 the bifurcation diagram

從圖5可見，描述這個同宿分岔，并不需要全部5個參數(shù)，而只需Λ和τR就行了．其中Λ統(tǒng)一了 τL，δL，τR，δR四個參數(shù)，用它描述這個同宿分岔更能揭示其本質(zhì)．

4 結(jié)論

至此，系統(tǒng)(3)的所有可能的同宿軌和同宿分岔就研究清楚了．同宿軌只能在兩種情況下存在:一個可見鞍點(diǎn)和一個可見焦點(diǎn)(或中心)組成的系統(tǒng)，或者是兩個穩(wěn)定性相反的結(jié)點(diǎn)重合于原點(diǎn)的系統(tǒng)，其中后者是平凡的．對前者，第2節(jié)命題1給出了這樣的同宿軌存在的充要條件．第3節(jié)具體研究了該情形下的分岔現(xiàn)象，如圖5所示．

1 Di Bernardo M，Budd C J，Champneys A R ，Kowalczyk P．Piecewise－smooth Dynamical Systems Theory and Applications．Springer，2008

2 Di Bernardo M，Pagano D J，Ponce E．Nonhyperbolic boundary equilibrium bifurcations in planar Filippov systems:a case study approach．International Journal of Bifurcations and Chaos，2008，18(5):1377 ～1392

3 Freire E，Ponce E，Rodrigo F，et al．Bifurcation sets of continuous piecewise linear systems with two zones．Int．J．Bifurcation Chaos，1998，8(11):2073 ～2097

4 Lum R，Chua L．Global properties of continuous piecewise linear vector－elds．1．simplest case in R2．Int．J．Circ．Theor．Appl，1991，19(3):251 ～307

5 Simpson D J W，Meiss J D．Andronov－h(huán)opf bifurcations in planar，piecewise－smooth，continuous flows．Physics Letters A，2007，371:213～220

6 Simpson D J W．Bifurcations in Piece－wise Continuous Systems．World Scientific，2010

7 Mitrovski C，Kocarev L．Periodic trajectories in piecewiselinear maps．IEEE Trans．Circuits Systems I Fund．Theory Appl，2001，48(10):1244 ～1246

8 Goncalves J M．Regions of stability for limit cycle oscillations in piecewise linear systems．IEEE Trans．Automat．Contr，2005，50(11):1877 ～1882

9 Leine R，Nijmeijer H．Dynamicals and Bifurcations of Nonsmooth Mechanical systems．Springer－Verlag，Berlin，2004

10 Freire E，Ponce E，Rodrigo F，et al．A piecewise linear electronic circuit with a multiplicity of bifurcations．Int．J．Bifurcation Chaos，2004，14(11):3871～3881

*The project supported by the National Natural Science Fundation of China(11072274)

? Corresponding author E－mail:kid0506@163．com

HOMOCLINIC BIFURCATIONS IN PIECEWISE-LINEAR SYSTEMS*

Xu Bin1?Tang Yun1Yang Fenghong2Lin Mu2
(1．Tsinghua University，Department of Mathematical Science，Beijing100084，China)(2．Central University of Finance and Economics，School of Applied Mathematice，Beijing100084，China)

We studied the existence of homoclinic orbits and the homoclinic bifurcations in planar piecewise－linear system．The existence of homoclinic orbit in this system can be divided into two cases，one is a system formed by a visible saddle point and a visible focus(or a center)，the other is a system formed by the coincidence of the original point and two nodes with inverse stability．In this paper，we provided the necessary and sufficient condition for the existence of homoclinic orbit，and then analyzed the homoclinic bifurcation．

piecewise－linear， homoclinic orbit， homoclinic bifurcation

19 April 2012，

20 June 2012．

10．6052/1672－6553－2013－005

2012－04－19 收到第 1 稿，2012－06－20 收到修改稿．

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11072274)

E－mail:kid0506@163．cn