閆曉東，賈曉娟，呂 石

(1.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072;2.航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點實驗室，西安 710072)

0 引言

火箭基組合循環(huán)推進(jìn)系統(tǒng)(Rocket Based Combined Cycle，RBCC)將高推重比、低比沖的火箭發(fā)動機(jī)和低推重比、高比沖的吸氣式發(fā)動機(jī)有機(jī)地組合在一起，可實現(xiàn)航天推進(jìn)的高效性與經(jīng)濟(jì)性的最佳組合［1］，有望為未來空天飛行器提供先進(jìn)的推進(jìn)系統(tǒng)。國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對RBCC動力空天飛行器進(jìn)行了大量的論證和設(shè)計工作［2－4］。

與傳統(tǒng)火箭動力相比，由于吸氣原因，RBCC發(fā)動機(jī)的性能與飛行環(huán)境密切相關(guān)。為保證其穩(wěn)定工作在一個最優(yōu)或穩(wěn)定狀態(tài)，一般RBCC動力飛行器上升段采用等動壓爬升方法，即當(dāng)飛行器達(dá)到一定動壓后，保持動壓不變進(jìn)行加速和爬升。文獻(xiàn)［5］提出了一種基于B樣條建立馬赫數(shù)-動壓參考曲線，然后通過二分法迭代攻角，以跟蹤參考曲線的RBCC飛行器爬升軌跡設(shè)計方法，未給出等動壓爬升的軌跡設(shè)計方法。文獻(xiàn)［6］提出了一種等動壓爬升的迭代方法，但未給出迎角的計算方法。文獻(xiàn)［7］嘗試采用優(yōu)化的方法，以獲得RBCC動力重復(fù)使用運(yùn)載器最優(yōu)的爬升軌跡，其優(yōu)化結(jié)果是非等動壓的。文獻(xiàn)［8］提出了3種迎角的優(yōu)化設(shè)計模型，以在POST中實現(xiàn)等動壓爬升，但這些模型設(shè)計參數(shù)多，只能通過優(yōu)化的方法予以確定，因而不能提供實時的等動壓爬升攻角制導(dǎo)指令。

本文通過推導(dǎo)等動壓爬升的高度-速度代數(shù)方程，提出了一種基于高度-速度曲線的等動壓爬升方法，可為吸氣式飛行器的等動壓乃至非等動壓爬升提供一種快速參考軌跡生成和制導(dǎo)方法。

1 動力學(xué)方程

不考慮地球旋轉(zhuǎn)，縱向平面內(nèi)的質(zhì)點動力學(xué)方程可寫為

式中 m為飛行器質(zhì)量;g為重力加速度;v為速度;θ為彈道傾角;x、h分別為水平距離和高度;ms為發(fā)動機(jī)秒耗量;α為迎角，α(t)表示迎角的變化規(guī)律;X、Y分別為氣動阻力和升力;P為發(fā)動機(jī)推力。

P可由式(2)計算:

式中 Isp(α，Ma，H)為發(fā)動機(jī)比沖，是迎角、馬赫數(shù)及高度的函數(shù)。

2 等動壓爬升軌跡

在RBCC動力空天飛行器的爬升過程中，動壓可表示為

式中 q為動壓;ρ為大氣密度。

考慮指數(shù)形式的大氣密度:

式中 ρ0為基準(zhǔn)大氣密度;hs為參考高度，常數(shù)。

對動壓求導(dǎo)，可得

將式(4)代入式(5)中，有

考慮到等動壓爬升dq=0，且將式(6)代入式(5)中，有

對式(7)求積分，可得

式中 Cv為常數(shù)，由等動壓爬升的動壓常數(shù)唯一確定。

由式(8)不難發(fā)現(xiàn)，只要飛行器在爬升過程中滿足該高度和速度代數(shù)方程，就可實現(xiàn)等動壓爬升。本文將該高度-速度的關(guān)系式稱為等動壓線。要說明的是當(dāng)Cv不再為常數(shù)時，如Cv=f(v)，則動壓就不再是常數(shù)，而是速度v的函數(shù)，此時的動壓變化規(guī)律就可由該函數(shù)確定，據(jù)此可靈活設(shè)計出各種滿足爬升需求的高度-速度參考曲線或動壓-速度參考曲線。

3 等動壓爬升軌跡實現(xiàn)方法

由式(8)可知，只要沿著等動壓線飛行，就可實現(xiàn)等動壓爬升。若假設(shè)推力P(α，Ma，H)已知，則等動壓爬升是一個典型的單輸入、單輸出的非線性跟蹤控制問題?；诜答伨€性化方法［9－10］，可推導(dǎo)出等動壓爬升的迎角制導(dǎo)指令。

方程組(1)的狀態(tài)變量為 X=［v，θ，X，H，M］T。為了跟蹤等動壓線，選取系統(tǒng)輸入u=α，輸出y=h，依據(jù)反饋線性化方法，現(xiàn)對方程組(1)的第4式求導(dǎo):

基于等動壓線，參考高度的導(dǎo)數(shù)可表示為

將式(8)代入式(10)中

對式(11)求二階導(dǎo):

將式(12)代入到方程(9)中，可得跟蹤等動壓線的彈道傾角:

考慮到吸氣式爬升過程中迎角較小，可令sinα≈α，并將升力Y表示為Y=Yαα，Yα為升力對迎角的偏導(dǎo)數(shù)，且有

將式(13)代入方程組(1)的第2式，可得等動壓爬升的參考迎角指令為

為減小等動壓線跟蹤的穩(wěn)態(tài)誤差，且補(bǔ)償參數(shù)干擾或建模不確定性的影響，考慮如下迎角補(bǔ)償:

其中，khd和kh為調(diào)節(jié)系數(shù)，可取為

式中 ζ為阻尼系數(shù)，可取為0.7;ωn為自然頻率，可根據(jù)飛行器實際控制能力確定。

最終，等動壓爬升的迎角制導(dǎo)指令為

4 仿真算例

以某RBCC飛行器為例，對本文所設(shè)計的等動壓爬升方法進(jìn)行仿真驗證。該飛行器的參考面積為9.3 m2，飛行器初始質(zhì)量為52 000 kg，等動壓爬升階段推進(jìn)劑秒耗量為60 kg/s，等動壓爬升的初始條件如表1所示。升力系數(shù)和阻力系數(shù)分別為

發(fā)動機(jī)比沖擬合公式為

需要指出的是，該比沖擬合公式僅在一定范圍內(nèi)可用，不能應(yīng)用于RBCC發(fā)動機(jī)全程的性能計算。

表1 彈道初始條件Table 1 Initial conditions of trajectory

4.1 仿真結(jié)果

飛行器按照42 kPa等動壓爬升，將初始高度和速度代入到式(7)中，不難得到Cv=－72 063。

除能夠?qū)崿F(xiàn)等動壓爬升外，還可實現(xiàn)按某一規(guī)律進(jìn)行爬升。本算例給出了一種動壓隨速度增加的爬升方法。令

其中，令C1=－71 063，則爬升過程中動壓由42 kPa變化到52 kPa。

4.2 結(jié)果分析

該飛行器從Ma=3.4開始爬升，并到Ma=8結(jié)束(圖1)，經(jīng)歷了亞燃沖壓模態(tài)和超燃沖壓模態(tài)。圖2表明，等動壓爬升過程中可實現(xiàn)預(yù)定等動壓線的良好跟蹤，且動壓一直保持在42 kPa左右，變化幅度很小(如圖3所示)。可見，本文提出的方法可精確地實現(xiàn)等動壓爬升。圖4表明，在爬升過程中，制導(dǎo)指令αcom通過跟蹤高度-速度等動壓線實時生成，迎角指令平滑，保持在5°以內(nèi)。

除了可實現(xiàn)等動壓爬升外，該方法也可實現(xiàn)非等動壓爬升軌跡設(shè)計。圖6表明，該方法可按照預(yù)定的非等動壓規(guī)律進(jìn)行爬升。由圖5不難發(fā)現(xiàn)，非等動壓爬升與等動壓爬升相比，由于動壓逐漸增加，因而在相同的終端速度下，高度較低，較低的高度也導(dǎo)致迎角較小(圖4)。

5 結(jié)論

(1)RBCC動力飛行器吸氣式爬升過程速度變化范圍大，推力性能與飛行狀態(tài)密切相關(guān)，因而設(shè)計合適的爬升軌跡對于RBCC動力飛行器性能充分發(fā)揮具有重要作用。

(2)本文設(shè)計的等動壓爬升方法可完成RBCC動力飛行器的等動壓爬升。此外，該方法可綜合考慮熱流、動壓等約束，完成RBCC動力飛行器的各種爬升規(guī)律的軌跡設(shè)計，具有設(shè)計過程簡單、便于跟蹤的優(yōu)點，并可擴(kuò)展到其他吸氣式飛行器的軌跡設(shè)計中。

［1］劉洋，何國強(qiáng)，劉佩進(jìn)，等.RBCC組合循環(huán)推進(jìn)系統(tǒng)研究現(xiàn)狀和進(jìn)展［J］.固體火箭技術(shù)，2009，32(3):288-293.

［2］David A Young，Timothy Kokan.Lazarus:a SSTO hypersonic vehicle concept utilizing RBCC and HEDM propulsion technologies［R］.AIAA 2006-8099.

［3］Kevin W Flaherty，Katherine M Andrews，Glenn W Liston.Operability benefits of airbreathing hypersonic propulsion for flexible access to space［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2010，47(2):3-4.

［4］Ajay P Kothari，John W Livingston，Christopher Tarpley，et al.A reusable，rocket and air-breathing combined cycle hypersonic vehicle design for access-to-space［R］.AIAA 2010-8905.

［5］呂翔，何國強(qiáng)，劉佩進(jìn).RBCC飛行器爬升段軌跡設(shè)計方法［J］.航空學(xué)報，2010，31(7):1331-1337.

［6］薛瑞，胡春波，呂翔，等.兩級入軌RBCC等動壓助推彈道設(shè)計與推進(jìn)劑流量分析［J］.固體火箭技術(shù)，2013，36(2):155-160.

［7］龔春林，韓璐.RBCC可重復(fù)使用運(yùn)載器上升段軌跡優(yōu)化設(shè)計［J］.固體火箭技術(shù)，2012，35(3):290-295.

［8］Olds J R，Budianto I A.Constant dynamic pressure trajectory simulation with POST［R］.AIAA 98-302.

［9］閆曉東，唐碩.基于反饋線性化的亞軌道飛行器返回軌道跟蹤方法［J］.宇航學(xué)報，2008，29(5):1546-155.

［10］姚郁，譯.非線性系統(tǒng)設(shè)計［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2006.