田佳雨 申永軍 趙永香

(石家莊鐵道大學(xué)，石家莊 050043)

含時(shí)滯的半主動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析*

田佳雨 申永軍?趙永香

(石家莊鐵道大學(xué)，石家莊 050043)

對含時(shí)滯的半主動(dòng)相對控制懸架系統(tǒng)進(jìn)行了近似解析研究．首先建立了半主動(dòng)相對控制1/4車體模型，進(jìn)行了無量綱化處理，利用平均法建立了系統(tǒng)的近似解析解應(yīng)該滿足的四元代數(shù)方程組，然后利用數(shù)值方法進(jìn)行了求解．隨后通過MATLAB仿真得到了含時(shí)滯的半主動(dòng)相對控制懸架系統(tǒng)的數(shù)值解，并且和近似解析解進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)二者具有較好的符合精度，說明近似解析解的正確性．

時(shí)滯， 平均法， 相對控制策略， 近似解析解

引言

自20世紀(jì)70年代以來，工業(yè)發(fā)達(dá)國家開始研究基于振動(dòng)主動(dòng)控制的主動(dòng)/半主動(dòng)懸架系統(tǒng)［1－3］．在我國，半主動(dòng)懸架方面的研究工作起步較晚，近年來已經(jīng)取得了一定的成果．懸架作為現(xiàn)代汽車的重要組成之一，它對汽車的乘坐舒適性和行駛安全性有著重要的影響．傳統(tǒng)的被動(dòng)懸架的參數(shù)是固定的，只有在車速和路面狀況某一特定的組合下才能達(dá)到最優(yōu)．而主動(dòng)/半主動(dòng)懸架具有一定的在線調(diào)節(jié)能力，性價(jià)比相對優(yōu)良，受到了國內(nèi)外汽車工業(yè)界的廣泛重視．

需要注意的是，雖然半主動(dòng)懸架系統(tǒng)有較好的綜合控制效果，但其系統(tǒng)內(nèi)存在不可避免的時(shí)滯因素，半主動(dòng)懸架系統(tǒng)的時(shí)滯及其導(dǎo)致的失穩(wěn)現(xiàn)象嚴(yán)重影響實(shí)際應(yīng)用，所以在考慮控制策略的同時(shí)研究時(shí)滯對半主動(dòng)懸架系統(tǒng)的影響顯得非常重要．半主動(dòng)懸架系統(tǒng)的時(shí)滯主要來自于:①測量信號從傳感器至控制計(jì)算機(jī)的傳輸時(shí)滯;②計(jì)算控制律引起的時(shí)滯;③控制信號從計(jì)算機(jī)傳至作動(dòng)器的傳輸時(shí)滯;④作動(dòng)器的時(shí)滯等．以往工程界通常采用忽略時(shí)滯的影響來簡化問題，從20紀(jì)90年代起，國內(nèi)外工程界和學(xué)術(shù)界開始更加關(guān)注對時(shí)滯系統(tǒng)的研究［4－6］．但是針對半主動(dòng)控制這種強(qiáng)非線性系統(tǒng)的時(shí)滯特性研究較少．

半主動(dòng)懸架的控制方法種類繁多，但是各種方法均有利弊，而此文主要探討相對控制策略．相對控制策略的設(shè)計(jì)目的是為了最大限度地減小傳到車體上的力，從而起到隔振的效果．因?yàn)橄鄬刂撇呗缘淖枘崃κ欠侄尉€性的，所以該文采用平均法來研究相對控制策略的振動(dòng)控制效果．

1 半主動(dòng)相對控制懸架分析

1．1 半主動(dòng)相對控制策略簡介

為了達(dá)到較好的隔振的效果，就要最大限度地減小傳到車體上的力．懸架在振動(dòng)過程中，彈簧力和阻尼力將交替出現(xiàn)相同的作用方向和相反的作用方向．為了把傳遞力減小到最小值，則當(dāng)彈簧力和阻尼力同向時(shí)，可把阻尼系數(shù)設(shè)為最小;當(dāng)彈簧力和阻尼力反向時(shí)，就把阻尼系數(shù)切換到最大值．這種控制稱為相對控制，相應(yīng)控制規(guī)律由公式描述為:

其中，ζ2是懸架系統(tǒng)的阻尼比，xs和xs分別為車體絕對位移和絕對速度，xt和xt分別為輪胎絕對位移和絕對速度．

1．2 系統(tǒng)模型的建立

懸架系統(tǒng)是一個(gè)非常復(fù)雜的系統(tǒng)，存在著大量的不確定性、時(shí)變性和非線性．考慮到對于這樣的系統(tǒng)精確建模極為困難，因此必須根據(jù)研究的目的和需要做出合理的簡化．半主動(dòng)懸架系統(tǒng)包括輪胎、車身、懸架彈簧和減振器等部件．考慮到1/4車體模型的簡單性、普遍性和便于實(shí)驗(yàn)研究的特性，該文采用如圖1所示的1/4車體模型作為半主動(dòng)懸架系統(tǒng)的模型．

圖1 1/4車輛2自由度振動(dòng)系統(tǒng)模型Fig．1 a quarter two degree－of－freedom vehicle model

其中，m1、k1、c1分別為輪胎質(zhì)量、輪胎剛度和輪胎阻尼系數(shù);m2、k2、c2分別為懸架質(zhì)量(1/4車身質(zhì)量)、懸架彈簧剛度和可調(diào)阻尼器的阻尼系數(shù);xin為路面干擾且有xin=bcos(ωt)，b為常數(shù)．

由牛頓第二定律，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為:

考慮控制過程中的時(shí)滯，方程(2)轉(zhuǎn)換為:

1．3 相對控制策略下系統(tǒng)的近似解析解

為了求方程(3)的解析解，先作以下代換:

將以上各式代入方程(3)，得到:

其中，ζ1是輪胎的阻尼比，ζ2是可調(diào)懸架阻尼器的阻尼比．

為簡單起見，用t代替t1，用τ代替τ1，這樣也不會影響分析結(jié)果．下面應(yīng)用平均法解方程，設(shè)解的形式為:

其中 φ1(t)=t+θ1(t)，φr(t)=t+θr(t)．則式(5)、(6)通過微分變成如下形式:帶入方程(7)，將(6)中的

由方程(9)解得:

方程(10)在平均法中被稱為關(guān)于振幅和相位的標(biāo)準(zhǔn)方程．

接下來通過對方程(10)的右側(cè)在一個(gè)周期(如 φi=［0 2π］，i=1，r)進(jìn)行積分平均來得到振幅導(dǎo)數(shù)和相位導(dǎo)數(shù)的近似解．由于文中采用相對控制策略，式(1)中的控制邏輯可改寫為:

其中ζmax為最大阻尼比，ζmin為最小阻尼比，xr表示輪胎相對于懸架的位移，xr表示相對速度．式(11)也可寫成:

由于xr=arcos(t+θr)，xr=－arsin(t+θr)，式(12)可轉(zhuǎn)換為:

由平均法可知，懸架系統(tǒng)的近似解析解為:

由式(15)，計(jì)算式(16)的結(jié)果如下:

2 近似解析解和數(shù)值解的比較分析

研究系統(tǒng)(4)，選取基本參數(shù)如表1所示．根據(jù)式(17)可畫出幅頻曲線如圖2實(shí)線所示．同時(shí)，為了進(jìn)行比較，此文采用MATLAB中的DDE工具箱來研究系統(tǒng)(4)，每一個(gè)激勵(lì)頻率下的計(jì)算時(shí)間為300s，將前200s響應(yīng)略去并取后100s響應(yīng)的最大值作為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值，所得數(shù)值積分的結(jié)果也示于圖2，以圓圈表示，可見二者的吻合程度較好，尤其是在低頻段，高頻段吻合程度雖然較低但是變化趨勢一致，且第二階共振頻率也較為一致．

表1 基本系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Basic System Parameters

圖2 近似解和數(shù)值解的幅頻曲線Fig．2 Amplitude－frequency curves of the approximately analytical solution and numerical solution

3 結(jié)論

通過研究相對控制策略下的含時(shí)滯的半主動(dòng)懸架系統(tǒng)，利用平均法得到了系統(tǒng)的近似解，并與數(shù)值仿真作了比較，證實(shí)了利用平均法分析本系統(tǒng)所得結(jié)論的合理性與準(zhǔn)確性，也說明了相對控制策略具有較好的控制效果．該方法可以推廣至其它類型的半主動(dòng)控制系統(tǒng)．

1 Karnopp D，Crosbym M J，Harwood R A．Vibration control using semi－active force generators．Journal of Engineering for Industry，1974，96(2):619～626

2 Kim H，Yooh Y S．Semi－active suspension with preview using a frequency－shaped performance index．Vehicle Systems Dynamics，1995，24:759～780

3 Ahn Y K，Morishita S．Adaptive vibration control by a variable－damping dynamic absorber using ER fluid．Journal of Vibration and Acoustics，1999，121(7):373～378

4 張文豐，翁建生，胡海巖．時(shí)滯對車輛懸架“天棚”阻尼控制的影響．振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，1999，12(4):486～491(Zhang W F，Weng J S，Hu H Y．Effect of time delay on active vehicle suspensions equipped with “Sky－Hook”Damper．Journal of Vibration Engineering，1999，12(4):486～491(in Chiniese))

5 申永軍，楊紹普，劉獻(xiàn)棟．采用磁流變阻尼的一種改進(jìn)型半主動(dòng)控制汽車懸架研究．振動(dòng)、測試與診斷，2001，21(4):253～257(Shen Y J，Yang S P，Liu X D．Studies on improve type of semiactive car suspension with magnetorheological damper．Journal of Vibration，Measurement＆Diagnosis，2001，21(4):253～257(in Chiniese))

6 Hu H Y，Wang Z H．Stability of linear time variant dynamic systems with multiple time delays．Acta Mechanica Sinica(English Series)，1998，14(3):274～282

7 胡海巖，王在華．非線性時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)的研究進(jìn)展．力學(xué)進(jìn)展，1999，29(4):501～512(Hu H Y，Wang Z H．Review on nonlinear dynamic systems involving time delays．Advances in Mechanics，1999，29(4):501 ～ 512(in Chiniese))

8 徐鑒，裴利軍．時(shí)滯系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)近期研究進(jìn)展與展望．力學(xué)進(jìn)展，2006，36(1):17～30(Xu J，Pei L J．Advance in dynamics for delayed systerns．Advances in Mechanics，2006，36(1):17～30(in Chiniese))

*This Project supported by the National Natural Science Foundation of China(11072158，10932006)，the Natural Science Funds for Distinguished Young Scholar of Hebei Province，China(E2010002047)，the Program for New Century Excellent Talents in University，and the Program for Changjiang Scholars and Innovative Research Team in University of Ministry of Education of China(IRT0971)

? Corresponding author E－mail:shenyongjun@126．com

DYNAMICAL ANALYSIS OF SEMI-ACTIVE SYSTEM WITH TIME-DELAY*

Tian Jiayu Shen Yongjun?Zhao Yongxiang
(School of Mechanical Engineering，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang050043，China)

The approximately analytical solution for a semi－active suspension system under relative control with time－delay is investigated in this paper．At first，the quarter－car model is established and dimensionless analysis is done．Then a system of four nonlinear algebra equations for the approximate solution is obtained by the averaging method，which could be easily treated by numerical methods for algebra equations．At last，the numerical solution of the semi－active relative－control suspension system is also obtained through the simulation in MATLAB software．The comparison of the two methods shows the approximately analytical solution is correct and has satisfactory precision．

time－delay， averaging method， semi－active control， approximate solution

21 April 2012，

8 July 2012．

10．6052/1672－6553－2013－011

2012－04－21 收到第 1 稿，2012－07－08 收到修改稿．

*國家自然科學(xué)基金(11072158，10932006)、河北省杰出青年科學(xué)基金(E2010002047)、教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才項(xiàng)目和教育部創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(IRT0971)資助

E－mail:shenyongjun@126．com