王琪 王曉茜

(長(zhǎng)春理工大學(xué)理學(xué)院,長(zhǎng)春 130022)

1 引言

近些年來,由于量子糾纏在量子計(jì)算、稠密編碼和量子隱形傳態(tài)等技術(shù)中起到關(guān)鍵作用,所以量子糾纏的確切量子力學(xué)特性備受關(guān)注.量子糾纏被認(rèn)為是量子通信和量子計(jì)算的關(guān)鍵物理資源.

最近的一些研究發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)的可積性和不可積性對(duì)系統(tǒng)的兩體糾纏和整體糾纏有著微妙的影響.開始對(duì)不可積體系中的多體糾纏的研究用Harper模型[1-3],而隨后的工作則用到量子baker映射[4]、Frenkel-Kontorova模型[5]和無序自旋鏈[6](disordered spin chains).而后Lakshminarayan和Subrahmanyam[7]利用受激伊辛模型討論了系統(tǒng)的可積性和不可積性對(duì)兩體糾纏及整體糾纏的影響,結(jié)果表明系統(tǒng)的不可積性促進(jìn)整體糾纏生成,不可積性還會(huì)使平均糾纏度增大.近期另外的一些研究討論了Dicke模型經(jīng)典相空間與量子動(dòng)力學(xué)演化之間的關(guān)系,由體系的整體糾纏動(dòng)力學(xué)特性,發(fā)現(xiàn)可以更好地揭示相空間的混沌和規(guī)則結(jié)構(gòu)[8].Wang等[9,10]研究了QKT(quantum kiched top)模型中量子混沌對(duì)自旋壓縮和量子糾纏的影響.伊辛模型作為最簡(jiǎn)單的海森堡模型[11,12],是一個(gè)簡(jiǎn)單而且現(xiàn)實(shí)的固態(tài)系統(tǒng),這種模型可以十分理想地制備和控制量子糾纏.對(duì)伊辛模型中量子糾纏特性的研究將會(huì)有效推動(dòng)量子計(jì)算機(jī)的研究和量子信息科學(xué)的發(fā)展.

基于上面的分析,本文利用一維傾斜場(chǎng)伊辛模型來對(duì)量子糾纏特性進(jìn)行研究[13].并發(fā)度(concurrence)[14]和Q測(cè)量函數(shù)(Q measure)[15]分別是兩種不同的糾纏的度量方法.前者是1998年由Wootters首次提出的,并發(fā)度很好地度量了系統(tǒng)的兩體糾纏,而后者是2002年由Meyer和Wallach定義的,可以對(duì)系統(tǒng)整體糾纏進(jìn)行度量.本文討論了從可積到不可積范圍內(nèi)自旋鏈中的兩體糾纏和整體糾纏特性,但是對(duì)于系統(tǒng)的兩體糾纏只涉及近鄰自旋之間的相互作用,同時(shí)這些相互作用是平移不變的.并且了解到在一維傾斜場(chǎng)伊辛模型中,不可積性會(huì)抑制兩體糾纏,但卻能促進(jìn)系統(tǒng)整體糾纏生成.不可否認(rèn)的是,對(duì)糾纏的整體度量只是最近才開始探索,而且似乎在多體量子態(tài)情況下,不同形式糾纏的度量應(yīng)該用到不同的方法,這些情況都需要更進(jìn)一步的闡明.

2 并發(fā)度和Q測(cè)量函數(shù)

1998年由Wootters首次提出并發(fā)度來描述兩體量子體系的糾纏,也是目前刻畫兩體糾纏最好的度量方法[14].首先,根據(jù)兩量子比特混合態(tài)密度矩陣ρi,j構(gòu)建一個(gè)自旋翻轉(zhuǎn)矩陣

當(dāng)C=0時(shí),系統(tǒng)沒有兩體糾纏;當(dāng)C＞0時(shí),系統(tǒng)存在兩體糾纏.

2002年5月,Meyer和Wallach定義了Q測(cè)量函數(shù)來對(duì)整體糾纏進(jìn)行幾何度量,并且討論了Q測(cè)量函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).Q測(cè)量函數(shù)定義如下[15,16]:

2003年,Brennen[17]將Meyer-Wallach Q測(cè)量函數(shù)做了進(jìn)一步的推廣,得出如下形式:

其中ρk是對(duì)除第k個(gè)量子比特外的所有量子比特進(jìn)行部分求跡后的約化密度矩陣.表征整體糾纏的Q測(cè)量函數(shù)的取值范圍為0≤Q≤1,當(dāng)且僅當(dāng)|ψ〉為乘積態(tài)(product state)時(shí)Q測(cè)量函數(shù)為0.當(dāng)Q測(cè)量函數(shù)等于1時(shí),說明系統(tǒng)中單個(gè)量子比特與剩余量子比特間的整體糾纏最大[18].

3 一維傾斜場(chǎng)伊辛模型

如圖1所示,本文考慮L個(gè)自旋為1/2的一維傾斜場(chǎng)伊辛模型[13],我們考慮x-z平面內(nèi)的傾斜磁場(chǎng),其哈密頓量可以寫為

其中J為自旋耦合系數(shù),B為外加磁場(chǎng),L為系統(tǒng)的自旋粒子數(shù),θ決定外場(chǎng)方向,和是Pauli矩陣.這里對(duì)于自旋鏈,采用周期邊界條件,即=(i=x,z).當(dāng)θ=0時(shí),外加磁場(chǎng)方向與自旋方向相同,此時(shí)模型是可積的[13],并且系統(tǒng)能級(jí)是高度簡(jiǎn)并的.當(dāng)θ=90?時(shí),外加磁場(chǎng)方向與自旋方向垂直,稱為橫場(chǎng)伊辛模型,此時(shí)模型也是可積的,并且可以利用Jordan-Wigner變換[19,20]來對(duì)橫場(chǎng)伊辛模型進(jìn)行求解.當(dāng)0＜θ＜90?時(shí),模型是不可積的[13].本文對(duì)一維傾斜場(chǎng)伊辛模型在可積情況和不可積情況下的兩體糾纏及整體糾纏進(jìn)行討論.

圖1 自旋為1/2的一維傾斜場(chǎng)伊辛模型,考慮x-z平面內(nèi)的傾斜磁場(chǎng),自旋鏈滿足周期邊界條件

首先,我們考慮一維傾斜場(chǎng)伊辛模型基態(tài)的糾纏特性.圖2中紅色虛線描述的是近鄰兩量子比特之間的糾纏特性,用并發(fā)度來度量,本文中的并發(fā)度考慮的是近鄰情況下的兩體糾纏,即兩量子比特混合態(tài)密度矩陣ρi,j可以表示為ρi,i+1情況時(shí)所對(duì)應(yīng)的并發(fā)度;藍(lán)色實(shí)線描述了每個(gè)量子比特與剩余量子比特之間的糾纏特性,用Q測(cè)量函數(shù)來度量.當(dāng)用并發(fā)度來刻畫系統(tǒng)的相變情況時(shí),可以發(fā)現(xiàn),隨著磁場(chǎng)傾角的增大,對(duì)應(yīng)于發(fā)生相變時(shí)的磁場(chǎng)強(qiáng)度會(huì)減小.另外,Q測(cè)量函數(shù)隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加由1逐漸減小,最后趨近于0.而且還可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度增大到某值后,并發(fā)度會(huì)大于Q測(cè)量函數(shù)的值,說明此時(shí)系統(tǒng)中的兩體糾纏較大,整體糾纏會(huì)隨著磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的增大而減小.圖2中比較特殊的是磁場(chǎng)傾角θ=0時(shí)的情況,此時(shí)磁場(chǎng)方向與粒子自旋方向相同,而且系統(tǒng)是可積的.可以看到,在這種特殊情況下并發(fā)度始終為0,說明系統(tǒng)中始終不存在兩體糾纏.而Q測(cè)量函數(shù)會(huì)在磁場(chǎng)強(qiáng)度B=2時(shí)馬上變?yōu)?,而且在磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)B＞2以后,Q測(cè)量函數(shù)會(huì)一直為0,說明系統(tǒng)中的整體糾纏也會(huì)消失.

圖2 系統(tǒng)基態(tài)并發(fā)度C(紅色虛線)和Q測(cè)量函數(shù)(藍(lán)色實(shí)線)與外加磁場(chǎng)B的關(guān)系,磁場(chǎng)方向分別取θ=0,θ=π/6,θ=π/3,θ=π/2,耦合系數(shù)J=1,系統(tǒng)粒子數(shù)L=8

進(jìn)一步,我們研究并發(fā)度和Q測(cè)量函數(shù)在一維傾斜場(chǎng)伊辛模型中的動(dòng)力學(xué)特性.選取自旋相干態(tài)|1〉?L為系統(tǒng)的初態(tài),其中|1〉表示粒子自旋向上,L表示粒子數(shù)目.從而得到初態(tài)的時(shí)間演化是 |ψ(t)〉=exp(-iHt)|ψ(0)〉,相應(yīng)的密度矩陣為ρ =|ψ(t)〉〈ψ(t)|.

在確定耦合系數(shù)J=1,磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)B=1及自旋粒子數(shù)目L=8的條件下,我們計(jì)算并發(fā)度和Q測(cè)量函數(shù)的時(shí)間演化.圖3給出了磁場(chǎng)傾角分別為θ=0,θ=π/6,θ=π/3,θ=π/2情況下并發(fā)度的動(dòng)力學(xué)演化曲線.當(dāng)磁場(chǎng)傾角為θ=0或θ=π/2時(shí),系統(tǒng)是可積的;當(dāng)磁場(chǎng)傾角分別為θ=π/6和θ=π/3時(shí)系統(tǒng)是不可積的.由圖3可以發(fā)現(xiàn),在不可積情況下,并發(fā)度在最初得到最大值后會(huì)迅速減小直至為零,此時(shí)系統(tǒng)沒有兩體糾纏.并且可以發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)處在不可積情況下,系統(tǒng)會(huì)長(zhǎng)時(shí)間沒有兩體糾纏.而當(dāng)系統(tǒng)可積時(shí),一般情況下具有兩體糾纏,只有很短的時(shí)間內(nèi)沒有兩體糾纏.

圖3 磁場(chǎng)傾斜角度不同情況下,并發(fā)度隨時(shí)間的動(dòng)力學(xué)演化曲線 系統(tǒng)參數(shù)取值分別為J=1,B=1,L=8

圖4給出了磁場(chǎng)傾角分別為θ=0,θ=π/6,θ=π/3,θ=π/2情況下Q測(cè)量函數(shù)的動(dòng)力學(xué)演化曲線.同樣,當(dāng)磁場(chǎng)傾角為θ=0或θ=π/2時(shí),系統(tǒng)是可積的;當(dāng)磁場(chǎng)傾角分別為θ=π/6和θ=π/3時(shí)系統(tǒng)是不可積的.由圖可以發(fā)現(xiàn),在不可積情況下,由Q測(cè)量函數(shù)表征的系統(tǒng)的整體糾纏最初由0迅速取得最大值,而且在隨后的演化過程中整體糾纏的幅度變化不大.而在系統(tǒng)可積的情況下,整體糾纏的變化幅度明顯比不可積的情況下要大.

對(duì)比圖3和圖4可以得到這樣的結(jié)論:在系統(tǒng)參數(shù)相同的情況下,并發(fā)度為0或較小時(shí),系統(tǒng)的整體糾纏通常都處在較大值.并且可以說明在一維傾斜場(chǎng)伊辛模型中,不可積性會(huì)抑制兩體糾纏,但卻會(huì)促進(jìn)系統(tǒng)整體糾纏生成.

圖4 磁場(chǎng)傾斜角度不同情況下,Q測(cè)量函數(shù)隨時(shí)間的動(dòng)力學(xué)演化曲線 系統(tǒng)參數(shù)取值分別為J=1,B=1,L=8

圖5和圖6更全面地考慮了磁場(chǎng)傾角和磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)對(duì)并發(fā)度及Q測(cè)量函數(shù)的影響,并且可以看出在足夠長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)平均值的穩(wěn)定性變化.這里考慮粒子數(shù)L=8(更多自旋粒子數(shù)目時(shí)與8自旋粒子情況本質(zhì)上是相同的),耦合系數(shù)J=1時(shí),200次時(shí)間演化過程.由圖5可以看到,當(dāng)取磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)B=1時(shí),隨著磁場(chǎng)傾角的增大,最初系統(tǒng)并發(fā)度的時(shí)間平均值有極小的增加,而后迅速減小,在減小到一定值后,并發(fā)度的時(shí)間平均值又有了極小幅度的增加,并且在磁場(chǎng)傾角為θ=π/2時(shí),并發(fā)度的時(shí)間平均值取到了一個(gè)較大值.當(dāng)取磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)B=2時(shí),隨著磁場(chǎng)傾角的增大,最初系統(tǒng)并發(fā)度的時(shí)間平均值迅速減小,減小到一定值后又開始震蕩增大,在磁場(chǎng)傾角為θ=π/2時(shí),系統(tǒng)并發(fā)度的時(shí)間平均值取到了最大值.由圖6可以看到,在磁場(chǎng)強(qiáng)度不變的情況下,隨著磁場(chǎng)傾角的增大,Q測(cè)量函數(shù)的時(shí)間平均值會(huì)先增大而后又減小.而磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)B=2的情況下,Q測(cè)量函數(shù)的時(shí)間平均值的增大和減小的幅度都大于磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)B=1的情況.最后可以知道,系統(tǒng)的不可積性使Q測(cè)量函數(shù)的時(shí)間平均值增大,相反會(huì)使并發(fā)度的時(shí)間平均值減小.同樣說明了在一維傾斜場(chǎng)伊辛模型中,不可積性會(huì)抑制兩體糾纏,而相反會(huì)促進(jìn)系統(tǒng)整體糾纏生成.

圖5 磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為B=1,B=2時(shí),系統(tǒng)并發(fā)度的時(shí)間平均值隨磁場(chǎng)傾斜角度變化的演化曲線,參量取值分別為J=1,L=8

圖6 磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為B=1,B=2時(shí),系統(tǒng)Q測(cè)量函數(shù)的時(shí)間平均值隨磁場(chǎng)傾斜角度變化的演化曲線,參量取值分別為J=1,L=8

4 結(jié)論

本文對(duì)一維傾斜場(chǎng)伊辛模型中的量子糾纏特性進(jìn)行了討論,運(yùn)用了并發(fā)度和Q測(cè)量函數(shù)對(duì)系統(tǒng)的兩體糾纏和整體糾纏進(jìn)行度量.

1)由系統(tǒng)基態(tài)的糾纏特性曲線發(fā)現(xiàn),隨著磁場(chǎng)傾角的增大,并發(fā)度所刻畫的系統(tǒng)相變情況發(fā)生變化.隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增大,Q測(cè)量函數(shù)由最大值1逐漸減小,隨后會(huì)趨近于0;并發(fā)度由0先增大后減小.在磁場(chǎng)傾角為0時(shí),情況比較特殊,系統(tǒng)始終不存在兩體糾纏,而Q測(cè)量函數(shù)會(huì)在磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)B=2時(shí)突然由最大值1變?yōu)?,說明系統(tǒng)的整體糾纏也消失了.

2)選取自旋相干態(tài)|1〉?L為系統(tǒng)的初態(tài),得到初態(tài)的時(shí)間演化(模型中參數(shù)分別取耦合系數(shù)J=1,外場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)B=1及粒子數(shù)目L=8).可以發(fā)現(xiàn)在一維傾斜場(chǎng)伊辛模型中,不可積性會(huì)抑制兩體糾纏,但卻會(huì)促進(jìn)系統(tǒng)整體糾纏生成.

3)在一維傾斜場(chǎng)伊辛模型中,考慮并發(fā)度和Q測(cè)量函數(shù)的時(shí)間平均值隨磁場(chǎng)傾角的演化曲線,進(jìn)一步說明了不可積性會(huì)抑制兩體糾纏,但卻會(huì)促進(jìn)系統(tǒng)整體糾纏生成.

今后以一維傾斜場(chǎng)伊辛模型為基礎(chǔ)還有很多有意義的問題可以考慮,我們可以考察系統(tǒng)的不可積性對(duì)非近鄰兩體糾纏的影響,或系統(tǒng)的不可積性對(duì)量子關(guān)聯(lián)的影響.還可以考慮其他種類多體糾纏的情況,例如真實(shí)多體糾纏[21-23](genuine multipartite entanglement).

[1]Lakshminarayan A,Subrahmanyam V 2003 Phys.Rev.A 67052304

[2]Gu B J,Ye B,Xu W B 2008 Acta Phys.Sin.57695(in Chinese)[顧斌杰,葉賓,須文波2008物理學(xué)報(bào)57695]

[3]Ye B,Gu R J,Xu W B 2007 Acta Phys.Sin.563718(in Chinese)[葉賓,谷瑞軍,須文波2007物理學(xué)報(bào)563718]

[4]Scott A J,Caves C 2003 J.Phys.A 369553

[5]Wang X,Ghose S,Sanders B C,Hu B 2004 Phys.Rev.E 70016217

[6]Santos L F,Rigolin G,Escobar C O 2004 Phys.Rev.A 69042304

[7]Lakshminarayan A,Subrahmanyam V 2005 Phys.Rev.A 71062334

[8]Song L J,Yan D,Gai Y J,Wang Y B 2011 Acta Phys.Sin.60020302(in Chinese)[宋立軍,嚴(yán)冬,蓋永杰,王玉波2011物理學(xué)報(bào) 60020302]

[9]Wang X Q,Ma J,Zhang X H,Wang X G 2011 Chin.Phys.B 20050510

[10]Wang X Q,Ma J,Song L J,Zhang X H,Wang X G 2010 Phys.Rev.E 82056205

[11]Qin M 2010 Acta Phys.Sin.592216(in Chinese)[秦猛2010物理學(xué)報(bào)592216]

[12]Yang Y,Wang A M 2013 Acta Phys.Sin.62130305(in Chinese)[楊陽,王安民2013物理學(xué)報(bào)62130305]

[13]KarthikJ,SharmaA,LakshminarayanA2007Phys.Rev.A75022304

[14]Wootters W K 1998 Phys.Rev.Lett.802245

[15]Meyer D A,Wallach N R 2002 J.Math.Phys.434273

[16]Scott A J 2004 Phys.Rev.A 69052330

[17]Brennen G K 2003 Quantum Information and Computation(Vol.3)(Berlin:Springer)pp619–626

[18]Castro C S,Sarandy M S 2011 Phys.Rev.A 83042334

[19]Jordan P,Wigner E 1928 Z.Phys.47631

[20]Sachdev S 1999 Quantum Phase Transitions(London:Cambridge U-niversity Press)p46

[21]Ma Z H,Chen Z H,Chen J L 2011 Phys.Rev.A 83062325

[22]Chen J L,Deng D L,Su H Y,Wu C F,Oh C H 2011 Phys.Rev.A 83022316

[23]Deng D L,Gu S J,Chen J L 2010 Annals Phys.325367