洪寶劍

(1.南京工程學院;2.江蘇大學)

0 引言

伴隨著現(xiàn)代社會的高速發(fā)展，數(shù)學知識的應用已經(jīng)深入到眾多的自然科學和社會科學領(lǐng)域.除了研究數(shù)學的專業(yè)人才之外，社會還需要大量會用數(shù)學知識來解決實際問題，去創(chuàng)造效益的人才，這個過程就是通常所說的數(shù)學建模.數(shù)學模型［1］是根據(jù)現(xiàn)實世界某一現(xiàn)象特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一種抽象簡化的數(shù)學結(jié)構(gòu).這些結(jié)構(gòu)可以是方程、公式，算法、表格、圖示等等.而數(shù)學建模就是運用數(shù)學的語言和方法建立數(shù)學模型.如何在大學數(shù)學教學中滲透數(shù)學建模思想，對于培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，提高學生的思維創(chuàng)新能力有重要作用.

數(shù)學建模是利用數(shù)學工具解決實際問題的動態(tài)過程，這就特別體現(xiàn)了“用數(shù)學”的思想.建立數(shù)學模型的方法有很多，比如運用概率論方法建立隨機模型［2］;運用微元法思想建立積分模型［3］;運用圖論思想建立網(wǎng)絡(luò)模型［4］等等.本文重點研究應用方程思想建立數(shù)學模型.

對于現(xiàn)實世界的變化，人們關(guān)注的往往是其變化速度以及所處位置隨時間的連續(xù)發(fā)展規(guī)律，其規(guī)律一般可以用微分方程(組)來表示，在現(xiàn)實社會中，又有許多變量是離散變化的，如人口數(shù)、生產(chǎn)周期與商品價格等，這時其規(guī)律就要用差分方程(組)表示，因此實際問題只要涉及“改變，變化，增加，減少，衰變”等等詞語的，都可嘗試用方程建立模型.如:投資、還貸、減肥、養(yǎng)老金、種群增長、疾病傳播、化學反應、污染控制、空間飛行、軍事戰(zhàn)斗等等實際問題，對這些動態(tài)過程建立數(shù)學模型，能夠表現(xiàn)這些過程的演變，并給出分析和預測.其中的連續(xù)模型適用于常微分方程和偏微分方程建模，離散模型適用于差分方程建模.下面以幾個例子做說明.

1 應用舉例

1.1 常微分方程建模

主要用于處理那些描述動態(tài)過程的狀態(tài)變量隨時間連續(xù)變化的實際問題.

例1 人口增長的邏輯斯蒂(Logistic)方程模型(一階常微分方程模型)18世紀末，英國人馬爾薩斯(Malthus)在研究了百余年的人口統(tǒng)計資料后認為，在人口自然增長的過程中，凈相對增長率(凈增長率比上總?cè)藬?shù))是常數(shù).出生率減去死亡率為凈增長率.在此假設(shè)下，推導出人口隨時間變化的數(shù)學模型，分析該模型的優(yōu)缺點，并進行改進.

解:據(jù)假設(shè)，在t到t+Δt時間段內(nèi)，人口的增長量為 N(t+Δt)-N(t)=rN(t)Δt，并設(shè) t0時刻的人口數(shù)為N(t0)，于是

用分離變量法易求出其解為:N(t)=N0er(t-t0)，這里r，N0可以通過統(tǒng)計歷史數(shù)據(jù)得到.此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長.這個公式非常準確地反映了在1700-1961年間世界人口總數(shù).但是，按此模型計算，到2670年，地球上將有36000億人口.這是非常荒謬的.因此，這一模型應該修改.考慮到地球上的所有資源只能供應一定數(shù)量的人生活，1838年荷蘭生物數(shù)學家韋爾侯斯特(Verhulst)引入常數(shù)Nm，用來表示自然環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù)，并且假設(shè)凈增長率等于r(1-N(t)/Nm)，由韋爾侯斯特假定，馬爾薩斯模型應改為

例2 導彈追蹤問題(二階常微分方程模型)

設(shè)敵艦在我艦正東方向d km處，行駛速度為v0km/min，行駛方向與正東方向的夾角為θ，導彈的飛行速度為v km/min.現(xiàn)根據(jù)情報，這種敵艦能在我艦發(fā)射導彈后T min做出反應并摧毀導彈.試問，如何改進電子導彈系統(tǒng)，使其根據(jù)敵艦與我艦的距離，行使方向和速度，能自動判斷出敵艦是否在有效打擊范圍之內(nèi).

解 問題的關(guān)鍵是計算出導彈擊中敵艦所需要的時間t*，并將t*與T比較，若t*＜T，則敵艦在打擊范圍內(nèi).我們?nèi)砸晕遗炍恢脼樽鴺嗽c，以正北方向為y軸建立坐標系，設(shè)t時刻導彈所處的位置為P(x(t)，y(t))，敵艦所處位置為 Q(d+v0tcosθ，v0tsinθ).如圖2 所示.

圖1 Logistic曲線

圖2 導彈追蹤問題

由于導彈頭始終對準敵艦，因此直線PQ是導彈運行軌跡OP在P點的切線，即

聯(lián)立方程(3)和(4)，消去t，再對方程兩邊對x求導，得到二階常微分方程

當P和Q兩點的運動曲線相遇時，導彈擊中敵艦.因此，若x*、y*滿足方程(5)且

則點(x*，y*)為導彈擊中敵艦的擊中點.再根據(jù)Q 點的表達式 Q(d+v0tcosθ，v0tsinθ)，可以計算出擊中時間若 t*＜T，則敵艦在打擊范圍內(nèi)，可以發(fā)射.

在現(xiàn)實生活中各式各樣的追擊問題，如狼追兔子，獅子捕殺鹿，導彈追蹤敵機等等追擊模型都可以歸結(jié)為二階微分方程模型.

1.2 差分方程建模

如果描述動態(tài)過程的狀態(tài)變量在離散時段上發(fā)生變化，這時就要考慮用差分方程建模.

例3 離散的人口增長模型.

假設(shè)人口的增長主要歸結(jié)為生育，以某一離散時段(如25歲)為周期進行生育.

解 不妨用yk表示第k代的人口數(shù)量，則得到下列模型

即為

其中r為固有增長率，N為最大容量.

若 yk=N，則 yk+1，yk+2，… =N，y*=N 是平衡點.

式(8)化為

這是一階非線性差分方程，無須求出xk，事實上，只要給出x0，利用數(shù)學軟件就可以遞推出xk.僅考慮平衡點:x=f(x)=bx(1-x)，則，因為f'(x*)=b(1-2x*)=2-b，當|f'(x*)|＜1時穩(wěn)定，當|f'(x*)|＞1時不穩(wěn)定.所以，當1＜b＜2或2＜b＜3時.當 b＞3時，xk不穩(wěn)定.如圖3-圖5所示.

圖3 1＜b＜2

圖4 2＜b＜3

圖5 b＞3

此外，以一定周期變化的實際問題都可以考慮采用差分方程建模，如:市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型，減肥計劃模型，養(yǎng)老保險模型，種群增長模型等等.

1.3 偏微分方程建模

在處理描述動態(tài)過程的狀態(tài)變量隨時間連續(xù)變化的實際問題時，如果考慮的自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上，這時就要考慮用偏微分方程建模.

例4 人口增長模型的再次修正.

Verhulst模型改進了馬爾薩斯的一些弊端，但它和馬爾薩斯模型都將生物群體中的每一個個體視為同等地位來對待的，這個原則只適用于低等動物，對于人類群體來說，必須考慮不同個體之間的差別，特別是年齡因素的影響.不考慮年齡因素就不能正確地把握人口的發(fā)展動態(tài).

解 人口的數(shù)量，出生率、死亡率等量不僅和時間有關(guān)，還應該和年齡有關(guān)，這時，得到用偏微分方程描述的人口模型:

其中，p(t，r)表示任意時刻t按年齡r的人口分布密度，μ(t，r)表示年齡為 r的人口死亡率，φ(t，r)表示年齡為 r的人口遷移率，β(r，t)表示年齡為r的人的生育率(可進一步細化為β(r，t)=b(t)k(r，t)h(r，t)，b(t)為總和生育率，k(r，t)為女性比例，h(r，t)為生育模式.)r1表示可以生育的最低年齡，r2表示最大年齡，該模型中的人口分布密度、死亡率和出生率均與年齡有關(guān)，這與現(xiàn)實情況相符，因此，這個模型確實更能精確地描述人口的發(fā)展過程.

如果上述方程把年齡視為恒定，則退化為常微分方程，若令 μ(t，r)=-r，p(t，r)=N(t)，N(0)=N0，φ =rN2(t)/Nm即變?yōu)?Verhulst模型.

此外物理中的半導體模型［5］、生態(tài)學中的傳染病模型［6］等等，都可以用偏微分方程建立.

2 結(jié)束語

在數(shù)學教學中融入數(shù)學建模思想［7-8］，在數(shù)學建模的過程中充分應用方程的思想和理論，不僅可以激發(fā)學生學習大學數(shù)學的興趣，使學生了解數(shù)學知識在實際生活中的應用，還能提高學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，為后續(xù)課程的學習打下堅實的基礎(chǔ)，真正做到“學以致用”.這對大學數(shù)學的教學改革和課程建設(shè)都將起到積極的推動作用.最后，與其說數(shù)學建模是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)，它需要熟練地數(shù)學技巧，豐富的想象力和敏銳的洞察力，需要大量閱讀，思考別人做的模型，尤其要自己動手，親身體驗.熟練掌握方程思想及理論對于提高數(shù)學建模水平有著重要意義.

［1］ 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型:第三版［M］.北京:高等教育出版社，2003.

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［3］ 王庚，張珠寶.數(shù)學建模融入微積分教學單元［J］.大學數(shù)學，2006，22(4):31-35.

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［5］ 葉其孝，李正元.反應擴散方程引論［M］.北京:科學出版社，1999.

［6］ 馬知恩，周一倉，王穩(wěn)地，等.傳染病動力學的數(shù)學建模與研究［M］.北京:科學出版社，2004.

［7］ 阮妮.融入數(shù)學建模思想的常微分方程教學初探［J］.大學教育，2013(8):67-68.

［8］ 王曉.在偏微分方程教學中融入數(shù)學建模思想［J］.懷化學院學報，2009，28(11):112-113.