李成強(qiáng)1)2)? 張合勇1)王挺峰1)劉立生1)2)郭勁1)

1)(中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,激光與物質(zhì)相互作用國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)春 130033)

2)(中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

1 引言

長(zhǎng)久以來(lái),激光相干特性和激光束的方向性被認(rèn)為是直接關(guān)聯(lián)的.然而,在1970年前后,理論和實(shí)驗(yàn)證明激光束方向性好并不意味著空間相干性高,這一發(fā)現(xiàn)引起了對(duì)部分相干光源的研究熱潮[1].在部分相干光源中,有一種比較特殊的光源被稱為高斯-謝爾源,因?yàn)樵摴庠串a(chǎn)生的光束遠(yuǎn)場(chǎng)光場(chǎng)強(qiáng)度分布和完全相干高斯光束一樣[2].相干光在湍流介質(zhì)中傳輸時(shí),湍流會(huì)增加波前的隨機(jī)性,使相干光以部分相干光的形式存在[3].另外,激光器自身因素往往造成激光束以多模的形式存在,多模激光輻射以部分相干的高斯-謝爾模型(GSM)光束形式存在[4].因此,對(duì)部分相干光的研究具有一定的實(shí)際意義.鑒于激光的應(yīng)用需求,有必要闡明部分相干光源在湍流介質(zhì)中的傳輸特性.目前的研究工作側(cè)重于分析湍流介質(zhì)對(duì)激光強(qiáng)度分布、空間相干性和偏振特性的影響[5-14].橫向相干長(zhǎng)度(相關(guān)長(zhǎng)度)是空間相干性的直接反映,因此,對(duì)相干長(zhǎng)度變化的研究有助于理解激光傳輸時(shí)空間相干特性及偏振特性的變化.Wu和Boardman[15]分析了相干長(zhǎng)度、光源尺度同量級(jí)的GSM光束的傳輸特性,研究結(jié)果表明,光束在真空中傳輸時(shí),其橫向相干長(zhǎng)度會(huì)緩慢增加,而在湍流中的傳輸會(huì)造成橫向相干長(zhǎng)度的減小.Friberg和Sudol[9]討論了GSM光束在真空中傳輸時(shí)空間相干特性的變化,研究發(fā)現(xiàn)對(duì)于GSM光束,在真空中傳輸時(shí)橫向相干長(zhǎng)度與光斑尺度比值恒定不變.為保證部分相干光源的部分相干性,通常相干長(zhǎng)度比光源尺度具有更小數(shù)量級(jí)[16],且研究大氣湍流對(duì)相干長(zhǎng)度的影響有必要排除光源擴(kuò)展的影響.Friberg在討論相干長(zhǎng)度的變化時(shí),雖排除了光源擴(kuò)展的影響,但文章只討論了光束的真空傳輸.出于應(yīng)用需求考慮,有必要對(duì)湍流中部分相干光的傳輸做進(jìn)一步分析.

本文以GSM光束為對(duì)象,根據(jù)廣義惠更斯-菲涅耳原理推導(dǎo)出該光束傳輸時(shí)的交叉譜密度函數(shù)表達(dá)式,并根據(jù)該表達(dá)式分析了GSM光束傳輸時(shí)橫向相干長(zhǎng)度的變化情況,討論了光源參數(shù)和湍流介質(zhì)對(duì)橫向相干長(zhǎng)度變化所起的作用.在研究大氣湍流對(duì)相干長(zhǎng)度的影響時(shí),為排除光源擴(kuò)展的影響,分析了GSM光束在湍流介質(zhì)中傳輸時(shí)橫向相干長(zhǎng)度與光斑尺度的比值,由此得出有助于部分相干光大氣傳輸理論分析和實(shí)驗(yàn)的一些推論.

2 理論分析

將光場(chǎng)視為隨機(jī)場(chǎng)u(r,ω),該隨機(jī)場(chǎng)可以用平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程理論進(jìn)行分析,其交叉譜密度函數(shù)定義為[5]

式中星號(hào)表示復(fù)共軛,尖括號(hào)表示系宗平均.對(duì)于給定的光源交叉譜密度W(0)(ρ1,ρ2;ω),根據(jù)廣義惠更斯-菲涅爾原理可以得到任意平面(z=const)上T1=(r1,z＞0),T2=(r2,z＞0)兩點(diǎn)處的交叉譜密度函數(shù)[5]:

上式中,〈···〉m記為湍流介質(zhì)的統(tǒng)計(jì)平均,并對(duì)其做如下近似[17]:

其中M為

式中Φn(κ)為折射率波動(dòng)的功率譜,本文選用Tatarski譜[5]:

其中l(wèi)0,L0分別表示湍流內(nèi)尺度和外尺度,為折射率結(jié)構(gòu)常數(shù).

現(xiàn)在考慮具有高斯型光強(qiáng)分布和相干性分布的高斯-謝爾源產(chǎn)生的隨機(jī)光場(chǎng).光源面處交叉譜密度可表示為[18]上式中,參數(shù)I0及σ0,δ0分別為光源的光強(qiáng)、光斑尺度和相干長(zhǎng)度.一般來(lái)說(shuō),為了保證光束具有部分相干特性,相干長(zhǎng)度δ0的值要比光斑尺度σ0小得多,通常它們不在一個(gè)數(shù)量級(jí)上[16].

將(5)式及(3)式代入(2)式,可得

對(duì)上式進(jìn)行冗長(zhǎng)的積分運(yùn)算,可得高斯-謝爾光束傳輸時(shí)交叉譜密度函數(shù)W(r1,r2,z;ω)的表達(dá)式:

上述表達(dá)式在交叉譜密度定義及湍流理論的基礎(chǔ)上,經(jīng)過(guò)相應(yīng)數(shù)學(xué)自主運(yùn)算而獲得,其中相應(yīng)參數(shù)如下:

復(fù)相干度的表達(dá)式[19]:

將(7)式代入(8)式整理可得:

考慮復(fù)相干度的幅值,令

傳輸路徑上,平面z≥0處的光強(qiáng)度為

據(jù)此,可得

通過(guò)自主推導(dǎo)的交叉譜密度函數(shù)表達(dá)式,可得相干長(zhǎng)度和光斑尺度的平方,計(jì)算得相干長(zhǎng)度的平方為

光斑尺度的平方為

光束在真空中傳輸時(shí),光斑尺度為

由上式可以看出,真空傳輸時(shí)光束擴(kuò)展與σ0,δ0有關(guān),光束擴(kuò)展快慢主要由δ0決定.相干長(zhǎng)度與光斑大小的比值α2[9]:

由(15)式可以看出,相干長(zhǎng)度與光斑尺度的比值α與光源參數(shù)、湍流強(qiáng)度及傳輸距離有關(guān),真空傳輸時(shí),比值α為一確定值,這與Friberg研究GSM光束真空傳輸所得結(jié)果一致.但Friberg未對(duì)湍流中的光傳輸予以討論,本文將對(duì)這一傳輸問(wèn)題進(jìn)行分析.

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與分析

通過(guò)表達(dá)式(13)可以看出,光源參數(shù)和湍流因素同時(shí)影響光傳輸時(shí)相干長(zhǎng)度的變化.本文將對(duì)具有不同光源參數(shù)的光束在不同湍流條件下的傳輸進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,并給出理論分析.數(shù)值計(jì)算時(shí)參數(shù)的選取:湍流內(nèi)尺度l0=5 mm,波數(shù)k=2π/λ=107.

圖1為光束在真空中傳輸時(shí)相干長(zhǎng)度和光斑尺度的變化.圖1(a),(c)表明真空中傳輸時(shí),對(duì)確定光源,相干長(zhǎng)度和光斑大小隨傳輸距離線性增加;圖1(a),(b)反映了真空中光源參數(shù)對(duì)相干長(zhǎng)度的影響,相干長(zhǎng)度隨傳輸距離變化的快慢與光源大小有關(guān),光源尺度σ0越大,相干長(zhǎng)度增加越慢;圖1(c),(d)則反映了光源參數(shù)對(duì)光源擴(kuò)展的影響,光源擴(kuò)展的快慢主要由光源相干長(zhǎng)度δ0決定,相干長(zhǎng)度小的光源擴(kuò)展快.

圖2為光束在湍流中傳輸時(shí),相干長(zhǎng)度和光斑尺度隨傳輸距離的變化.在湍流中,光源尺度及湍流強(qiáng)度對(duì)相干長(zhǎng)度的影響較大,而光源相干性影響較小.由圖2(a),(e)可以看出,湍流中相干長(zhǎng)度在傳輸距離較短時(shí)基本為線性增加,當(dāng)傳輸距離較大時(shí),相干長(zhǎng)度隨著傳輸距離的增加而緩慢減小.對(duì)光束擴(kuò)展的分析表明,湍流和光源相干性影響較大,而光源尺度對(duì)湍流中光束擴(kuò)展影響較小.圖2(d),(f)表明光源相干性越差、湍流越強(qiáng),傳輸過(guò)程中光束擴(kuò)展越嚴(yán)重.通過(guò)以上分析可知,相干長(zhǎng)度的變化受到光源參數(shù)和湍流強(qiáng)度的共同影響,其中光源參數(shù)的影響體現(xiàn)在光束擴(kuò)展上.因此單純地分析相干長(zhǎng)度的變化不足以反映光源參數(shù)和大氣湍流對(duì)光傳輸?shù)挠绊?為排除光束擴(kuò)展的影響,將利用相干長(zhǎng)度和光斑尺度的比值進(jìn)行分析.

圖1 真空中相干長(zhǎng)度及光斑大小的變化(=0)(a)δ0=1 mm;(b)σ0=4 cm;(c)σ0=4 cm;(d)δ0=1 mm

圖3為光束在湍流中傳輸時(shí)相干長(zhǎng)度與光斑尺度的比值隨傳輸距離的變化,結(jié)果表明:光束在湍流中傳輸時(shí),對(duì)參數(shù)不同的光源,相干長(zhǎng)度和光斑大小的比值均會(huì)減小;真空傳輸時(shí),相干長(zhǎng)度與光斑尺度比值為確定值,而當(dāng)湍流存在時(shí),相干長(zhǎng)度與光斑尺度的比值同時(shí)受到光源參數(shù)和湍流強(qiáng)度的影響,該比值不再是一個(gè)確定的值;傳輸距離較小時(shí),由于湍流影響小,此時(shí)與真空傳輸類似,比值α變化很小,當(dāng)傳輸距離較大時(shí),湍流影響明顯,比值α隨傳輸距離的增加而下降.圖3(a)中=10-14m-2/3,δ0=1 mm,通過(guò)改變比值β改變光源尺度大小,發(fā)現(xiàn)α的值在光傳輸一段距離后趨于一致;圖3(b)中=10-14m-2/3,σ0=4 cm,通過(guò)改變比值β改變光源相干長(zhǎng)度大小,發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)光傳輸距離很遠(yuǎn)時(shí)α的值才有可能趨于一致;圖3(c)中光斑尺度與相干長(zhǎng)度比值不變,光傳輸一段距離后,相同位置處α的值會(huì)隨著光源尺度和相干長(zhǎng)度的增加而增大.如果將傳輸過(guò)程中α的值發(fā)生較大變化的位置記為zc,通過(guò)圖3(d)可以發(fā)現(xiàn),對(duì)確定的光源,zc的值會(huì)隨著湍流強(qiáng)度的增加而減小.

產(chǎn)生以上結(jié)果的主要物理原因是光束在湍流介質(zhì)中傳輸時(shí),光束波前會(huì)受到湍流影響,使波前隨機(jī)性增大,湍流越強(qiáng),光束的波前受到的影響也將越明顯,波前隨機(jī)性將削弱原有波前相位的關(guān)聯(lián)性,而光波前相位的關(guān)聯(lián)性直接影響光束的相干性.因此,光束在湍流介質(zhì)中傳輸時(shí)會(huì)因?yàn)橥牧鞯淖饔枚鹣喔尚韵陆?具有部分相干性的光束,其原有波前即具有一定的隨機(jī)性,但這種隨機(jī)性并不能減小湍流對(duì)光束現(xiàn)有波前的影響,因?yàn)橥牧餍?yīng)由湍流強(qiáng)度和傳輸距離共同決定,湍流引起的波前變化與光束原有波前相互獨(dú)立.光束在真空中傳輸時(shí),自由衍射引起光束擴(kuò)展,相干長(zhǎng)度的變化受光束擴(kuò)展影響而增加,這一點(diǎn)可以通過(guò)圖1看出.光束在大氣湍流中傳輸時(shí)相干屬性的變化由光源參數(shù)和湍流強(qiáng)度共同決定.當(dāng)光束在湍流介質(zhì)中傳輸距離較短時(shí),湍流作用很小,以至于對(duì)光束引起的波前隨機(jī)性可以忽略.光源參數(shù)對(duì)光傳輸?shù)挠绊懻加兄饕匚?在這一距離內(nèi)以自由衍射作用為主,光束擴(kuò)展引起相干長(zhǎng)度的增加,此時(shí)與自由空間傳輸類似,這一點(diǎn)可以由圖2(a),(e)看出.但隨著傳輸距離的增加,湍流效應(yīng)增強(qiáng)并造成相干長(zhǎng)度下降.

圖2 湍流中相干長(zhǎng)度及光斑大小的變化 (a),(b)10-14m-2/3,δ0=1 mm;(c),(d)=10-14m-2/3,σ0=3 cm;(e),(f)δ0=1 mm,σ0=4 cm

4 結(jié)論

本文以部分相干的GSM光束為對(duì)象,根據(jù)廣義惠更斯-菲涅耳原理推導(dǎo)出GSM光束傳輸時(shí)交叉譜密度函數(shù)的解析表達(dá)式.基于該表達(dá)式數(shù)值分析了大氣湍流對(duì)相干長(zhǎng)度的影響,并與真空中傳輸相干長(zhǎng)度的變化做了對(duì)比,發(fā)現(xiàn)GSM光束在真空中傳輸時(shí),影響相干長(zhǎng)度變化的因素為光源參數(shù),光束擴(kuò)展造成相干長(zhǎng)度增加,自由空間中光束擴(kuò)展是光束自由衍射的結(jié)果;而在大氣湍流中傳輸時(shí),相干長(zhǎng)度的變化受光源參數(shù)和湍流的共同影響,結(jié)果表明,在傳輸距離較短時(shí),光束傳輸特性與真空傳輸類似,相干長(zhǎng)度因?yàn)楣馐鴶U(kuò)展而增加,當(dāng)傳輸距離較大時(shí),湍流效應(yīng)增強(qiáng)引起相干長(zhǎng)度下降.因此,單純從相干長(zhǎng)度方面分析大氣湍流帶來(lái)的影響不夠完備.為排除光源擴(kuò)展的影響,本文利用相干長(zhǎng)度與光斑尺寸的比值進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)對(duì)參數(shù)不同的光源,大氣湍流均會(huì)造成比值的下降,但比值下降的快慢與光源參數(shù)和湍流強(qiáng)度有關(guān).上述結(jié)論不僅可以用于分析激光傳輸時(shí)的相干度問(wèn)題,還可以用于普通的電磁光束傳輸領(lǐng)域.

圖3 相干長(zhǎng)度與光斑大小的比值(β=σ0/δ0)(a)=10-14,δ0=1 mm;(b)=10-14m-2/3,σ0=4 cm;(c)=10-14m-2/3,β=30;(d)σ0=4 cm,β=40

[1]Shirai T,Wolf E 2002 Opt.Commun.20425

[2]Deschamps J,Courjon D,Bulabois J 1983 J.Opt.Soc.Am.73256

[3]Jian W 1990 J.Mod.Opt.37671

[4]Gase R 1991 J.Mod.Opt.381107

[5]Andrews L C 2005 Laser Beam Propagation through Random Media(Washington:SPIE)p67,pp500–510

[6]Clifford S E,Gracheva M E,Ishimaru A 1978 Laser Beam Propagation in the Atmosphere(New York:Springer)pp129–168

[7]Andrews L C 2001 Laser Beam Scintillation with Applications(Washington:SPIE)pp1–60

[8]Collett E,Wolf E 1978 Opt.Lett.227

[9]Friberg A T,Sudol R J 1983 Opt.Acta:Int.J.Opt.301075

[10]Salem M,Korotkova O,Dogariu A,Wolf E 2004 Waves in Random Media 14513

[11]Korotkova O,Salem M,Wolf E 2004 Opt.Commun.233225

[12]Cheng K,Lü B D 2009 Acta Phys.Sin.58250(in Chinese)[程科,呂百達(dá)2009物理學(xué)報(bào)58250]

[13]Ji X L,Li X Q 2009 Acta Phys.Sin.584624(in Chinese)[季小玲,李曉慶2009物理學(xué)報(bào)584624]

[14]Lü S Y,Lü B D 2009 Chin.Phys.B 183883

[15]Wu J,Boardman A D 1991 J.Mod.Opt.381355

[16]Mandel L,Wolf E 1995 Optical Coherence and Quantum Optics(Cambridge:Cambridge University Press)p279

[17]Roychowdhury H,Ponomarenko S A,Wolf E 2005 J.Mod.Opt.521611

[18]Lü B D 2003 Laser Optics:Beam Characterization,Propagation and Transformation,Resonator Technology and Physics(Beijing:Higher Education Press)p203(in Chinese)[呂百達(dá)2003激光光學(xué):光束描述,傳輸變換與光腔技術(shù)物理(北京:高等教育出版社)第203頁(yè)]

[19]Born M,Wolf E 2005 Principles of Optics(Cambridge:Cambridge University Press)p564

[20]Collett E,Wolf E 1980 Opt.Commun.3227

[21]Foley J T,Zubairy M S 1978 Opt.Commun.26297