莊科俊

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

傳染病學(xué)中數(shù)學(xué)模型的引入，為理解疾病傳播機(jī)制及其控制策略提供了一個(gè)全新的視角[1].Tuck與Wan建立了如下的HIV型種群動(dòng)力學(xué)模型[2]:

其中x與y分別是t時(shí)刻未感染和已感染的CD4+T細(xì)胞的數(shù)量，z表示t時(shí)刻血漿中病毒粒子的數(shù)目.系統(tǒng)中所有系數(shù)均為正數(shù)，s是CD4+T細(xì)胞的生成率，μ是人均死亡率，k是CD4+T細(xì)胞被病毒的感染率，a是被感染細(xì)胞的人均消失率，c為感染細(xì)胞與病毒的轉(zhuǎn)化率，而γ則是病毒粒子的死亡率.對(duì)系統(tǒng)(1)，已有學(xué)者研究其簡化系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[3]、同倫攝動(dòng)解[4].

最近，分?jǐn)?shù)階微積分引起了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注.由于分?jǐn)?shù)階模型的非局部性、記憶性等性質(zhì)，分?jǐn)?shù)階微分方程在生物系統(tǒng)的建模中更加貼切實(shí)際，并且出現(xiàn)了一些描述傳染病動(dòng)力學(xué)、種群動(dòng)力學(xué)的分?jǐn)?shù)階模型[5－6].因此，這里將考慮系統(tǒng)(1)的分?jǐn)?shù)階情形:其中 α ∈ (0，1]，Dα是 α 階 Caputo微分算子[7].Arafa等人利用廣義Taylor公式與同倫分析法，研究了系統(tǒng)(2)的簡化模型的解[8].而本文的主要目的在于，研究分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證理論分析的結(jié)果.

1 穩(wěn)定性分析

圖1 α=0.95時(shí)系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)E2漸近穩(wěn)定

系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)E1處的Jacobi矩陣為

相應(yīng)的特征方程為

根據(jù)分?jǐn)?shù)階 Routh － Hurwitz準(zhǔn)則[9－10]可知，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)所有特征根滿足|arg(λ)|＞απ/2.通過簡單計(jì)算不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)arμ＞ks(c－a)時(shí)，平衡點(diǎn)E1漸近穩(wěn)定;否則，E1不穩(wěn)定.

對(duì)平衡點(diǎn)E2，相應(yīng)的特征方程為:

令D(P)=18a1a2a3+(a1a2)2－，根據(jù)文獻(xiàn)[9－10]中的相關(guān)結(jié)論，可以得到如下的關(guān)于平衡點(diǎn)E2的穩(wěn)定性結(jié)果.

定理

(1)若D(P)＞0，則E2漸近穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)a1＞0，a1a2＞a3＞0.

(2)若D(P)＜ 0，a1≥0，a2≥0，a3＞ 0，0.5 ＜ α＜2/3，則E2漸近穩(wěn)定.

(3)若D(P)＜ 0，a1＞ 0，a2＞ 0，a1a2=a3，0.5 ＜α ＜1，則E2漸近穩(wěn)定.

(4)若D(P)＜0，a1＜0，a2＜0，α ＞2/3，則E2不穩(wěn)定.

2 數(shù)值例子

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，取 s=0.272，γ =2，μ =0.00136，k=0.00027，a=0.33，c=50，則E2=(49.21，0.6214，15.43)，借助Mathematica計(jì)算可得，a1=0.350173，a2=0.0128939，a3=1.86975 ×10－6，則D(P)=1.16422 × 10－5＞ 0，a1a2＞ a3，從而平衡點(diǎn)E2漸近穩(wěn)定，見圖1.

通過之前的分析及數(shù)值例子可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)參數(shù)在一定情況下，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)將保持整數(shù)階的穩(wěn)定性不變.關(guān)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(2)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，特別是其分支現(xiàn)象，還有待進(jìn)一步的研究.

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