李旭 張正娣 畢勤勝

(江蘇大學(xué)理學(xué)院,鎮(zhèn)江 212013)

1 引言

許多實(shí)際模型都會(huì)涉及到多時(shí)間尺度問(wèn)題[1,2],這種多時(shí)間尺度因素不僅來(lái)自于真實(shí)時(shí)間上的快慢效應(yīng),同時(shí)也可能來(lái)自于幾何尺寸上的尺度效應(yīng),還有諸如反應(yīng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)效應(yīng)、系統(tǒng)內(nèi)部的物理效應(yīng)等等,通過(guò)無(wú)量綱化后,在相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型中形成狀態(tài)變量在變化速率上的差異,此類系統(tǒng)也可稱為快慢耦合系統(tǒng).如Oregonator化學(xué)反應(yīng)模型中存在的不同量級(jí)反應(yīng)速度的催化和自催化過(guò)程[3];在生物細(xì)胞中,快速的代謝過(guò)程可以結(jié)合到很慢的遺傳變化上[4];各種飛行器涉及高速的旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)與相對(duì)較慢的平移動(dòng)力學(xué)的組合;其他還有諸如帶有飽和吸收器的激光系統(tǒng)[5,6]、神經(jīng)動(dòng)力學(xué)[7]等領(lǐng)域都會(huì)涉及多時(shí)間尺度問(wèn)題.一般來(lái)說(shuō),快慢系統(tǒng)的周期振蕩通常表現(xiàn)為由具有相對(duì)較大振幅的振蕩和近似簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微幅振蕩組合而成的,這種周期運(yùn)動(dòng)被稱為混合模態(tài)振動(dòng)[8,9],通常用符號(hào)LS表示,其中L和S分別表示每一周期運(yùn)動(dòng)內(nèi)大幅振動(dòng)和微幅振蕩的次數(shù),而連接快慢兩過(guò)程的行為一般被稱為簇發(fā).簇發(fā)現(xiàn)象在神經(jīng)元模型中已經(jīng)被廣泛研究,對(duì)于一般的光滑快慢系統(tǒng),Izhikevich[10]對(duì)低維情形下的各種簇發(fā)現(xiàn)象及其分岔機(jī)制做了很好的總結(jié),而對(duì)于高維系統(tǒng)和非光滑系統(tǒng)中的不同尺度效應(yīng)及其分岔機(jī)制,目前還有很多問(wèn)題值得研究.

作為一個(gè)經(jīng)典的混沌電路,蔡氏電路[11]由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單在實(shí)驗(yàn)中能很方便地加以搭建,同時(shí)也具有如陣發(fā)混沌[12]、加周期分岔[13]等非常豐富的動(dòng)力學(xué)行為,因而引起了廣泛的關(guān)注.為深入探討非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性及相應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理,許多學(xué)者基于經(jīng)典蔡氏電路,通過(guò)相應(yīng)的修改或擴(kuò)展,建立了一系列的廣義蔡氏電路,并取得了大量的成果.例如,Stouboulos等[14]和Kolipanos等[15]應(yīng)用蔡氏二極管替代非線性電阻建立了一個(gè)四階自治非線性電路,討論了其中混沌演化過(guò)程并解釋了由危機(jī)引起的間歇現(xiàn)象.

由于非光滑系統(tǒng)在分界面上會(huì)出現(xiàn)各種非常規(guī)分岔,尤其是多次穿越時(shí)可能會(huì)發(fā)生組合分岔,當(dāng)非光滑系統(tǒng)存在不同的時(shí)間尺度時(shí),這些相對(duì)比較特殊的非常規(guī)分岔,不僅可能影響系統(tǒng)沉寂態(tài)和激發(fā)態(tài)的形式,同時(shí)也可能使得沉寂態(tài)和激發(fā)態(tài)之間發(fā)生轉(zhuǎn)換,從而導(dǎo)致具有特殊行為的簇發(fā)振蕩.因此,深入探討非光滑系統(tǒng)中的不同尺度效應(yīng),對(duì)于揭示非光滑和多尺度兩種因素同時(shí)存在下系統(tǒng)的復(fù)雜性及其機(jī)理具有一定的理論意義.

本文重點(diǎn)關(guān)注非光滑系統(tǒng)中的不同尺度效應(yīng).基于蔡氏電路,建立了含分段線性非光滑因素的四階廣義蔡氏電路系統(tǒng);同時(shí),通過(guò)串聯(lián)一個(gè)周期變化的交變電流源并適當(dāng)選取參數(shù),使得電流源的周期變化頻率與系統(tǒng)的固有頻率之間存在量級(jí)上的差距,導(dǎo)致系統(tǒng)存在快慢兩不同兩時(shí)間尺度的耦合.通過(guò)其相應(yīng)的廣義自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及非光滑分界面上的分岔分析,結(jié)合轉(zhuǎn)換相圖,給出了兩種典型的對(duì)稱式Fold/Fold周期簇發(fā)和Fold/Hopf周期簇發(fā)現(xiàn)象,并揭示了兩類簇發(fā)振蕩的分岔機(jī)理.

2 數(shù)學(xué)模型

作為典型的第一類非光滑系統(tǒng),含有分段線性特性二極管的蔡氏振子(圖1)由于系統(tǒng)相對(duì)簡(jiǎn)單,同時(shí)具有豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象以及在實(shí)驗(yàn)室容易重現(xiàn)[16],一直是分析各種非線性特征的重要系統(tǒng)之一[17].基于各種廣義的蔡氏振子模型,得到了許多有價(jià)值的研究結(jié)果[18].

圖1 電路原理圖

為深入分析非光滑系統(tǒng)中的不同尺度效應(yīng),在此引入周期變化的交變電流源VG(圖1),其相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型可以表示為[19]

其中非線性電阻的伏安特性G(VC1)=P2VC1+(P1-P2)(|VC1+E0|-|VC1-E0|),周期變化電源特性VG=AGsin(?t),引入變化x=iL1/R1/E0,y=iL2R1/E0,u=VC1/E0,v=VC2/E0,t=,則(1)式可以表示為如下無(wú)量綱形式:

顯然,四維非線性系統(tǒng)(2)式在u=±1處存在著非光滑特征,同時(shí),當(dāng)系統(tǒng)的固有頻率與周期激勵(lì)頻率之間存在著量級(jí)差距時(shí),會(huì)產(chǎn)生不同尺度效應(yīng),導(dǎo)致諸如大幅振蕩和微幅振蕩聯(lián)合作用的多模態(tài)耦合振蕩行為[20].為深入揭示其中的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性,探討非光滑因素對(duì)其行為的影響,我們首先考察系統(tǒng)的各種分岔特性.

3 廣義平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

簇發(fā)振蕩過(guò)程中的沉寂態(tài)大都表現(xiàn)為圍繞平衡態(tài)的微幅振蕩,因此,從沉寂態(tài)到激發(fā)態(tài)的分岔行為基本上都是局部分岔,而周期激勵(lì)下的非自治系統(tǒng),通常表現(xiàn)為周期振蕩,不會(huì)存在嚴(yán)格意義下的不動(dòng)點(diǎn).為分析其相應(yīng)的沉寂態(tài)形式及其可能產(chǎn)生的分岔行為,進(jìn)而揭示簇發(fā)振蕩的機(jī)制,在此我們引入了廣義平衡點(diǎn)的概念.

注意系統(tǒng)中的周期激勵(lì)項(xiàng)w=Asin(?τ),設(shè)系統(tǒng)的固有頻率為ω,當(dāng)周期激勵(lì)頻率??ω時(shí),則在每一固有頻率的振動(dòng)周期時(shí)間段Ψ內(nèi),w變化很小,也就是說(shuō),在系統(tǒng)每一固有頻率振蕩周期Ψ內(nèi),即τ∈[T0,T0+Ψ],其中T0為開(kāi)始計(jì)時(shí)的起始點(diǎn),w雖然在wA=Acos?T0和wB=Acos?(T0+Ψ)之間變化,由于wA與wB非常接近,因此在每時(shí)間段Ψ內(nèi),w可以近似視為常數(shù),系統(tǒng)的行為則主要由w取wA和wB之間的某一近似常數(shù)時(shí)相應(yīng)的自治系統(tǒng)決定,而w的微小變化則起到調(diào)諧作用[21].因此在??ω時(shí),雖然整體w會(huì)在[-A,A]之間變化,而在每一考察的相對(duì)較短時(shí)間范圍內(nèi),w可以近似作為常數(shù),此時(shí)周期激勵(lì)下的非自治系統(tǒng)可以看作相應(yīng)的自治系統(tǒng),稱為廣義自治系統(tǒng),其相應(yīng)的平衡點(diǎn)則稱為廣義平衡點(diǎn).

令系統(tǒng)(2)中周期激勵(lì)項(xiàng)為w=Asin(?τ),A和?分別代表外激勵(lì)的振幅和頻率,則其相應(yīng)的廣義自治系統(tǒng)可以表示為

3.1 區(qū)域D0中的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

在區(qū)域D0中,系統(tǒng)僅存在一個(gè)平衡點(diǎn)E0=(m1/M,m2/M,m3/M,m4/M),其 中 M= α(βacβc-c-1),m1=c(a-1)w,m2=(a+c)w,m3=-(c+1)w,m4=(a-1)w,其穩(wěn)定性由其相應(yīng)的特征多項(xiàng)式?jīng)Q定,表示為

因此,當(dāng)參數(shù)滿足條件 a1＞0,a1a2-a3＞0,a3(a1a2-a3)-＞0時(shí),其相應(yīng)的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部,即平衡點(diǎn)E0為漸近穩(wěn)定的.

3.2 區(qū)域D±中的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

在兩區(qū)域D±中,系統(tǒng)均存在著惟一的平衡點(diǎn)E±=(n1/N,n2/N,n3/N,n4/N),其中

由于對(duì)稱性,其相應(yīng)的特征多項(xiàng)式相同,統(tǒng)一表示為

因此,當(dāng)參數(shù)滿足條件 b1＞0,b1b2-b3＞0,b3(b1b2-b3)-＞ 0時(shí),P±(λ)=0的所有解的實(shí)部均為負(fù)值,故E±是漸近穩(wěn)定的.

4 廣義自治系統(tǒng)的分岔分析

隨著參數(shù)的變化,不同子區(qū)域中的平衡點(diǎn)會(huì)失去穩(wěn)定性,產(chǎn)生不同的分岔行為,導(dǎo)致各種動(dòng)力學(xué)特性.為此,首先考察各區(qū)域中平衡點(diǎn)失穩(wěn)的分岔?xiàng)l件及其相應(yīng)的分岔模式.

4.1 區(qū)域D0中的平衡點(diǎn)的分岔

由特征多項(xiàng)式(4)可知,平衡點(diǎn)E0存在兩種失穩(wěn)模式,也即當(dāng)參數(shù)滿足條件

時(shí)存在單零特征值,可能會(huì)導(dǎo)致平衡點(diǎn)產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象;而當(dāng)參數(shù)滿足

時(shí)存在一對(duì)純虛根,可能產(chǎn)生Hopf分岔,導(dǎo)致周期振蕩行為.

4.2 區(qū)域D±中的平衡點(diǎn)的分岔

由于對(duì)稱性,D±中的平衡點(diǎn)具有相同的特征方程,因此也相應(yīng)地存在著相同的失穩(wěn)條件及其分岔模式.由(5)式可知,當(dāng)參數(shù)滿足

時(shí)存在單零特征值,可能會(huì)導(dǎo)致平衡點(diǎn)之間的跳躍現(xiàn)象;而當(dāng)參數(shù)滿足

時(shí)存在一對(duì)純虛根,可能產(chǎn)生Hopf分岔,導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生周期振蕩行為.

4.3 分界面上的非光滑分岔

下面著重分析系統(tǒng)在分界面Σ1,2處的分岔.考慮到系統(tǒng)(3)的向量場(chǎng)依然保持連續(xù)性,可以利用廣義Clarke導(dǎo)數(shù)得到一個(gè)廣義Jacobian矩陣,表示為

其中J0和J1分別表示分界面兩邊平衡點(diǎn)的特征矩陣,從而可得廣義Jacobian矩陣的特征方程為

通過(guò)輔助參數(shù)q,分界面兩邊的Jacobian矩陣光滑連接.取定參數(shù)

圖2(a)和(b)分別給出了參數(shù)c=0.1和c=0.2時(shí)廣義Jacobian矩陣J(±1)的特征值分布情況.

對(duì)于c=0.1,當(dāng)q=0.9219,其特征曲線在復(fù)平面上穿越原點(diǎn),其相應(yīng)的廣義Jacobian矩陣具有零特征值(圖2(a)),說(shuō)明當(dāng)系統(tǒng)軌跡穿越非光滑分界面時(shí),可能產(chǎn)生非常規(guī)Fold分岔.對(duì)于c=0.2,當(dāng)q=0.0004時(shí),其相應(yīng)的廣義Jacobian矩陣穿越純虛軸,即產(chǎn)生了一對(duì)純虛根,而當(dāng)q=0.401時(shí),其特征曲線又穿越原點(diǎn),即產(chǎn)生零特征值.這說(shuō)明,當(dāng)輔助參數(shù)q從0變化到1,也即軌跡穿越非光滑分界面,其廣義Jacobian矩陣會(huì)產(chǎn)生多次穿越分岔,該非常規(guī)分岔不僅具有Fold分岔的特征,同時(shí)也具有Hopf分岔的特征,也即非常規(guī)Fold/Hopf分岔.計(jì)算表明,此時(shí)與Hopf分岔相應(yīng)的振蕩頻率為0.9210.

圖2 隨輔助參數(shù)變化的廣義Jacobian矩陣特征曲線(a)c=0.1;(b)c=0.2

為描述非光滑分界面上的非常規(guī)分岔特性,下面結(jié)合分界面兩邊平衡點(diǎn)特性做示例說(shuō)明.表1分別給出了參數(shù)c=0.1和c=0.2時(shí),D0和D±區(qū)域中平衡點(diǎn)相應(yīng)的特征值.對(duì)于c=0.1,注意到在D0區(qū)域中不同的焦點(diǎn)E0穿越分界面到D±中的穩(wěn)定焦點(diǎn)E±時(shí),其中的特征值從正變?yōu)樨?fù),即穿越零點(diǎn),產(chǎn)生非常規(guī)Fold分岔.同樣對(duì)于c=0.2,兩邊的平衡點(diǎn)不僅穿越零點(diǎn),也要穿越虛軸,會(huì)產(chǎn)生Fold和Hopf的組合分岔,即非常規(guī)Fold/Hopf分岔.

表1 不同區(qū)域中平衡點(diǎn)的特征值及非光滑分岔

5 簇發(fā)振蕩及其機(jī)理分析

當(dāng)系統(tǒng)(2)中激勵(lì)項(xiàng)的頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率時(shí),系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生簇發(fā)振蕩現(xiàn)象,當(dāng)參數(shù)如(12)式取定時(shí),計(jì)算可知c=0.1的系統(tǒng)的固有頻率為ω1=0.964,而在c=0.2時(shí),其固有頻率為ω2=0.921,此時(shí)取激勵(lì)頻率?=0.02,顯然該頻率與系統(tǒng)的固有頻率之間存在著量級(jí)差距,因此會(huì)產(chǎn)生不同尺度耦合效應(yīng).圖3分別給出了在激勵(lì)幅值A(chǔ)=7.0下c=0.1和c=0.2時(shí)系統(tǒng)的相圖及其相應(yīng)的時(shí)間歷程.

從圖3可以看出,系統(tǒng)表現(xiàn)為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的周期振蕩,此時(shí)兩個(gè)頻率均參與系統(tǒng)的振蕩行為,呈現(xiàn)出快變振蕩與慢變振蕩交替進(jìn)行的典型快慢特征,也即周期簇發(fā)振蕩.

5.1 轉(zhuǎn)換相圖

為進(jìn)一步探討其中的分岔機(jī)制,在此我們引入轉(zhuǎn)換相圖的概念.所謂轉(zhuǎn)換相圖,指的是將系統(tǒng)的相軌跡投影到非真實(shí)狀態(tài)變量空間或平面中,如對(duì)于(3)式的周期激勵(lì)系統(tǒng),其軌跡可以表示為 (x,y,z)=(x1(τ),y1(τ),z1(τ)). 該軌跡可以在(x,y,z)三維空間或(x,y)等二維平面上投影,得到傳統(tǒng)的相圖,也可以向(x,w)或(y,w)等平面上投影,其中 w=Asin(?τ),其相應(yīng)的平面軌跡為 (x,w)=[x1(τ),Asin(?τ)]或 (y,w)=[y1(τ),Asin(?τ)]. 由于 w=Asin(?τ) 不是真實(shí)的狀態(tài)變量,此時(shí)稱 (x,w)=[x1(τ),Asin(?τ)]或(y,w)=[y1(τ),Asin(?τ)]等為轉(zhuǎn)換相圖.

圖3 簇發(fā)振蕩的相圖及時(shí)間歷程圖 (a)c=0.1;(b)c=0.2

5.2 對(duì)稱的Fold/Fold簇發(fā)振蕩

圖4給出了c=0.1時(shí)系統(tǒng)在(u,x)和(u,y)平面上的相圖,此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為典型的周期簇發(fā)振蕩.結(jié)合圖3中的空間結(jié)構(gòu)及其相應(yīng)的時(shí)間歷程圖可以看出,此時(shí)簇發(fā)振蕩存在著兩種不同的階段,一是相對(duì)平緩的運(yùn)動(dòng),對(duì)應(yīng)于簇發(fā)過(guò)程的沉寂態(tài)(quiescent state),二是相對(duì)劇烈的大幅振蕩,對(duì)應(yīng)于激發(fā)態(tài)(spiking state).

圖4 (a)u-x平面的相圖;(b)u-y平面的相圖

在簇發(fā)振蕩過(guò)程中存在兩種重要的分岔行為,也即從沉寂態(tài)到激發(fā)態(tài)的分岔以及從激發(fā)態(tài)到沉寂態(tài)的分岔.下面我們結(jié)合轉(zhuǎn)換相圖來(lái)分析兩種不同狀態(tài)之間的分岔連接過(guò)程.圖5給出了(w,u)平面上相應(yīng)的轉(zhuǎn)換相圖以及 dw/dτ與u之間的關(guān)系圖.

5.3 簇發(fā)振蕩機(jī)制

周期簇發(fā)振蕩的軌跡穿越了兩條分界面,注意到此時(shí)系統(tǒng)在不同區(qū)域的平衡點(diǎn)在廣義相平面(w,u)形成倒Z形曲線(見(jiàn)圖5(a)),其中在兩分界面之間的中間部分為不穩(wěn)定平衡點(diǎn),而在區(qū)域D±中為穩(wěn)定的焦點(diǎn)E±.以轉(zhuǎn)換相圖中的軌跡與非光滑分界面Σ1+的交點(diǎn)A1作為起點(diǎn),由上節(jié)的分析知當(dāng)輔助參數(shù)q=0.9219時(shí),廣義Jocabian具有零特征值,說(shuō)明系統(tǒng)在穿越非光滑分界面Σ1+可能會(huì)產(chǎn)生Fold分岔,同時(shí)從圖5(b)可以發(fā)現(xiàn),在A1點(diǎn)dw/dτ＜0,因此軌跡在穿越Σ1+時(shí)由Fold分岔導(dǎo)致軌跡從A1點(diǎn)向倒Z形曲線的下半支也即穩(wěn)定焦點(diǎn)E-跳躍.

圖5 對(duì)稱的Fold/Fold簇發(fā)機(jī)制 (a)w-u轉(zhuǎn)換相圖和對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)分岔以及非光滑分界面疊加;(b)與u的關(guān)系

注意到在區(qū)域D0沒(méi)有穩(wěn)定的平衡點(diǎn),所以軌跡會(huì)穿過(guò)D0區(qū)域.經(jīng)計(jì)算,系統(tǒng)在區(qū)域D0中的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的四個(gè)特征值分別為λ1=0.0076,λ2,3=-3.9788±1.064i,λ4=-1.8500,由于λ1在數(shù)值上相對(duì)較小,因此軌線從點(diǎn)A1到點(diǎn)A2的過(guò)程比較慢,這也可以從相應(yīng)的時(shí)間歷程得到證實(shí)(見(jiàn)圖3(a)).

當(dāng)軌跡穿過(guò)區(qū)域D0到達(dá)A2點(diǎn),也即非光滑分界面Σ1-上時(shí),雖然軌跡穿越Σ1-也可能會(huì)產(chǎn)生非常規(guī)Fold分岔,但是該分岔并未發(fā)生.

從圖5(b)可以發(fā)現(xiàn),軌跡在A1和A2產(chǎn)生的區(qū)別的主要原因在于在A1和A2點(diǎn)處均滿足dw/dτ＜0,也即軌跡在A1將通過(guò)分界面Σ1+進(jìn)入?yún)^(qū)域D0,而在A2點(diǎn)將通過(guò)Σ1-進(jìn)入?yún)^(qū)域D-,注意到區(qū)域D0中不存在穩(wěn)定的平衡點(diǎn),所以產(chǎn)生軌跡的跳躍現(xiàn)象,而在區(qū)域D-中,E-是穩(wěn)定的,這就使得軌跡直接趨于穩(wěn)定的E-,無(wú)法產(chǎn)生跳躍,導(dǎo)致潛在的Fold分岔沒(méi)有發(fā)生.

相應(yīng)地,由于軌跡在兩非光滑分界面Σ1±之間穿過(guò)D0區(qū)域,不會(huì)產(chǎn)生劇烈的振蕩行為,對(duì)應(yīng)著簇發(fā)振蕩中的沉寂態(tài),說(shuō)明從D+中的激發(fā)態(tài)通過(guò)A1點(diǎn)的Fold分岔進(jìn)入在D0區(qū)域中的沉寂態(tài).

軌跡從A2點(diǎn)開(kāi)始,在區(qū)域D-中運(yùn)動(dòng),在區(qū)域D-中的平衡點(diǎn)經(jīng)計(jì)算分別為=-0.0172±0.9644i,=-1.6828±0.4605i,也即存在一對(duì)實(shí)部絕對(duì)值非常小而虛部是常規(guī)量的共軛復(fù)特征根,注意到A2與倒Z形曲線平衡曲線的下半支存在一定的距離,當(dāng)軌跡從A2逐漸收斂到平衡曲線時(shí),會(huì)產(chǎn)生按照固有頻率且振蕩幅值減小很慢的逼近平衡曲線的振蕩過(guò)程,從而導(dǎo)致大幅振蕩行為,對(duì)應(yīng)于簇發(fā)過(guò)程中的激發(fā)態(tài).

系統(tǒng)軌跡最終會(huì)在D-區(qū)域中逐漸收斂于平衡曲線,當(dāng)軌跡到達(dá) A3時(shí) dw/dτ=0,隨后dw/dτ＞0,導(dǎo)致廣義狀態(tài)變量w的增加;當(dāng)軌跡到達(dá)Σ1-上的A4點(diǎn)時(shí),發(fā)生與在A1相同的Fold分岔行為,只是此時(shí)軌跡通過(guò)區(qū)域D0經(jīng)Σ1+上的A5點(diǎn)跳向區(qū)域D+中倒Z形曲線平衡曲線的上半支,并產(chǎn)生與D-區(qū)域中相同的振蕩行為.當(dāng)軌跡到達(dá)極點(diǎn)A6時(shí) dw/dτ=0,使得 dw/dτ變?yōu)樨?fù)值,曲線回到A1點(diǎn),完成一個(gè)周期振蕩過(guò)程.

w的變化過(guò)程其實(shí)也可以直接從其表達(dá)式中看出,注意到在w=Asin(?τ)中A=7.0,說(shuō)明w的值會(huì)在[-7.0,+7.0]區(qū)域中做光滑變化,而在w變化的一個(gè)周期T=2π/?=100π內(nèi),其軌跡會(huì)經(jīng)歷兩個(gè)沉寂態(tài)和兩個(gè)激發(fā)態(tài)過(guò)程,不同過(guò)程之間均由Fold分岔連接,產(chǎn)生對(duì)稱式的Fold/Fold簇發(fā),考慮到對(duì)稱性及平衡曲線上下支都是穩(wěn)定的焦點(diǎn),我們也稱之為對(duì)稱式焦/焦型Fold/Fold簇發(fā).

5.4 對(duì)稱的Fold/Hopf簇發(fā)振蕩

當(dāng)參數(shù)c=0.2時(shí),系統(tǒng)的行為會(huì)發(fā)生變化,圖6給出了空間軌跡(見(jiàn)圖3(b))在(u,x)和(u,y)平面上的投影,可以看出,此時(shí)系統(tǒng)仍做周期振蕩,但振蕩模式與上述對(duì)稱式焦-焦型Fold/Fold簇發(fā)的模式有所區(qū)別,主要體現(xiàn)在其激發(fā)態(tài)部分的極限環(huán)特征非常明顯.

圖6 (a)u-x平面的相圖;(b)u-y平面的相圖

5.5 簇發(fā)振蕩機(jī)制

圖7給出了(w,u)平面上相應(yīng)的轉(zhuǎn)換相圖以及dw/dτ與u之間的關(guān)系.注意到在c=0.2時(shí),廣義自治系統(tǒng)存在穩(wěn)定的極限環(huán),該極限環(huán)的產(chǎn)生與w的取值有關(guān).

假設(shè)系統(tǒng)軌跡仍從非光滑分界面Σ1+上的B1點(diǎn)出發(fā),由于此時(shí) dw/dτ＜0,系統(tǒng)軌跡必須穿過(guò)區(qū)域D0,而當(dāng)輔助參數(shù)q=0.401時(shí),廣義Jocabian矩陣存在零特征值,與上述分析相同,此時(shí)系統(tǒng)在非光滑分界面Σ1-上的點(diǎn)B1處發(fā)生了Fold分岔,發(fā)生跳躍現(xiàn)象,受D-中穩(wěn)定極限環(huán)的吸引,軌跡將穿過(guò)區(qū)域D0到達(dá)分界面Σ1-上的B2點(diǎn),在區(qū)域D0軌線主要受平衡點(diǎn)E0的影響.經(jīng)計(jì)算,軌線在區(qū)域D0所對(duì)應(yīng)的特征值為λ1=0.1165,λ2,3=-3.9759±1.0621i,λ4=-1.8648,由于λ1相對(duì)較小,因此軌線從點(diǎn)B1到點(diǎn)B2的過(guò)程比較慢,形成沉寂態(tài).系統(tǒng)從點(diǎn)B2開(kāi)始,軌線進(jìn)入?yún)^(qū)域D-.計(jì)算發(fā)現(xiàn),隨著w的變化,廣義自治系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生超臨界Hopf分岔,導(dǎo)致周期振蕩,此時(shí)雖然所產(chǎn)生的極限環(huán)是穩(wěn)定的,但由于w從本質(zhì)上說(shuō)不是系統(tǒng)參數(shù),而是一周期函數(shù),所以只會(huì)發(fā)生圍繞該極限環(huán)的振蕩.系統(tǒng)軌跡從B2開(kāi)始在D-內(nèi)運(yùn)動(dòng),由于w的變化,產(chǎn)生Hopf分岔,導(dǎo)致大幅的周期振蕩.當(dāng)軌跡到達(dá)w=-7的極值點(diǎn)B3時(shí),軌跡的振蕩幅值將逐步減小,直到分界面Σ1-上的B4,完成這部分的激發(fā)振蕩.由對(duì)稱性,同樣在B4會(huì)產(chǎn)生Fold分岔,使得軌跡穿過(guò)區(qū)域D0到達(dá)分界面Σ1+上的B5點(diǎn),在區(qū)域D+內(nèi)產(chǎn)生Hopf分岔,使得系統(tǒng)從沉寂態(tài)轉(zhuǎn)向激發(fā)態(tài),并與區(qū)域D-中的過(guò)程類似,軌跡最終回到B1點(diǎn),完成一個(gè)周期的簇發(fā)振蕩.

圖7 對(duì)稱的Fold/Hopf簇發(fā)機(jī)制 (a)w-u轉(zhuǎn)換相圖和對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)分岔以及非光滑分界面疊加;(b)與u的關(guān)系

在該簇發(fā)振蕩過(guò)程中,Fold分岔使得系統(tǒng)從激發(fā)態(tài)進(jìn)入沉寂態(tài),而Hopf分岔導(dǎo)致系統(tǒng)從沉寂態(tài)回到激發(fā)態(tài),同樣簇發(fā)振蕩具有對(duì)稱性.而與上述對(duì)稱式焦/焦型Fold/Fold簇發(fā)在不同焦點(diǎn)之間轉(zhuǎn)換不同,該簇發(fā)是在焦點(diǎn)和極限環(huán)之間轉(zhuǎn)換,因此我們稱之為對(duì)稱式點(diǎn)/環(huán)型Fold/Hopf簇發(fā).

6 結(jié)論

對(duì)于具有兩非光滑分界面的周期激勵(lì)下的廣義蔡氏電路,當(dāng)激勵(lì)頻率與系統(tǒng)的固有頻率之間存在量級(jí)差距時(shí),會(huì)產(chǎn)生快慢效應(yīng),導(dǎo)致簇發(fā)振蕩.通過(guò)廣義自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性,近似分析了其中諸如Fold和Hopf等不同分岔行為及其產(chǎn)生條件,進(jìn)而探討了各種參數(shù)下系統(tǒng)的振蕩特征,分析了不同沉寂態(tài)和激發(fā)態(tài)的產(chǎn)生原因及其相應(yīng)的分岔行為,得到了對(duì)稱式焦/焦型Fold/Fold型和對(duì)稱式的點(diǎn)/環(huán)Fold/Hopf型兩種簇發(fā)振蕩,并結(jié)合轉(zhuǎn)換相圖,考察了兩種簇發(fā)振蕩的特點(diǎn),揭示了不同簇發(fā)相應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理.

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