張先敏，馮其紅，張紀(jì)遠(yuǎn)

(中國(guó)石油大學(xué)，山東 青島 266580)

引 言

與常規(guī)壓裂直井相比，采用多分支水平井技術(shù)開(kāi)采低滲透煤層氣具有極大的優(yōu)越性［1］。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已在煤層氣水平井開(kāi)采模擬方面開(kāi)展了大量的研究工作:Sung和Ertekin［2］建立了可模擬多個(gè)水平井眼的煤層氣排采模型，Maricic等［3］開(kāi)展了煤層氣多分支結(jié)構(gòu)與羽狀分支結(jié)構(gòu)的水平井?dāng)?shù)值模擬研究，高德利等［4］建立了不同流態(tài)下分支井眼臨界長(zhǎng)度與直徑計(jì)算模型以及多分支井身結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型，Dikken［5］在1989年提出水平井筒內(nèi)的壓降不能忽略，張冬麗等［6］建立了考慮摩擦壓降和加速度壓降影響的煤層氣羽狀水平井開(kāi)采數(shù)學(xué)模型，Keim等［7］對(duì)煤層氣多分支井的分支間距、長(zhǎng)度以及井眼軌跡進(jìn)行了優(yōu)化研究。

本文在此基礎(chǔ)上，充分考慮羽狀水平井筒中分支和主支流體匯合的流體流動(dòng)特點(diǎn)，提出了煤層氣羽狀水平井開(kāi)采數(shù)學(xué)模型方法，進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值模擬分析研究。

1 數(shù)學(xué)模型的建立及求解

假設(shè)水平井筒中的流體流動(dòng)為一維、穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，分支流體匯流入主支井筒的過(guò)程近似為等溫流動(dòng)。將煤層氣羽狀水平井的主支井筒從跟端到指端劃分成N個(gè)微元井段，沿井筒延伸方向各微元井段長(zhǎng)為Δxi;將第j分支井筒從跟端至指端分成Mj段，沿井筒延伸方向各微元井段長(zhǎng)為 Δxj，k。對(duì)微元井段在主支上且該井段內(nèi)有分支的情況，在主支井筒上取流動(dòng)微元控制體見(jiàn)圖1。對(duì)此匯合點(diǎn)處可簡(jiǎn)化為斜三通，根據(jù)伯努利方程［8－9］可得:式中:pwi+1、pwi分別為主支相鄰的上、下游井段中心的壓力，MPa;pwj，1為微元控制體內(nèi)分支井段的壓力，MPa;D為主支井筒直徑，m;dj為第j分支井筒直徑，m;vRi為匯合處分支流體的入流速度，m/s;vi+1、vi分別為流體流入和流出該微元井段的平均流速，m/s為第j分支流入主支的平均入流速度，m/s;vi為該井段主支流體速度的平均值，m/s;ρi為流體的密度，kg/m3;fi+1為i+1主支井段的摩擦系數(shù)，采用 Ouyang［10］的摩擦系數(shù)公式計(jì)算;fj，1為第 j分支的摩擦系數(shù);Δxi為主支微元井段長(zhǎng)度，m;Δxj，1為第 j分支第 1 井段長(zhǎng)度，m;ξi為主支微元井段局部阻力系數(shù);ξj，1為第j分支第1井段局部阻力系數(shù);αi+1、αi、αj，1依次為上游井段、下游井段、第 j分支第1井段動(dòng)能修正系數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用中大多數(shù)情況下令 αi+1≈αi≈αj，1= α，紊流情況下 α 值近似取為1，層流情況下α值取為2。

圖1 井筒流體匯合流動(dòng)微元控制體示意圖

根據(jù)質(zhì)量守恒原理可知，流入與流出微元井段的質(zhì)量流量速率之差等于該微元井段內(nèi)質(zhì)量增加速率，即:

式中:A為主支井筒截面積，m2;ARj為第j分支井筒截面積，m2;νVi為煤層徑向流入主支微元井段的平均速度，m/s。

將式(3)代入式(1)整理可得主支上、下游井段之間的壓降方程為:

式中:qi為煤層流體流入主支微元井段的流量，m3;QRi為微元井段內(nèi)分支流入主支的流量，m3;Qi為相鄰上游段流入主支井段的流量，m3;fi為主支井段內(nèi)流體和管壁之間的摩擦系數(shù)。

同理，可得到羽狀水平井分支井段與主支井段之間的壓降方程為:

與裸眼完井水平井筒模型的方程［11］相似，可 得到無(wú)匯合點(diǎn)的主支井段或分支井段壓降方程為:

式中:pwj，k+1為第j分支第 k+1井段的壓力，MPa;pwj，k為第 j分支第 k 井段的壓力，MPa;Δxj，k為第 j分支第k井段長(zhǎng)度，m;ρj，k為第j分支第k井段內(nèi)混合流體的密度，kg/m3;fj，k為第j分支第k井段內(nèi)流體和壁面之間的摩擦系數(shù);QRj，k為從第j分支第k井段相鄰上游段流入該井段的流量，m3;qj，k為煤層徑向流入第j分支第k井段的流量，m3。

根據(jù)壓力連續(xù)原理，煤層流體與井筒流體在井壁處的壓力應(yīng)相等，結(jié)合井筒變質(zhì)量流動(dòng)壓降方程以及煤儲(chǔ)層氣—水兩相流動(dòng)方程［12］，加上相應(yīng)的初邊界條件，即可耦合構(gòu)成1個(gè)完整的煤層氣羽狀水平井開(kāi)采數(shù)學(xué)模型。在定井底流壓條件下，首先令井筒壓力為已知井底壓力;若在定產(chǎn)條件下，則可設(shè)為任意合理的井筒壓力值。采用全隱式方法求解煤儲(chǔ)層流動(dòng)模型可得到煤層壓力和含水飽和度值，然后代入井筒壓降方程組中求解得到井筒壓力值;再將最新的井筒壓力值帶入煤儲(chǔ)層流動(dòng)模型中重復(fù)計(jì)算，如此反復(fù)迭代，直到滿足一定的收斂條件，即可得到煤層壓力、含水飽和度和各井段的壓力分布值。

2 計(jì)算實(shí)例

沁水盆地南部是中國(guó)煤層氣勘探開(kāi)發(fā)最有利的區(qū)域之一，區(qū)內(nèi)廣泛發(fā)育的上石炭統(tǒng)太原組15號(hào)煤層和下二疊統(tǒng)山西組3號(hào)煤層是主要開(kāi)發(fā)目的層，其中3號(hào)煤層厚度較大，橫向分布穩(wěn)定，煤層頂?shù)装宸馍w能力較強(qiáng)，可作為煤層氣羽狀水平井開(kāi)發(fā)的目的層。煤層基本參數(shù)如下:地層壓力為2.45 MPa，含氣量為 19.60 m3/t，地層溫度為24.2℃，煤層厚度為6.0m，滲透率為0.61×10－3μm ，孔隙度為 0.06，Langmuir壓力為 3.58 MPa，Langmuir體積為48.69 m3/t。以煤層氣羽狀水平井進(jìn)行模擬開(kāi)采，主支長(zhǎng)為1200 m，分支長(zhǎng)為800 m，同側(cè)分支間距為300 m，相鄰不同側(cè)分支間距為50 m，井段總長(zhǎng)5700 m，分支與主支夾角為45°。

主支井筒不同位置單位長(zhǎng)度徑向入流量沿井長(zhǎng)分布是不均勻的，反映出主支井筒附近煤層氣解吸程度的差異，可按照產(chǎn)量上升和產(chǎn)量遞減2個(gè)階段來(lái)分別分析。在產(chǎn)量上升階段 (圖2a)，主支井筒的單位長(zhǎng)度入流量分布曲線呈上凸型，分支與主支匯合點(diǎn)附近煤層降壓程度較高，氣體徑向入流量相對(duì)較大，主支井筒兩端部的入流量較低;在產(chǎn)量遞減階段 (圖2b)，主支井筒入流量分布曲線總體上呈下凹型，反映出主支不同位置處供氣范圍的不同。由于中部井段供氣范圍較小以及各分支之間以及與主支之間的壓力干擾，煤層氣解吸程度較高，因此入流量越來(lái)越低，尤其分支節(jié)點(diǎn)處的入流量更低;相反，由于主支井筒兩端部的供氣范圍較大，井段氣體入流量保持相對(duì)較高水平。

圖2 不同時(shí)刻主支井筒氣體入流量分布曲線

圖3為不同時(shí)刻主支井筒壓力分布圖，可以看出，沿主支井筒壓力分布是不均勻的。越靠近主支井筒跟端，井筒質(zhì)量流量越大，摩擦引起的壓力損失以及入流、匯流造成的壓力損失亦越大，主支井筒壓力越低，因此井筒壓降在氣井產(chǎn)能動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià)中不可忽略。另外，隨著煤層氣不斷開(kāi)采，主支井筒指端與跟端之間的壓差呈先增加后減少的趨勢(shì)，這是由于隨著煤層氣體的不斷解吸，流體(氣和水)沿井壁徑向入流和分支流體匯入的量增大，摩擦、動(dòng)量變化以及匯合引起的壓降損失也逐漸增大(圖3a);隨著生產(chǎn)時(shí)間的延長(zhǎng)，主支徑向入流量和分支匯入量不斷減小，且此時(shí)主支井筒內(nèi)流體流動(dòng)處于紊流光滑區(qū)，井筒內(nèi)的壓降損失也不斷減少，井筒壓力越來(lái)越接近出口端壓力(圖3b)。

3 結(jié)論

(1)根據(jù)煤層氣羽狀水平井復(fù)雜井筒結(jié)構(gòu)以及井筒內(nèi)流體流動(dòng)特征，建立了考慮井筒變質(zhì)量流影響的煤層氣羽狀水平井開(kāi)采數(shù)學(xué)模型。

(2)沁水盆地煤層氣羽狀分支水平井開(kāi)采模擬分析表明:由于井筒變質(zhì)量流的影響，不同時(shí)刻的主支井筒單位長(zhǎng)度入流量分布曲線分別呈上凸型和下凹型，且水平井筒指端與跟端之間的壓差呈先增加后減少的趨勢(shì)。

圖3 不同時(shí)刻主支井筒壓力分布曲線

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