羅 毅，多靖赟

（華北電力大學(xué) 控制與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，北京 102206）

0 引言

電力系統(tǒng)無功優(yōu)化是指從優(yōu)化運(yùn)行的角度調(diào)整系統(tǒng)中各種無功控制設(shè)備的參數(shù)，在滿足節(jié)點(diǎn)正常功率平衡及各種安全指標(biāo)的約束下，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)最小化的過程［1］。它既是保證電力系統(tǒng)安全、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的有效手段之一，又是降低網(wǎng)絡(luò)損耗、提高電壓質(zhì)量的重要措施［2］。

無功優(yōu)化是一個(gè)多目標(biāo)、多約束、變量類型混合的非線性規(guī)劃問題。關(guān)于無功優(yōu)化的求解方法可分為傳統(tǒng)數(shù)學(xué)算法和現(xiàn)代啟發(fā)式算法。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法有非線性規(guī)劃法［3］、簡化梯度法［4］、內(nèi)點(diǎn)法［5］等，這類方法有一定的優(yōu)越性，但計(jì)算較為復(fù)雜，易陷入局部最優(yōu)解，且不便于處理離散變量。隨著人工智能的發(fā)展和計(jì)算機(jī)運(yùn)行速度的提高，越來越多的現(xiàn)代啟發(fā)式算法應(yīng)用于無功優(yōu)化中，如遺傳算法［6］、蟻群算法［7］、免疫算法［8］、粒子群算法［9-10］、搜索禁忌算法［11］、模擬退火算法［12］等，且都取得了一定的研究成果。量子計(jì)算因其強(qiáng)大的運(yùn)算能力，已經(jīng)成為世界各國緊密跟蹤的前沿研究領(lǐng)域之一。借鑒生物免疫系統(tǒng)原理而發(fā)展起來的免疫算法也已成為現(xiàn)代啟發(fā)式算法的一個(gè)研究熱點(diǎn)。結(jié)合量子計(jì)算機(jī)理和免疫克隆算子，本文提出了一種解決多目標(biāo)無功優(yōu)化問題的量子免疫克隆算法 QICA（Quantum Immune Colonial Algorithm）。該算法具有良好的并行性，搜索速度快，尋優(yōu)能力強(qiáng)，將全局搜索和局部尋優(yōu)有機(jī)結(jié)合，確保所得解集快速有效地從不可行域邊緣和可行域內(nèi)部向最優(yōu)Pareto前端逼近，而且可以有效防止退化現(xiàn)象的產(chǎn)生，是求解多目標(biāo)無功優(yōu)化問題的有效方法。

1 多目標(biāo)無功優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

本文選取有功網(wǎng)損PL最小、靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度VSM（Voltage Stability Margin）USM最大以及節(jié)點(diǎn)電壓平均偏移量ΔU最小作為目標(biāo)函數(shù)。

a.有功網(wǎng)損。

其中，NL為系統(tǒng)支路總數(shù)；δi、δj、Ui、Uj分別為節(jié)點(diǎn) i、j電壓的相角和幅值；Gk（i，j）為支路 k 的電導(dǎo)。

b.靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度。

選用收斂潮流雅可比矩陣的最小奇異值作為度量系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度的指標(biāo)［13］，即：

其中，JJacobi為收斂潮流雅可比矩陣，eig（JJacobi）為雅可比矩陣的特征值，為該矩陣最小特征值的模。

c.電壓平均偏移量。

1.2 約束條件

其中，T為可調(diào)變壓器的變比；Qc為無功補(bǔ)償電容器容量；Ug為發(fā)電機(jī)端電壓；U為各節(jié)點(diǎn)的運(yùn)行電壓；Qg為發(fā)電機(jī)注入無功；Timin（Timax）、Qcjmin（Qcjmax）、Ugkmin（Ugkmax）、Uimin（Uimax）、Qgkmin（Qgkmax）分別為以上變量所對(duì)應(yīng)的最?。ㄗ畲螅┲?。式（4）—（6）分別為系統(tǒng)潮流約束、控制變量約束、狀態(tài)變量約束。

1.3 多目標(biāo)函數(shù)解評(píng)價(jià)

多目標(biāo)函數(shù)之間存在相互矛盾性，所以很難找到一個(gè)解，同時(shí)使各目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)。傳統(tǒng)加權(quán)疊加比較的評(píng)價(jià)方法，對(duì)權(quán)重選取的依賴性很大，而且不能很好地反映各目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)劣性，本文采用目標(biāo)函數(shù)值與理想化目標(biāo)的接近程度來評(píng)價(jià)解的優(yōu)劣性，其操作如下。

若多目標(biāo)函數(shù) min（F）=min（f1，f2，f3，…，fc）存在一組可行解 x1、x2、…、xl。

a.構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)矩陣。

b.目標(biāo)函數(shù)矩陣歸一化處理。

c.求取理想化目標(biāo)。所謂理想化目標(biāo)即歸一化矩陣中各函數(shù)對(duì)應(yīng)的最小值。

d.評(píng)價(jià)各解的優(yōu)劣性。本文采用各目標(biāo)函數(shù)值與理想化目標(biāo)歐氏距離的大小來評(píng)價(jià)解的優(yōu)劣性，該距離越接近表明解越優(yōu)。

2 量子免疫克隆算法

2.1 克隆算子

在多目標(biāo)優(yōu)化問題中，Pareto前端上的所有點(diǎn)是同等優(yōu)秀的，為了保證在種群擴(kuò)張時(shí)，所得解在Pareto前端均勻分布，本文采用了自適應(yīng)克隆操作?？贵w的克隆規(guī)模依據(jù)擁擠距離［14］來自適應(yīng)地調(diào)整，即擁擠距離越大者，克隆規(guī)模就越大，被搜索的機(jī)會(huì)越多，其具體操作如下。

將抗體群 A（it）=｛W1，W2，W3，…，Wk｝中抗體 Wi以比例qi進(jìn)行克隆，其中qi為：

其中，it為當(dāng)前的進(jìn)化代數(shù)；round［·］表示取整為最近的整數(shù)；Nc為與克隆規(guī)模有關(guān)的設(shè)定值，本文取Nc=200；di為擁擠距離（具體形式參見文獻(xiàn)［14］）。

則克隆后的抗體群為：

2.2 量子重組算子

混沌變量在尋優(yōu)過程中具有隨機(jī)性、遍歷性以及規(guī)律性等特點(diǎn)。本文通過量子重組算子將Logistic映射［15］下的混沌序列用于量子抗體的尋優(yōu)過程中，使量子位在演化過程中呈現(xiàn)出混沌現(xiàn)象，進(jìn)而極大增加了算法的搜索能力，其操作如下：

其中，i=1，2，…，k；j=1，2，…，qi；Logistic（j）為 Logistic映射的第 j個(gè)序列值（具體形式參見文獻(xiàn)［15］）；b為抗體影響因子，取值范圍為［0.1，0.4］；v為混沌收縮因子，取值范圍為［0.1，0.3］；rand 表示生成 0～1之間的隨機(jī)數(shù)。

2.3 量子非門算子

為進(jìn)一步增進(jìn)種群的多樣性，抗體經(jīng)上述量子重組操作后，以變異概率pm隨機(jī)選擇一位或若干位進(jìn)行量子非門操作，本文取pm=0.5。該操作實(shí)現(xiàn)了對(duì)量子位概率幅的互換，使得原來取狀態(tài)0的概率變?yōu)槿顟B(tài)1的概率，或者相反。其具體操作如下：

其中，Q為量子位概率幅。

2.4 選擇更新算子

傳統(tǒng)免疫算法絕大多數(shù)依據(jù)親和度函數(shù)作為選擇方式，抗體親和度越大，越容易被選擇保留。在本算法中，一個(gè)抗體能否通過選擇進(jìn)入下一代，取決于該抗體是否為當(dāng)前代中的非支配抗體。當(dāng)進(jìn)化到達(dá)一定代數(shù)時(shí)，非支配抗體數(shù)目可能會(huì)有很多，而依據(jù)本算法的選擇策略，它們都將被選入下一代，這樣會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算速度變慢。為了避免該情況發(fā)生，本算法采用了抗體群更新操作。如果非支配抗體超過一定數(shù)目Nn，則可依據(jù)擁擠距離將Pareto前端上分布較為密集抗體刪除，既保證了運(yùn)算速度，也保證了所得解分布的均勻性［16］。

2.5 免疫疫苗

傳統(tǒng)免疫算法由于缺乏適當(dāng)措施，在尋優(yōu)過程中會(huì)出現(xiàn)大量劣解、甚至非可行解。為了有效地克服此類退化現(xiàn)象，本文引入了疫苗［17］的概念。選擇當(dāng)前代精英個(gè)體作為免疫疫苗保留，并于下一代量子非門操作完成后植入種群，從而在尋優(yōu)的過程中有效地克服了退化現(xiàn)象，保證種群向優(yōu)良模式進(jìn)化。

3 基于量子免疫克隆算法的無功優(yōu)化

3.1 抗體的編碼

本算法中的抗體采用量子位表示，一個(gè)量子位不僅可表示0、1這2個(gè)狀態(tài)，而且可以表示在0、1這 2個(gè)狀態(tài)間的任意狀態(tài)。若用n個(gè)量子位表示可調(diào)變壓器的變比T、m個(gè)量子位表示發(fā)電機(jī)端電壓Ug、l個(gè)量子位表示無功補(bǔ)償電容器容量Qc，則編碼后的每一個(gè)抗體可以描述為：

其中，αi、 βi（i=1，2，…，n+m+l）為復(fù)常數(shù)，表示第i個(gè)基因位取值0的概率，表示第i個(gè)基因位取值1的概率。

3.2 不等式約束處理

不等式約束將搜索空間劃分為可行域和不可行域2個(gè)部分，因此如何有效地利用不可行解顯得非常重要。傳統(tǒng)免疫算法未考慮到不可行解集，僅對(duì)可行解集進(jìn)行相應(yīng)的進(jìn)化計(jì)算。本算法有效利用部分接近可行域邊緣的不可行解，使尋優(yōu)過程分別從不可行域邊緣和可行域內(nèi)部向約束最優(yōu)Pareto前端逼近，從而保證了所得約束最優(yōu)解的較高質(zhì)量。

不等式約束 g（x）=（g1（x），g2（x），…，gh（x））≤0可轉(zhuǎn)化為一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，令：

對(duì)任意一個(gè)變量 x，若 fk+1（x）=0，則 x 滿足約束條件，為可行解；若 fk+1（x）＞0，則 x不滿足約束條件，為不可行解，并且fk+1（x）的數(shù)值越大，則x違反約束的程度越嚴(yán)重。因此，可采用如下處理方法：

b.以Pareto占優(yōu)的概念為依據(jù)，將可行解集Xf劃分為非Pareto占優(yōu)集和Pareto占優(yōu)集Ps；

d.分別對(duì)有益解集Qb和可行解集Xf進(jìn)行相應(yīng)的免疫克隆選擇操作，求得高質(zhì)量的Pareto最優(yōu)解。

3.3 算法流程

量子免疫克隆算法應(yīng)用于多目標(biāo)無功優(yōu)化的流程如圖1所示。

4 算例分析

為驗(yàn)證本算法的可行性，本文對(duì)IEEE 14節(jié)點(diǎn)測試系統(tǒng)進(jìn)行多目標(biāo)無功優(yōu)化計(jì)算。用MATLAB語言編制了系統(tǒng)潮流計(jì)算程序和量子免疫克隆算法。算法中相關(guān)參數(shù)的設(shè)置如下：抗體群規(guī)模為100，有益解集規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為50。算例中數(shù)據(jù)均為標(biāo)幺值。

圖1 基于量子免疫克隆算法的多目標(biāo)無功優(yōu)化流程Fig.1 Flowchart of multi-objective reactive power optimization based on quantum immune colonial algorithm

4.1 IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例

該系統(tǒng)包含3臺(tái)可調(diào)變壓器、5臺(tái)發(fā)電機(jī)（其中1號(hào)發(fā)電機(jī)為平衡節(jié)點(diǎn)）、1個(gè)無功補(bǔ)償點(diǎn)。各可調(diào)變壓器上下檔位數(shù)為±16，步進(jìn)量為0.625%，其變比范圍為0.9～1.1；各發(fā)電機(jī)端調(diào)壓范圍為0.95～1.05；無功補(bǔ)償點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)9）的無功補(bǔ)償上限為0.5，分段步長為0.1。

4.2 分析與比較

運(yùn)用本文算法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化評(píng)價(jià)，將該算法獨(dú)立運(yùn)行50次后選出有代表性的一組計(jì)算結(jié)果如表1所示。

圖2顯示了該次計(jì)算最終求得Pareto解的分布，其中方塊符表示決策最優(yōu)解。

表1 IEEE 14節(jié)點(diǎn)測試系統(tǒng)多目標(biāo)無功優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Results of multi-objective reactive power optimization for IEEE 14-bus test system

由表1和圖2可見，最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)與理想化目標(biāo)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)之間存在一定距離，這說明了多目標(biāo)無功優(yōu)化中各個(gè)目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)化的可能性很小，也驗(yàn)證了求解相互矛盾的多目標(biāo)函數(shù)只能根據(jù)實(shí)際情況從一個(gè)整體最優(yōu)化的角度求出可行解，而應(yīng)用本文所提出的歐氏距離來評(píng)價(jià)可行解的優(yōu)劣則可以較好地履行這一職責(zé)。

將本文算法獨(dú)立運(yùn)行50次后，求出所得最優(yōu)解的平均值，同時(shí)將該值與其他算法應(yīng)用于IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的結(jié)果進(jìn)行了比較，如表2所示。

圖2 算法Pareto解的分布Fig.2 Distribution of Pareto solutions

表2 算法優(yōu)化運(yùn)行結(jié)果比較Tab.2 Comparison of optimization results among algorithms

可見，本文提出的算法在多目標(biāo)無功優(yōu)化問題中應(yīng)用效果明顯，較免疫算法和改進(jìn)遺傳內(nèi)點(diǎn)算法［1］可更好地找出全局最優(yōu)解，進(jìn)而有效降低了網(wǎng)絡(luò)損耗，提高了電壓質(zhì)量。

5 結(jié)論

本文提出了一種量子免疫克隆算法，并將其應(yīng)用于求解電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題。該算法搜索速度快，尋優(yōu)能力強(qiáng)，并將全局搜索和局部尋優(yōu)有機(jī)結(jié)合，確保所得解集快速有效地從不可行域邊緣和可行域內(nèi)部向最優(yōu)Pareto前端逼近，而且可以有效防止退化現(xiàn)象的產(chǎn)生；以提高系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)性和安全性為前提，選用系統(tǒng)有功網(wǎng)損、節(jié)點(diǎn)電壓平均偏移量以及靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度3個(gè)指標(biāo)作為系統(tǒng)無功優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，通過對(duì)IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行測試計(jì)算，驗(yàn)證了該方法的可行性與有效性。