羅 強，

(1.南陽師范學(xué)院土木建筑工程學(xué)院，河南南陽 473061;2.大連理工大學(xué)土木工程學(xué)院巖土工程研究所，遼寧大連 116024)

在許多實際巖土工程問題中，例如基坑開挖、淺基礎(chǔ)地基承載力與變形特性、地震或波浪荷載對海床的作用［1-2］等，主應(yīng)力方向的旋轉(zhuǎn)所引起的初始主應(yīng)力狀態(tài)的改變是不容忽視的。在土體主應(yīng)力方向的旋轉(zhuǎn)過程中，主應(yīng)力方向與塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)變化趨勢并不是一致的，即存在非共軸現(xiàn)象，該現(xiàn)象在許多室內(nèi)實驗中已被觀測到［3-5］。合理描述非共軸現(xiàn)象的理論是當(dāng)前土力學(xué)研究中的熱點問題之一，這些非共軸理論包括:雙剪理論［6-7］、塑性勢雙剪理論［8］、亞塑性理論［9］以及屈服角點結(jié)構(gòu)理論［10］。國內(nèi)外研究學(xué)者針對非共軸理論及其應(yīng)用進行了系統(tǒng)的研究［11-13］。

當(dāng)?shù)鼗惺軠\基礎(chǔ)所傳遞的上部荷載作用時，淺基礎(chǔ)邊緣下方土體將會產(chǎn)生顯著的剪切變形，從而引起主應(yīng)力方向的旋轉(zhuǎn)。在主應(yīng)力方向旋轉(zhuǎn)過程中會產(chǎn)生非共軸現(xiàn)象，因此采用有限元方法分析淺基礎(chǔ)荷載-變形問題時應(yīng)當(dāng)考慮非共軸現(xiàn)象的影響。Yu等［14-15］將角點結(jié)構(gòu)非共軸模型應(yīng)用到淺基礎(chǔ)荷載-變形問題的有限元計算中，他們認為非共軸模型計算得到的基礎(chǔ)沉降要比共軸模型的結(jié)果大很多。Yang Y和Yu H S［16］采用非共軸本構(gòu)模型對淺基礎(chǔ)荷載-變形問題進行有限元數(shù)值分析，研究了非共軸現(xiàn)象對基礎(chǔ)沉降和地基承載力的影響。上述研究工作主要在中心加載情況下研究了非共軸現(xiàn)象對地基荷載-變形特性的影響，然而，現(xiàn)實中存在大量的偏心荷載作用情況;在偏心荷載情況下進行數(shù)值計算容易產(chǎn)生數(shù)值計算不收斂問題，因此，有必要在偏心荷載作用情況下研究非共軸現(xiàn)象對淺基礎(chǔ)荷載-變形特性的影響。

基于屈服角點結(jié)構(gòu)非共軸理論，建立了一種非共軸本構(gòu)模型，通過有限元軟件ABAQUS的二次開發(fā)子程序UMAT，將該模型運用到有限元數(shù)值計算中。首先，在理想的荷載、位移邊界條件下對中密砂單剪試驗進行數(shù)值模擬，研究了非共軸現(xiàn)象及其對應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響，將數(shù)值計算結(jié)果與Roscoe的試驗結(jié)果［4］進行對比。然后，針對偏心荷載作用下條形淺基礎(chǔ)荷載-變形特性進行數(shù)值分析，研究了非共軸現(xiàn)象對荷載-位移關(guān)系的影響，以及土體單元在主應(yīng)力方向旋轉(zhuǎn)過程中的非共軸現(xiàn)象。

1 非共軸本構(gòu)模型

屈服角點結(jié)構(gòu)非共軸理論［10］是以Drucker-Prager彈塑性理論的圓形屈服面為基礎(chǔ)，增加一個與屈服面相切的非共軸塑性應(yīng)變增量，它與共軸塑性應(yīng)變增量在是相正交的，如圖1所示。

圖1 非共軸、共軸塑性應(yīng)變增量在屈服面上的關(guān)系Fig.1 Schematic illustration of non-coaxial and coaxial plastic strain rates

根據(jù)屈服角點結(jié)構(gòu)非共軸理論，塑性應(yīng)變增量ε·ij可以表達為

其中，等號右邊的三項分別為彈性應(yīng)變增量、共軸塑性應(yīng)變增量和非共軸塑性應(yīng)變增量。

式中:K，G為土體材料的體積模量和剪切模量;δij為Kronecker函數(shù)。

采用相關(guān)聯(lián)的流動法則，屈服函數(shù)(f)與塑性勢函數(shù)(g)采用相同的表達形式:

其中，c為黏聚力。當(dāng)參數(shù)a=0.5ccotφ時，式(4)與傳統(tǒng)Drucker-Prager屈服函數(shù)相一致。

在理想彈塑性情況下，式(4)中的φ為峰值內(nèi)摩擦角。在應(yīng)變硬化情況下，φ為機動內(nèi)摩擦角，其為累積塑性偏應(yīng)變γpc的函數(shù)［17］，如下所示:

其中，φult為材料的峰值內(nèi)摩擦角，由常規(guī)三軸排水剪切試驗得到;參數(shù)a1=-11.105［17］;參數(shù)a2=0.4。

其中，Kp為塑性硬化模量。

其中，H采用式(5)的表達形式，Ha=γpc。

非共軸塑性模量hnc假定為累積塑性應(yīng)變ξp的函數(shù)［16］:

式中:hnco為初始非共軸塑性模量，b1和b2為模型系數(shù)，其數(shù)值分別為-16和0.7。

將式(2)、(6)、(9)代入式(1)中，可得到非共軸彈塑性本構(gòu)模型的表達形式:

其中，Rij= ?g/?σij，lij= ?f/?σij，為非共軸模型的彈塑性剛度矩陣。

通過有限元程序ABAQUS里面的用戶材料子程序UMAT，采用顯式積分算法和自動分步相結(jié)合的方法［18］，對共軸和非共軸模型進行數(shù)值積分。

2 單剪試驗數(shù)值模擬及結(jié)果分析

有限元模型采用四邊形平面應(yīng)變單元，其類型為八節(jié)點二次縮減積分單元。在模型頂邊施加水平位移邊界條件，模型的左右兩邊保持直線狀態(tài)。模型底邊的豎向和水平方向位移均被固定，豎向壓力σyy施加在模型的頂面。由于剪應(yīng)力τxy的作用，模型沿水平方向?qū)a(chǎn)生應(yīng)力變化Δσxx、豎直方向的應(yīng)變εyy以及主應(yīng)力方向的旋轉(zhuǎn)。主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)如圖2所示，虛線為變形后的狀態(tài)，實線為初始狀態(tài);α為主應(yīng)力或塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)角度。

采用相對密度Dr=40%的中密砂，其內(nèi)摩擦角峰值φult=36°。在理想彈塑性和應(yīng)變硬化情況下，剪切模量G分別取為150 MPa和30 MPa。靜止側(cè)壓力系數(shù)Ko取為0.2和0.5。豎向應(yīng)力取為135 kPa。非共軸模型中的hnco/G分別取0.2、0.4和0.8。

圖2 主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)Fig.2 Rotation of directions of principal stress and principal plastic strain rate

2.1 剪應(yīng)力比-剪應(yīng)變關(guān)系

在理想彈塑性和應(yīng)變硬化情況下，計算得到的剪應(yīng)力比(τxy/σyy)-剪應(yīng)變(γxy)關(guān)系如圖3所示。

由圖3可知:1)非共軸模型計算結(jié)果的增長速度滯后于共軸模型計算結(jié)果的增長速度，即非共軸現(xiàn)象對應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線具有“軟化”作用。當(dāng)剪應(yīng)力比達到極值時，兩種模型的計算結(jié)果之間的差異將消失。2)隨著hnco/G的增加，非共軸現(xiàn)象的影響逐漸減小，兩種模型計算結(jié)果之間的差異逐漸減小。3)與理想彈塑性計算結(jié)果相比，兩種模型計算結(jié)果之間的差異在應(yīng)變硬化情況下更加顯著。

2.2 主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)

對主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)規(guī)律進行分析，從而對非共軸現(xiàn)象進行研究。以Ko=0.2時的計算結(jié)果為例，如圖4所示。

圖3 剪應(yīng)力比-剪應(yīng)變關(guān)系Fig.3 Curves of shear stress ratio-shear strain

圖4 主應(yīng)力和塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)Fig.4 Predictions of the orientations of major principal stress and plastic strain rate

由圖4可知:1)非共軸模型得到的主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變增量方向在剪切變形的初期是不重合的，主應(yīng)力方向的增長趨勢滯后于塑性主應(yīng)變增量方向的增長趨勢;隨著剪切變形的發(fā)展，兩者逐漸趨于一致。2)隨著hnco/G的增長，主應(yīng)力方向與塑性主應(yīng)變增量方向之間的差異逐漸減小，非共軸現(xiàn)象逐漸減弱。3)與理想彈塑性計算結(jié)果相比，非共軸現(xiàn)象在應(yīng)變硬化情況下更加明顯。

2.3 數(shù)值計算與單剪試驗的結(jié)果對比分析

在Roscoe的中密砂單剪試驗過程中［4］，作用于試樣的豎向應(yīng)力為135 kPa，試驗結(jié)果如圖5所示。

將圖3(b)和圖4(b)的數(shù)值計算結(jié)果與圖5的試驗結(jié)果進行對比，可以發(fā)現(xiàn):非共軸模型能夠合理地反映非共軸現(xiàn)象;試驗結(jié)果與非共軸模型的計算結(jié)果比較接近。

圖5 單剪試驗結(jié)果Fig.5 Results of simple shear test

3 偏心荷載作用下淺基礎(chǔ)荷載-變形特性的數(shù)值分析

針對寬度D=1 m的條形淺基礎(chǔ)，采用平面應(yīng)變單元建立有限元模型:約束模型側(cè)邊的水平位移，約束模型底邊的豎向位移和水平位移;地基表面施加均布豎向荷載q=100 kPa。為了模擬偏心加載，在距離淺基礎(chǔ)中心處不同水平距離的位置(e=D/8，e=2D/8，e=4D/8，e為偏心距)施加豎向位移。

地基材料的數(shù)值計算參數(shù):Dr=40%，φult=36°，Ko=0.5，干密度ρd=1.473 g/cm3，泊松比ν=0.3。在理想彈塑性和應(yīng)變硬化情況下，剪切模量G分別取為150 MPa和30 MPa。淺基礎(chǔ)采用線彈性本構(gòu)模型，E=2.1×105MPa，ν=0.125。非共軸模型中的hnco/G分別取0.3、0.4和1.0。

3.1 荷載-位移關(guān)系

在理想彈塑性和應(yīng)變硬化情況下，數(shù)值計算得到的荷載-位移關(guān)系如圖6和7所示。豎向、水平荷載為淺基礎(chǔ)下方第一層土體單元的豎向、水平應(yīng)力的平均值，水平坐標為歸一化豎向位移(V/D)。

圖6 地基豎向荷載-位移關(guān)系Fig.6 Curves of vertical load-settlement

由圖6和7可知:1)在理想彈塑性情況下分析豎向荷載時(如圖6(a)所示)，非共軸模型所得到的豎向荷載達到極值的增長速度滯后于共軸模型的結(jié)果。當(dāng)豎向荷載達到極值時，共軸與非共軸模型計算結(jié)果之間的差異將消失。2)在理想彈塑性情況下分析水平荷載時(如圖7(a)所示)，水平荷載隨著基礎(chǔ)沉降的增加而增長至極值，非共軸模型所得到的水平荷載的增長速度滯后于共軸模型的結(jié)果，非共軸模型所得到的極值要低于共軸模型的結(jié)果。然后，水平荷載由極值逐漸減小至最小值，非共軸模型的計算結(jié)果的減小速度要滯后于共軸模型計算結(jié)果。當(dāng)水平荷載減小到最小值時，非共軸與共軸模型計算結(jié)果之間的差異消失。3)在應(yīng)變硬化情況下，豎向和水平荷載均沒有達到極值，非共軸模型計算結(jié)果的增長速度滯后于共軸模型的結(jié)果。與理想彈塑性情況下的計算結(jié)果相比，非共軸模型與共軸模型計算結(jié)果之間的差異在應(yīng)變硬化情況下更加明顯。4)隨著hnco/G的減小，非共軸與共軸模型計算結(jié)果之間的差異越來越大。

圖7 地基水平荷載-位移關(guān)系Fig.7 Curves of horizontal load-settlement

3.2 主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)

根據(jù)非共軸模型的計算結(jié)果(hnco/G=0.3)，針對淺基礎(chǔ)右側(cè)邊緣下方土體單元(H=0.1D)，對主應(yīng)力方向和塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)規(guī)律進行研究，如圖8所示。其中，H表示所選取土體單元距離地基表面的距離，D表示淺基礎(chǔ)的寬度。

圖8 主應(yīng)力與塑性主應(yīng)變增量方向的旋轉(zhuǎn)Fig.8 Rotations of directions of major principal stress and plastic strain rate

由圖8可知:1)在地基變形的初期，非共軸現(xiàn)象比較明顯，主應(yīng)力方向的減小速度要滯后于塑性主應(yīng)變增量方向的速度;隨著地基沉降的增加，非共軸現(xiàn)象逐漸減弱。2)在應(yīng)變硬化情況下，非共軸現(xiàn)象在基礎(chǔ)沉降較大時仍然比較明顯。與理想彈塑性的計算結(jié)果相比，非共軸現(xiàn)象在應(yīng)變硬化情況下更加明顯。3)在應(yīng)變硬化情況下，隨著偏心距的增加，非共軸模型的數(shù)值收斂性能逐漸變差。

4 結(jié)語

針對偏心荷載作用下條形淺基礎(chǔ)荷載-變形特性進行數(shù)值分析，研究了非共軸現(xiàn)象對荷載-位移關(guān)系的影響。研究結(jié)果表明:1)在地基變形的初期，非共軸現(xiàn)象比較明顯，主應(yīng)力方向的減小速度要滯后于塑性主應(yīng)變增量方向的減小速度;隨著地基沉降的增加，這種差異逐漸減小。2)在應(yīng)變硬化情況下，豎向和水平荷載均沒有達到極值，兩種模型計算結(jié)果之間的差異隨著基礎(chǔ)沉降的增加而增加;非共軸現(xiàn)象在基礎(chǔ)沉降較大時仍然比較明顯。3)與理想彈塑性情況下的計算結(jié)果相比，非共軸模型與共軸模型計算結(jié)果之間的差異在應(yīng)變硬化情況下更加明顯。4)隨著hnco/G的減小，非共軸與共軸模型計算結(jié)果之間的差異越來越明顯。

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