蘇華東，黃青鶴，張桂寧

(1.廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530023;2.紐芬蘭紀(jì)念大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)系，加拿大 紐芬蘭 A1C5S7;3.江蘇科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003)

文中考慮的圖都是簡單圖(沒有重邊和自環(huán)).圖H稱為圖G的子圖，記作H?G，如果V(H)?V(G)，E(H)?E(G).圖G的補(bǔ)圖，記為，滿足V(ˉG)=V(G)且任意2個(gè)不同的頂點(diǎn)在ˉG是相連的，當(dāng)且僅當(dāng)它們在G中不相連.設(shè)集合I?V(G)，在I中任意2個(gè)不同頂點(diǎn)都沒有邊相連，則稱I是圖G的1個(gè)獨(dú)立集.設(shè)v∈V(G)，G中與頂點(diǎn)v相連的邊的數(shù)目，稱為v(在G中)的度，記作deg(v).設(shè)V'?V(G)，導(dǎo)出子圖G-V'，它是從G中去掉V'中的頂點(diǎn)及與這些頂點(diǎn)相連的邊所得到的子圖.如果V'={v∈V|deg(v)=0或1}，圖G的子圖G-V'稱為圖G的簡化，記作.如果圖G有2個(gè)頂點(diǎn)集V1，V2，使得V(G)=V1∪V2，V1∩V2=，且V1中任何1個(gè)頂點(diǎn)與V2中任何1個(gè)頂點(diǎn)是相連的，則稱這個(gè)圖G為完全二部圖，記作Km，n，其中m=|V1|，n=|V2|.如果1個(gè)圖G任何2個(gè)不同的頂點(diǎn)是相連的，則稱這個(gè)圖G為完全圖，記作Kn，其中n=|V(G)|.

在球面上添加一些手柄得到了新的表面，其類數(shù)是所添加的手柄的個(gè)數(shù).記連有i個(gè)手柄的球面為Si，其中i為非負(fù)整數(shù).那么，Si就是類數(shù)為i的可定向曲面.圖G的類數(shù)即為最小的整數(shù)m使得圖G能夠嵌入Sm上(也就是類數(shù)為m的可定向曲面)，記作γ(G).能夠嵌入到類數(shù)為0，1，2的表面上的圖分別稱為可平面圖、環(huán)面圖和雙環(huán)面圖(具有2個(gè)手柄的面稱為雙環(huán)面).直觀地說，類數(shù)代表了從球面上連出來的手柄個(gè)數(shù).未涉及的圖論定義及其它的內(nèi)容可參考文獻(xiàn)［1］.

設(shè)R是一個(gè)交換環(huán)，a∈R，若存在0≠b∈R，使得ab=0，則稱a是環(huán)R的一個(gè)零因子.交換環(huán)R的所有零因子組成的集合記作Z(R)，記Z(R)*=Z(R)-{0}.設(shè)a∈R，＜a＞表示由a生成的主理想.環(huán)論中未涉及的定義請(qǐng)參考文獻(xiàn)［2］.

交換環(huán)R的零因子圖是一個(gè)簡單圖，記作Γ(R)，其頂點(diǎn)集為Z(R)*，2個(gè)不同的頂點(diǎn)a，b有邊相連當(dāng)且僅當(dāng)ab=0.詳細(xì)的定義以及Γ(R)的一些基本性質(zhì)請(qǐng)參考文獻(xiàn)［3］.環(huán)的零因子圖已經(jīng)引起了眾多學(xué)者的關(guān)注［4-5］.確定一個(gè)圖的類數(shù)是一個(gè)NP問題，但是由于零因子圖的特殊性，可以確定一些類數(shù)較小的情形，首先在 S.Akbari等［6-7］對(duì)Γ(R)的平面性(即類數(shù)為0)進(jìn)行了討論.文獻(xiàn)［8-10］分別確定了類數(shù)為1的零因子圖，文獻(xiàn)［11］對(duì)局部環(huán)考慮了類數(shù)為2的零因子圖.當(dāng)類數(shù)比較大的時(shí)候，研究起來比較困難.所以轉(zhuǎn)向特殊的環(huán)類，Tang Gaohua等［12］考慮了模n高斯整數(shù)環(huán)的零因子圖，確定了類數(shù)小于6的情形.模n剩余類環(huán)Zn={0，1，2，…，n-1}是個(gè)基本的有限環(huán)，A.Phillips等［13-14］研究了它的零因子圖性質(zhì)，包括Γ(Zn)和它的補(bǔ)圖的中心，補(bǔ)圖的平面性、獨(dú)立集以及頂點(diǎn)的最小度、連通性，Γ(Zn)的核、Γ(Zn)和它的補(bǔ)圖的頂點(diǎn)的著色問題等.筆者主要研究模n剩余類環(huán)Ζn的零因子圖的補(bǔ)圖的類數(shù)，通過對(duì)n的標(biāo)準(zhǔn)分解進(jìn)行討論，利用圖論中已知的類數(shù)公式，采用嵌入技巧，完全確定模n剩余類環(huán)Ζn的零因子圖的補(bǔ)圖的類數(shù)不超過5的情形.

1 引理

引理 1［1］，其中{x}是指不小于x的最小非負(fù)整數(shù).

引理 2［1］其中{x}是指不小于x的最小非負(fù)整數(shù).

下面2個(gè)引理是顯然成立的.

引理3 設(shè)圖H是圖G的任一子圖，則有γ(H)≤γ(G).

引理4對(duì)任意簡單圖G，有γ(G?)=γ(G).

引理5［1］設(shè)圖G是連通圖，且|V(G)|=v，|E(G)|=e，則有

引理6［1］設(shè)圖G，G使得V(G)∩V(G)=

1212?且E(G1)∩E(G2)=，記G=G1∪G2，其中V(G)=V(G1)∪V(G2)，E(G)=E(G1)∪E(G2)，則有 γ(G)=γ(G1)+γ(G2).

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)n=pe，其中p是素?cái)?shù)，e≥2是正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)n=p2，8，16，27.

證明 如果e=2，易知Γ(Ζp2)是1個(gè)完全圖Kp-1，即是1個(gè)獨(dú)立集，故下設(shè)e≥3，令

有

則對(duì)于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個(gè)不同的頂點(diǎn)都是有邊相連的，因此如果p≥5，則

所以只需考慮p=3和p=2這2種情形.

設(shè)p=3，令

如果e≥4，則有

則對(duì)于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個(gè)不同的頂點(diǎn)都是有邊相連的，從而存在1個(gè)子圖是完全圖K18，由引理1可得

當(dāng)e=3時(shí)，即n=27.令Γ(Ζ27)=G，有

其中9和18這兩個(gè)點(diǎn)的度是0，故

而且V)中任意2個(gè)不同的頂點(diǎn)是有邊相連的，即?G?K6，由引理4和引理1，

設(shè)p=2，令

取

如果e≥5，則

并且對(duì)于任意a∈H1，b∈H2，有ab≠0，所以H1中任意1個(gè)點(diǎn)與H2中任意1個(gè)點(diǎn)都是有邊相連的，故存在一個(gè)子圖是完全二部圖K6，8，由引理2可得

當(dāng)e=4時(shí)，設(shè)取H={2，4，6，10，14}，顯然H中任意2個(gè)不同的頂點(diǎn)都是有邊相連的，故存在1個(gè)子圖是完全圖K5，由引理1可得

?G在曲面S1上的嵌入如圖1所示，所以

圖1?G在曲面S1上的嵌入

當(dāng)e=3時(shí)，有，顯然證畢.

定理2 設(shè)n=，其中:pi(i=1，2)為素?cái)?shù)，且p1＜p2;ei(i=1，2)為正整數(shù).則，當(dāng)且僅當(dāng)n=6，10，12，14，15，18，20，21，22，33，35，55，77.

證明 如果e1≥3，令

有

且對(duì)于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個(gè)不同的頂點(diǎn)都是有邊相連的，因此，當(dāng)n≠24時(shí)，有

當(dāng)n=24時(shí)，令，簡單檢驗(yàn)后得圖G是一個(gè)連通圖，且有|V(G)|=15，|E(G)|=79.

由引理5得

如果e2≥3，令

有

且對(duì)于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個(gè)不同的頂點(diǎn)都是有邊相連的，因此Γ(Ζn)存在1個(gè)子圖是完全圖K18，由引理1可得

下面只需要考慮e1≤2，e2≤2的情形.

情形 1e1=e2=2，令

有

且對(duì)于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個(gè)不同的頂點(diǎn)是有邊相連的，因此

存在1個(gè)子圖是完全圖K12，由引理1可得

情形2e1=e2=1，即n=p1p2，此時(shí) Γ(Zn)是完全二部圖，即是2個(gè)完全圖的不相交并，即

情形3e1=1且e2=2，令

如果p2≥5，則有

且對(duì)于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個(gè)不同的頂點(diǎn)是有邊相連的，因此

存在1個(gè)子圖是完全圖K20，由引理1可得

當(dāng)p1=2，p2=3即n=18時(shí)，令

則對(duì)于任意a∈H1，b∈H2有ab≠0，故a與b是有邊相連的，因此存在1個(gè)子圖是完全二部圖K5，5，由引理 2 可得

情形4e1=2且e2=1，令

如果p2≥7則有

且對(duì)于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個(gè)不同的頂點(diǎn)是有邊相連的，因此存在1個(gè)子圖是完全圖K12，由引理1得

當(dāng)p1=2，p2=3 時(shí))在平面上嵌入如圖3所示，故

圖3 在平面上嵌入

當(dāng)p1=2，p2=5時(shí)，令H=Γ(Ζ20)-10，則圖H是一個(gè)連通圖，且有

圖4 在曲面S3上的嵌入

當(dāng)p1=3，p2=5，取H= ＜3 ＞ - ＜15 ＞ ={3，6，9，12，18，21，24，27，33，36，39，42}，

顯然H中任意2個(gè)不同的頂點(diǎn)是有邊相連的，因此存在1個(gè)子圖是完全圖K12，由引理1得

證畢.

證明 當(dāng)n=30 時(shí)，取H={2，3，4，6，8，9，12，14，16，18，21，22，24，26，27，28}，則|H|=16，經(jīng)計(jì)算可知，H中任意2個(gè)不同的頂點(diǎn)是有邊相連的，故存在1個(gè)子圖是完全圖K16，由引理1 得

當(dāng)n≠30時(shí)，構(gòu)造2個(gè)理想I1=＜p1＞和I2=＜p1p3＞，取V=I1-I2，有

經(jīng)驗(yàn)證對(duì)于任意a，b∈H有ab≠0，故H中任意2個(gè)不同的頂點(diǎn)是有邊相連的，因此，Γ(Ζn)存在1個(gè)子圖是完全圖K18，由引理1得證畢.

由前面的3個(gè)定理以及它們的證明過程，有如下的推論.

7)不存在n，使得

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