成 沉，鮑福廷，劉 旸，許 昊

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072)

0 引言

為提高未來(lái)導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)性和突防能力，其動(dòng)力裝置需要具備根據(jù)戰(zhàn)術(shù)要求隨機(jī)控制推力的能力。實(shí)現(xiàn)推力的隨機(jī)控制將是固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)領(lǐng)域的重大突破之一。目前，固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推力可調(diào)方案很多，其中喉栓式固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，由于其推力可調(diào)范圍大、可隨機(jī)調(diào)節(jié)、響應(yīng)速度快的特點(diǎn)，成為研究的熱點(diǎn)［1－8］。要實(shí)現(xiàn)對(duì)喉栓發(fā)動(dòng)機(jī)推力的精確隨機(jī)控制，要求發(fā)動(dòng)機(jī)氣動(dòng)控制系統(tǒng)的壓強(qiáng)響應(yīng)具有快速性、精確性和穩(wěn)定性。國(guó)外對(duì)喉栓式發(fā)動(dòng)機(jī)壓強(qiáng)響應(yīng)控制系統(tǒng)進(jìn)行了一系列研究。CFDRC公司開(kāi)發(fā)的喉栓發(fā)動(dòng)機(jī)分析軟件APMOD［1］中的控制算法能使喉栓的運(yùn)動(dòng)與發(fā)動(dòng)機(jī)的壓力操作緊密耦合。Bergmans［2］采用了空氣渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)(ATR)中的燃?xì)獍l(fā)生器技術(shù)，用詳盡的數(shù)學(xué)模型描述了組件的氣動(dòng)特性，建立了應(yīng)用于導(dǎo)彈轉(zhuǎn)向和彈射座椅中的喉栓發(fā)動(dòng)機(jī)的控制模型，實(shí)現(xiàn)了喉栓運(yùn)動(dòng)的閉環(huán)壓力控制。該模型的仿真結(jié)果很好地預(yù)示了喉栓運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變時(shí)的推力反向脈沖現(xiàn)象。但該模型中的參數(shù)需要根據(jù)對(duì)特定的發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)來(lái)確定，不具備通用性。國(guó)內(nèi)對(duì)喉栓發(fā)動(dòng)機(jī)的研究處于起步階段，對(duì)氣動(dòng)控制系統(tǒng)的原理性研究主要是通過(guò)實(shí)驗(yàn)和流場(chǎng)仿真來(lái)分析壓強(qiáng)響應(yīng)過(guò)程。西北工業(yè)大學(xué)的魏祥庚等［3］通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析了非同軸式喉栓發(fā)動(dòng)機(jī)的響應(yīng)特性。北京理工大學(xué)的王佳興等［4］通過(guò)流場(chǎng)仿真對(duì)壓強(qiáng)響應(yīng)的影響因素進(jìn)行了分析。流場(chǎng)仿真的方法直觀，成本低，但計(jì)算量大，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，并且考慮到閉環(huán)控制系統(tǒng)復(fù)雜的反饋特性，流場(chǎng)仿真現(xiàn)在只能對(duì)開(kāi)環(huán)控制的喉栓系統(tǒng)進(jìn)行分析。而實(shí)驗(yàn)方法成本高昂，次數(shù)有限。建立計(jì)算簡(jiǎn)單的實(shí)用模型不僅對(duì)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)有指導(dǎo)意義，提高實(shí)驗(yàn)的效率，并且能提供快速的工程估算方法。

本文運(yùn)用控制工程的方法，將喉面－壓強(qiáng)響應(yīng)系統(tǒng)近似為一階線性氣動(dòng)控制系統(tǒng)，通過(guò)建立傳遞函數(shù)，對(duì)影響壓強(qiáng)響應(yīng)的因素進(jìn)行了分析。為提高計(jì)算精度，進(jìn)一步修正了傳遞函數(shù)，對(duì)采用開(kāi)環(huán)控制的喉栓發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行求解，得到了壓強(qiáng)響應(yīng)及理論響應(yīng)時(shí)間。

1 傳遞函數(shù)

用拉氏變換法求解線性系統(tǒng)的微分方程，可得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)為線性定?？刂葡到y(tǒng)輸出與輸入2個(gè)量的拉氏變換之比，它不僅可表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且可以用來(lái)研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響［9］。喉栓式發(fā)動(dòng)機(jī)的氣動(dòng)控制系統(tǒng)為喉面－壓強(qiáng)響應(yīng)系統(tǒng)?，F(xiàn)推導(dǎo)其傳遞函數(shù)。

1.1 傳遞函數(shù)推導(dǎo)

假設(shè)喉栓發(fā)動(dòng)機(jī)噴管內(nèi)部為一維定常等熵流動(dòng)，其壓強(qiáng)響應(yīng)數(shù)學(xué)模型可以用式(1a)表示:

由于壓強(qiáng)響應(yīng)時(shí)間很短，忽略自由容積與燃面面積的變化，可將其視為定值。

上述微分方程為非線性方程。欲建立線性模型，需對(duì)Pnc和PcAt兩項(xiàng)進(jìn)行線性化近似處理。為了降低線性化近似誤差，先對(duì)式(1a)進(jìn)行變形。

設(shè)Pc0為初始平衡壓強(qiáng)，將式(1a)變形為

1.2 影響壓強(qiáng)響應(yīng)的因素分析

由于誤差僅來(lái)自于線性化的過(guò)程，只會(huì)對(duì)含n的項(xiàng)產(chǎn)生影響，因此不影響對(duì)其他參數(shù)的定性分析。下面用傳遞函數(shù)對(duì)采用開(kāi)環(huán)控制的喉栓發(fā)動(dòng)機(jī)壓強(qiáng)響應(yīng)影響因素進(jìn)行定性分析，并驗(yàn)證分析結(jié)果。

(1)壓強(qiáng)響應(yīng)影響因素的定性分析

金融資源和實(shí)體經(jīng)濟(jì)之間存在著密不可分的關(guān)系，單獨(dú)的金融資源很難發(fā)揮自身應(yīng)有的功能和作用，而實(shí)體經(jīng)濟(jì)就是金融資源發(fā)揮自身作用的完美平臺(tái)，只有當(dāng)金融資源完全融入到實(shí)體經(jīng)濟(jì)中，才能完整地體現(xiàn)出金融對(duì)經(jīng)濟(jì)的促進(jìn)作用。

一階線性定常系統(tǒng)中，時(shí)間常數(shù)T0是系統(tǒng)的固有特性，反應(yīng)了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢，決定了壓強(qiáng)響應(yīng)時(shí)間。當(dāng)t=4T0時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)將達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的98.2%，可認(rèn)為系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，此時(shí)認(rèn)為系統(tǒng)壓強(qiáng)響應(yīng)時(shí)間為4T0。從T0表達(dá)式可看出，c*、At0、Γ2/Vc與響應(yīng)時(shí)間成反比。而ρp、Ab、a對(duì)T0沒(méi)有影響，所以不影響響應(yīng)時(shí)間。

(2)分析結(jié)果驗(yàn)證

依次改變以上各參數(shù)，用四階龍格庫(kù)塔法求解原方程，同樣按照系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值98.2%的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)求取響應(yīng)時(shí)間。圖1為改變c*時(shí)，響應(yīng)時(shí)間的變化曲線，該結(jié)果與用傳遞函數(shù)方法分析所得出的結(jié)論完全一致。同樣，在改變At0、Γ2/Vc時(shí)，得到的結(jié)論也完全相同;而改變?chǔ)裵、Ab、a時(shí)，響應(yīng)時(shí)間完全沒(méi)有變化。

可以看出，分析傳遞函數(shù)的方法很好地說(shuō)明了這幾個(gè)參數(shù)對(duì)響應(yīng)時(shí)間的影響。從理論上解釋了Vc越小，Γ、c*、At0越大，壓強(qiáng)響應(yīng)越快，是因?yàn)樗鼈冇绊懥藟簭?qiáng)響應(yīng)系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù);而ρp、Ab、a不影響壓強(qiáng)響應(yīng)時(shí)間，是因?yàn)樗鼈儾挥绊懴到y(tǒng)時(shí)間常數(shù)。At0越大，響應(yīng)越快，說(shuō)明同樣的調(diào)節(jié)比，正向調(diào)節(jié)(喉部面積減小，壓強(qiáng)升高)比逆向調(diào)節(jié)(喉部面積增大，壓強(qiáng)降低)要慢，這與魏祥庚等人做的實(shí)驗(yàn)［3］中觀察到的現(xiàn)象一致。

1.3 傳遞函數(shù)誤差分析

考慮系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，即原方程中At為常數(shù)At1，Pc初值為Pc0時(shí)的響應(yīng)，此時(shí)的輸入量為

圖2和表1將用式(11)計(jì)算的解析解與原方程用四階龍格庫(kù)塔法得到的數(shù)值解進(jìn)行了對(duì)比?？梢?jiàn)，當(dāng)ε1偏離1不太大時(shí)，用傳遞函數(shù)計(jì)算壓強(qiáng)響應(yīng)的誤差較小，但隨ε1偏離1的程度增大，誤差將越來(lái)越大。這是由于ε1偏離1的程度越大，線性化的誤差越大。為了提高精度，需要對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行線性化修正。

表1 解析解與數(shù)值解的誤差Table 1 Comparison between the numerical solution and the analytical solution

1.4 傳遞函數(shù)線性化修正

對(duì)傳遞函數(shù)加入修正系數(shù)，依次對(duì)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)和時(shí)間常數(shù)進(jìn)行修正。

(1)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的修正

(2)時(shí)間常數(shù)的修正

考慮模型的誤差來(lái)自于方程的線性化，用初始點(diǎn)來(lái)對(duì)方程進(jìn)行線性化，導(dǎo)致了變量對(duì)初始點(diǎn)的偏離越大時(shí)誤差越大。若能根據(jù)變量與初始點(diǎn)的偏差選擇用來(lái)線性化的點(diǎn)，就能減小線性化的誤差，提高精度。

將式(4)代入式(3)，得到線性方程:

上式的穩(wěn)態(tài)項(xiàng)不如式(15)準(zhǔn)確，只用它來(lái)修正時(shí)間常數(shù)。

得到傳遞函數(shù):

選擇合適的α取值，就能得到較好的結(jié)果。經(jīng)過(guò)一系列計(jì)算發(fā)現(xiàn)，取α=0.71時(shí)，誤差較小。由于誤差的大小只與ε1有關(guān)，而與所計(jì)算的壓強(qiáng)范圍及發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)參數(shù)無(wú)關(guān)，所以可以取定α=0.71。表2和圖3將不同ε1下的解析解與用四階龍格庫(kù)塔法求的數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比，可以看出誤差已經(jīng)明顯減小。

綜上所述，得到喉面－壓強(qiáng)響應(yīng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù):

式中 K′為穩(wěn)態(tài)項(xiàng);T′為時(shí)間常數(shù)。

經(jīng)線性化修正的傳遞函數(shù)雖然精度提高了很多，但并不是嚴(yán)格意義上的傳遞函數(shù)，因?yàn)槠渲邪溯斎腠?xiàng)ε1，不妨稱之為偽傳遞函數(shù)。它可用來(lái)求解采用開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)的喉栓發(fā)動(dòng)機(jī)的壓強(qiáng)響應(yīng)曲線。

表2 解析解與數(shù)值解的誤差Table 2 Comparison between the numerical solution and the analytical solution

2 開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)分析

2.1 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)壓強(qiáng)響應(yīng)計(jì)算

采用開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)的喉栓發(fā)動(dòng)機(jī)的氣動(dòng)控制模型可認(rèn)為是喉面－壓強(qiáng)響應(yīng)系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)，喉栓的運(yùn)動(dòng)速度反應(yīng)為斜坡響應(yīng)的斜率。

開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù):

得到壓強(qiáng)響應(yīng)的解析解為

解方程y(t)=(1－Δ)y(∞)，求得開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)的壓強(qiáng)響應(yīng)時(shí)間為

式中 Δ為允許誤差范圍，本文Δ=0.01，即認(rèn)為系統(tǒng)響應(yīng)將達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的99%時(shí)的時(shí)間為響應(yīng)時(shí)間。

2.2 誤差分析

斜坡響應(yīng)微分方程為

表3給出了用四階龍格庫(kù)塔法求解此方程的數(shù)值解與式(28)計(jì)算出的解析解的對(duì)比，結(jié)果表明誤差在可接受范圍內(nèi)。

表3 解析解與數(shù)值解的誤差Table 3 Comparison between the numerical solution and the analytical solution

2.3 壓強(qiáng)響應(yīng)延遲分析

根據(jù)上述計(jì)算得出的結(jié)果，從響應(yīng)時(shí)間上來(lái)看，發(fā)動(dòng)機(jī)的壓強(qiáng)響應(yīng)相對(duì)于喉栓運(yùn)動(dòng)速度的延遲只與時(shí)間常數(shù)T′有關(guān)。圖4表示了不同的時(shí)間常數(shù)T′下，響應(yīng)時(shí)間隨喉面調(diào)節(jié)時(shí)間Tv的變化。

由圖4可看出，各個(gè)T′下的響應(yīng)時(shí)間與圖中的實(shí)線對(duì)比(實(shí)線為喉面調(diào)節(jié)時(shí)間Tv)，時(shí)間常數(shù)越大，響應(yīng)相對(duì)于喉栓運(yùn)動(dòng)的延遲越明顯。設(shè)計(jì)發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)應(yīng)盡量減小時(shí)間常數(shù)T′。若 T′能達(dá)到0.01 s，壓強(qiáng)響應(yīng)相對(duì)于喉栓的運(yùn)動(dòng)可以幾乎沒(méi)有延遲，此時(shí)壓強(qiáng)響應(yīng)基本取決于喉栓運(yùn)動(dòng)的速度。

3 結(jié)論

(1)喉栓發(fā)動(dòng)機(jī)的壓強(qiáng)響應(yīng)系統(tǒng)可以用一階線性模型近似表達(dá)。用建立傳遞函數(shù)的方法求解壓強(qiáng)響應(yīng)曲線能得到壓強(qiáng)響應(yīng)的近似解析解，并求得響應(yīng)時(shí)間表達(dá)式，解的精度能滿足要求。為喉栓發(fā)動(dòng)機(jī)的壓強(qiáng)響應(yīng)提供了快速估算的方法。

(2)對(duì)傳遞函數(shù)的分析得出了喉栓發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)壓強(qiáng)響應(yīng)的影響規(guī)律。分析表明，Vc越小，Γ、c*越大，壓強(qiáng)響應(yīng)越快;ρp、Ab、a不影響壓強(qiáng)響應(yīng)時(shí)間;同樣的調(diào)節(jié)比，正向調(diào)節(jié)(喉部面積減小，壓強(qiáng)升高)比逆向調(diào)節(jié)(喉部面積增大，壓強(qiáng)降低)響應(yīng)速度慢。

(3)對(duì)應(yīng)用開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的喉栓發(fā)動(dòng)機(jī)響應(yīng)時(shí)間分析可以得出:時(shí)間常數(shù)T′越大，壓強(qiáng)響應(yīng)相對(duì)于喉栓運(yùn)動(dòng)的延遲越明顯。設(shè)計(jì)發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)應(yīng)盡量減小時(shí)間常數(shù)T′。若T′達(dá)到0.01 s，壓強(qiáng)響應(yīng)相對(duì)于喉栓的運(yùn)動(dòng)可以幾乎沒(méi)有延遲，此時(shí)壓強(qiáng)響應(yīng)基本取決于喉栓運(yùn)動(dòng)的速度。

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