申春赟， 楊 茉， 王 津， 張 昆， 張玉文

（1.上海理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，上海 200093；2.密蘇里大學(xué) 機械與航空航天工程學(xué)院，哥倫比亞 65211）

封閉圓內(nèi)開縫圓自然對流換熱是從發(fā)電廠采用的離相封閉電流母線散熱問題中抽象出來的理論研究模型.由于封閉電流母線的熱效應(yīng)可能引起母線局部過熱，從而導(dǎo)致母線短路等問題，會嚴重影響母線的正常安全運行，因此，必須對母線采取可靠而有效的散熱措施.對于自然冷卻的封閉電流母線，為了強化內(nèi)筒電流母線自然對流換熱，常常將內(nèi)筒開縫，其抽象的換熱模型即本文研究的封閉圓內(nèi)開縫圓的自然對流換熱問題.

最早研究圓內(nèi)開縫圓自然對流換熱的是Kuleek［1］，其首次提出了一個近似計算公式，說明了開縫結(jié)構(gòu)下的換熱量可以比不開縫結(jié)構(gòu)下的換熱量提高30%～40%.王國祥等［2］則對圓內(nèi)開縫圓自然對流換熱進行了實驗研究，發(fā)現(xiàn)Kuleek的近似公式與實驗結(jié)果之間存在較大的誤差，并提出開縫結(jié)構(gòu)下的換熱量最大可以比不開縫結(jié)構(gòu)下的換熱量提高50%以上.Yang等［3］采用SIMPLE算法和穩(wěn)態(tài)對稱模型首次成功地對圓內(nèi)開縫圓自然對流換熱問題進行了數(shù)值模擬，所獲得的數(shù)值結(jié)果與王國祥［2］的實驗結(jié)果吻合.Yang、黃夫泉、Zhang等［4－6］對圓內(nèi)開縫圓自然對流換熱問題進行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)，對這種幾何和物理條件都是對稱的和不隨時間變化的自然對流換熱問題，由于問題是非線性的，除了存在穩(wěn)態(tài)的和對稱的解外，在滿足一定條件時，還存在非對稱的和振蕩的解，對這種問題進行數(shù)值模擬需要采用完整的計算區(qū)域和非穩(wěn)態(tài)模型.然而國際上的關(guān)于這方面的研究主要針對于封閉圓內(nèi)自然對流換熱，Bishop，Powe等［7－8］先后由實驗研究了低溫下兩個同心圓筒所構(gòu)成的環(huán)形封閉空間內(nèi)氦氣的自然對流換熱，給出了Keqs與Ra的實驗關(guān)聯(lián)式.Farouk，Guceri和Saitoh等［9－11］均采用數(shù)值方法研究了這種環(huán)形空間內(nèi)自然對流換熱問題，F(xiàn)ant等［12－13］研究了二維狹小環(huán)形空間中的流動與換熱問題，同時Yoo［14－15］研究了不同參數(shù)下狹小圓環(huán)內(nèi)出現(xiàn)的非線性現(xiàn)象.但是如果對封閉圓進行開縫，其流場和溫度場都會發(fā)生很大變化，因此，本文在前人研究基礎(chǔ)上進一步對圓內(nèi)開縫圓自然對流進行研究.

到目前為止，所見到的對于圓內(nèi)開縫圓自然對流換熱的研究，都是針對豎直開縫圓的.對于圓內(nèi)水平開縫圓和開縫有一定角度的開縫圓自然對流換熱，未見有公開發(fā)表出來的研究成果.由于自然對流換熱受幾何結(jié)構(gòu)和幾何位置的影響較大，特別是一些非線性特性對幾何結(jié)構(gòu)和幾何位置變化較為敏感，因此，需要展開對各種開縫方向的圓內(nèi)開縫圓自然對流換熱的研究.

筆者采用非穩(wěn)態(tài)的換熱模型，對不同開縫方向的圓內(nèi)開縫圓全區(qū)域的自然對流換熱進行了數(shù)值模擬，根據(jù)數(shù)值結(jié)果，探討了不同開縫方向及特征參數(shù)下對這種模型的換熱規(guī)律及其中存在的非線性特性.

1 研究模型及計算方法

在極坐標下研究的理論模型如圖1所示，假設(shè)其中的自然對流換熱問題是二維的，其內(nèi)外圓分別為恒溫Ti和To，Ti＞To.φ為開縫圓開縫與豎直鉛垂線所成的角度，φ＝90°時為水平開縫.當計算中所采用的半徑比η＝ri／ro＝5／13、開縫度S＝2α／π＝0.1、環(huán)形空間寬度L＝1、內(nèi)部圓環(huán)厚度δ＝0.112 5時，流體滿足Boussinesq假設(shè)及流體在固壁上無滑移.

在極坐標系下，描述上述二維模型的無量綱化控制方程為

圖1 封閉圓內(nèi)開縫圓自然對流換熱模型Fig.1 Closed circle within a slotted round natural convection heat transfer model

其中，方程（1）和方程（2）的源項分別為

方程中無量綱參數(shù)和參考值UR定義為

式中，ρ為流體密度；g為重力加速度；β為熱膨脹系數(shù)；α為熱擴散率；ν為運動粘度系數(shù).

描述圖1問題的邊界條件為

初始條件為

為了探討不同Ra下整體的換熱效果，定義整個圓的平均導(dǎo)熱系數(shù)為

式中，Q為整個圓的換熱量.

為了與文獻［2］實驗結(jié)果相對比，定義修正后的整體平均當量導(dǎo)熱系數(shù)為

2 數(shù)值模擬及分析

2.1 模擬結(jié)果與王國祥實驗結(jié)果對比

采用具有QUICK差分方法的SIMPLE方法對文獻［2］實驗所采用的封閉圓內(nèi)豎直開縫圓模型進行計算.實驗物理模型的幾何尺寸為ro＝130，ri＝49，δ＝4.5，S＝0.1.實驗所得關(guān)聯(lián)式為

圖2給出了具有QUICK差分方法的SIMPLE方法的數(shù)值與實驗結(jié)果對比.由圖可知，本文所構(gòu)造的數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果吻合良好，能夠有效地反映封閉圓內(nèi)開縫圓的自然對流換熱情況.當Ra較小時，兩者幾乎完全吻合，當Ra＝3×105時，兩者的誤差為6%.

2.2 不同開縫方向下流場和溫度場的變化

圖3（見下頁）給出了Ra＝1×104時不同開縫方向下自然對流換熱速度矢量場和溫度場.與不開縫的結(jié)構(gòu)相比，開縫圓的內(nèi)部存在流體流動，內(nèi)外兩個表面均參與換熱.流體沿開縫圓熱壁面上升，至頂部開縫處后，沿外圓的冷壁面下降，最終形成兩個較大渦卷.該流動結(jié)構(gòu)下的流體在開縫圓正上方向上流動，這種流動稱為上升流.該流場下對應(yīng)溫度條紋在開縫圓上方呈T字型，所以稱為T字型溫度場.從圖中模擬結(jié)果可以看出，在環(huán)形區(qū)域的中上部出現(xiàn)了“腎狀渦”，數(shù)值計算中在開縫圓內(nèi)的下部出現(xiàn)了類似于“貓眼”的二次渦.

當φ＝10°時，溫度分布不再沿著開縫方向而對稱，對應(yīng)的溫度場在內(nèi)部開縫圓上方區(qū)域呈現(xiàn)非對稱的T字型，稱為非對稱T字型溫度場.原來開縫圓內(nèi)部較平直的等溫線發(fā)生了偏斜.

當φ＝60°時，隨著開縫方向的繼續(xù)增加，高溫區(qū)域逐漸開始收縮，不再呈現(xiàn)擴散的形式，高溫區(qū)域開始向上運動，開縫環(huán)內(nèi)的溫度慢慢由低溫區(qū)域變化為高溫區(qū)域.

圖2 二維數(shù)值與文獻［2］實驗結(jié)果對比Fig.2 Comparison of two－dimensional numerical and literature［2］experiment results

當φ＝90°時，流體沿開縫圓熱壁面上升，一部分流體沿水平開縫處流入開縫圓內(nèi)部，另一部分流體繼續(xù)上升 到達開縫圓上方后 沿外圓筒冷壁面下降，圓內(nèi)左右兩側(cè)形成了大小不同的兩渦渦卷，該流型對應(yīng)的溫度場沿縱軸線不對稱，在開縫圓上方呈現(xiàn)T字型，對應(yīng)的T型溫度場向右偏斜，稱為非對稱的兩渦基本流型及T型溫度場.

圖3 不同開縫方向下對應(yīng)的溫度場和速度矢量場Fig.3 Temperature field and velocity field in different slotted direction

2.3 不同開縫方向Keqs的變化

圖4所示為采用二維QUICK格式計算不同開縫方向Keqs的變化.

由圖4（a）得知，當φ不變時，Keqs隨著Ra的增加不斷增大，而且不同開縫方向處Keqs隨Ra的變化趨勢一致.當Ra取10～102時，Keqs隨著φ增大基本不發(fā)生變化，因為低Ra下對流與熱傳導(dǎo)相比，熱傳導(dǎo)占據(jù)主要地位，而開縫方向變化時熱傳導(dǎo)熱量變化不大，因此Keqs基本不變.當Ra為102～105之間時，隨著Ra的增加Keqs不斷增大，相同Ra下φ越大Keqs越低.因為Ra的增加表明對流換熱起到的作用越來越大，隨著開縫方向的變化，由豎直偏斜慢慢變緩，由重力引起的自然對流換熱逐漸減弱，導(dǎo)致Keqs降低.

圖4 不同開縫方向時Keqs的變化Fig.4 Comparison of Keqsin different slotted directions

由圖4（b）所示，當Ra不變時，隨著φ的增大，Keqs逐漸減小.隨著Ra繼續(xù)增大，Keqs出現(xiàn)了波動，結(jié)果無法收斂，說明此時對流換熱無法達到穩(wěn)定，出現(xiàn)了振蕩.

2.4 圓內(nèi)開縫圓的非線性特性

當選擇水平開縫圓幾何尺寸為S＝0.4，Pr＝0.7，δ＝0.112 5時，采用SIMPLE方法計算不同Ra下自然對流換熱問題.采用零初場，在幾何尺寸不變時計算不同Ra下Keq隨時間的變化，結(jié)果表明隨著Ra不斷增大，系統(tǒng)出現(xiàn)了不同的數(shù)值解，分別為穩(wěn)態(tài)解、周期性振蕩解及混沌解.當Ra＝105時，流動與換熱處于穩(wěn)定狀態(tài)，Keq隨時間趨于定值，如圖5（a）（見下頁）.當Ra＝106時，Keq隨時間的發(fā)展不能夠穩(wěn)定于某一定值，經(jīng)過足夠長的時間后，隨時間呈周期性振蕩狀態(tài)，如圖5（b）（見下頁）.當Ra＝107時，經(jīng)過足夠長的時間后，Keq隨時間做非周期性振蕩運動，流動與換熱表現(xiàn)較強的非線性特性，如圖5（c）（見下頁）.

以上為水平開縫方向模擬的非線性現(xiàn)象，其它開縫方向也會出現(xiàn)類似的非線性特性，只是出現(xiàn)穩(wěn)定解、周期性振蕩解、非周期性振蕩解的臨界值有所不同，本文這里不再敘述.

圖5 不同Ra下Keq隨時間變化Fig.5 Keqchanges with time in different Ra

3 結(jié) 論

a.基于SIMPLE方法的計算結(jié)果能夠與文獻［2］的實驗結(jié)果相吻合；

b.在本文模擬的水平開縫特定幾何尺寸下，當Ra較小時，不同φ時Keqs基本保持不變，隨著Ra增加，隨著φ從豎直到水平角度變化時Keqs變小，而在同一開縫方向下Ra越大Keqs值越大，當Ra超過某一臨界值時，Keqs出現(xiàn)波動，數(shù)值結(jié)果發(fā)生了振蕩；

c.不同Ra下Keq隨時間的變化，結(jié)果表明隨著Ra不斷增大，系統(tǒng)出現(xiàn)了不同的數(shù)值解，分別為穩(wěn)態(tài)解、周期性振蕩解及混沌解，圓內(nèi)開縫圓自然對流換熱表現(xiàn)出非線性現(xiàn)象.

［1］Kuleek P V.Heating and cooling of bus bars for large power generators［J］.Electric Power Plant，1964（10）：39－43.

［2］王國祥.雙半圓大電流封閉母線自然對流換熱實驗研究［C］／／工程熱物理論文集.北京.1986：235－240.

［3］Yang M，Tao W Q.A numerical study of nature convective heat transfer in an cylindrical enclosure with internal concentric slotted hollow cylinder［J］.Numerical Heat Transfer，1992，22（3）：289－306.

［4］Yang M，Zhang B W，Huang F Q，et al.Numerical simulation for nonlinear characters of natural convection in an annulus with an internal concentric slotted cylinder［C］／／13th International Heat Transfer Conference，Sydney Convention and Exhibition Centre，2006.

［5］黃夫泉，楊茉，余敏，等，封閉圓內(nèi)開縫圓自然對流換熱的振蕩特性［J］.工程熱物理學(xué)報，2006，27（2）：286－288.

［6］Zhang K，Yang M，Zhang Y W.Numerical analysis of natural convection in a cylindrical envelope with an internal concentric cylinder with slots［J］.Numerical Heat Transfer Part A，2011，59（10）：739－754.

［7］Bishop E H，Carley C T，Photographic studies of natural convection between concentric cylinders［C］／／Proceedings of the 1966Heat Transfer and Fluid Mechanics Institute.Stanford，1966.

［8］Powe R E，Bishop E H，Carley C T.Free convective flow patterns in cylindrical annuli［J］.Journal of Heat Transfer，1969，91（3）：310－314.

［9］Farouk B，Guceri S I.Natural convection from a horizontal cylinder－laminar regime［J］.Journal of Heat Transfer，1981，103（3）：522－527.

［10］Farouk B，Guceri S I.Laminar and turbulent natural convection in the annulus between horizontal concentric cylinders［J］.Journal of Heat Transfer，1982，104（4）：631－636.

［11］Saitoh T，Sajiki T，Maruhara K.Bench mark solutions to natural convection heat transfer problem around a horizontal circular cylinder［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，1993，36（5）：1251－1259.

［12］Fant D B， Prusa J， Rothmayer A. Unsteady multicellular natural convection in a narrow horizontal cylinderical annulus［J］.Journal of Heat Transfer，1990，112（2）：379－387.

［13］Fant D B，Rothmayer A，Prusa J.Natural convective flow instability between horizontal concentric cylinders［J］.Journal of Thermophysics，1991，5（3）：407－414.

［14］Yoo J S.Prandtl number effect on bifurcation and dual solutions in natural convection in a horizontal annulus［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，1999，42（17）：3279－3290.

［15］Yoo J S.Dual free－convective flows in a horizontal annulus with a constant heat flux wall ［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，2003，46（13）：2499－2503.