王飛飛， 鄭清月， 趙燕波， 陳淼森

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

有限生成模自同態(tài)環(huán)的一種刻畫*

王飛飛， 鄭清月， 趙燕波， 陳淼森

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

定義了矩陣環(huán)的零化子，對(duì)有限生成模的自同態(tài)環(huán)進(jìn)行了刻畫．證明了有限生成左R-模的自同態(tài)環(huán)是環(huán)R上矩陣環(huán)的一個(gè)子環(huán)的同態(tài)像，并利用此結(jié)果給出了代數(shù)學(xué)中一些經(jīng)典結(jié)論的新的證明．

零化子；有限生成模；自同態(tài)環(huán)；矩陣環(huán)

0 引 言

模的自同態(tài)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究對(duì)象．刻畫模的自同態(tài)環(huán)可以推廣線性代數(shù)的一些經(jīng)典結(jié)論[1]，也可以為模的研究提供一種途徑[2-3]．因此，研究模的自同態(tài)具有很好的理論意義．Goldie等[4]通過構(gòu)造Goldie環(huán)刻畫了Noether環(huán)上有限生成模的自同態(tài)環(huán)，從而推廣了Levitski定理．本文通過定義矩陣環(huán)的零化子，刻畫了一般環(huán)上有限生成模自同態(tài)環(huán)的結(jié)構(gòu)，從而用新的方法證明了代數(shù)學(xué)中一些經(jīng)典的結(jié)論．

本文中的環(huán)R均指具有單位元的結(jié)合環(huán),模RM指幺作用左R-模．采用文獻(xiàn)[5]中的規(guī)定，記End(RM)=EndrR(M)，即對(duì)于左R-模，將自同態(tài)作用在元素的右邊．

1 循環(huán)模的自同態(tài)環(huán)

定義1[5]對(duì)于模RM的非空子集X，稱l(X)={r∈R|rX=0}為X在R中的(左)零化子，簡稱X的零化子．特別地，當(dāng)X={a}時(shí)，記l(a)=l(X)；當(dāng)X=M時(shí)，記AnnR(M)=l(M)．

易知，對(duì)于模RM的任意非空子集X，l(X)是R的左理想．若X又是RM的子模，則l(X)是R的理想．

引理1對(duì)于模RM，任意m∈M，環(huán)R的子集I={r∈R|l(m)r?l(m)}是R的子環(huán)，且l(m)是I的理想．

證明 顯然，環(huán)R的單位元1∈I．對(duì)于任意r1,r2∈I，有

l(m)(r1+r2)?l(m)r1+l(m)r2?l(m)+l(m)=l(m)，

從而r1+r2∈I．又因?yàn)閘(m)(r1r2)=(l(m)r1)r2?l(m)r2?l(m)，所以r1r2∈I．因此，I是R的子環(huán)．l(m)是R的左理想，自然也是I的左理想．又由I的定義可知，l(m)也是I的右理想．所以，l(m)是R的理想．證畢．

定理1循環(huán)模RM的自同態(tài)環(huán)同構(gòu)于R的子環(huán)的商環(huán)．

證明 設(shè)RM的生成元為m，則M=Rm．由引理1知，I={r∈R|l(m)r?l(m)}是R的子環(huán)，l(m)是I的理想．接下來分3步證明End(RM)?I/l(m)．

1)構(gòu)造映射φ．先構(gòu)造從End(RM)到I/l(m)的對(duì)應(yīng)法則φ．對(duì)任意f∈End(RM)，若(m)f=rm，則取f在φ作用下的像為r在I/l(m)中的等價(jià)類，即φ(f)=r+l(m)．因?yàn)閒是模RM的自同態(tài)，所以(0)f=0，即對(duì)任意r0∈l(m)，有(r0m)f=r0(m)f=r0rm=0成立，即l(m)r?l(m)成立，因此r∈I．假設(shè)f′∈End(RM)，(m)f′ =r′m．若f=f′，則

rm=r′m?(r-r′)m=0?r-r′∈l(m)?r+l(m)=r′+l(m)，

即φ(f)=φ(f′)．所以，φ是End(RM)到I/l(m)的一個(gè)映射．

2)證明φ是環(huán)同態(tài)．對(duì)于任意f1,f2∈End(RM)，設(shè)(m)f1=r1m，(m)f2=r2m，于是

(m)(f1+f2)=(m)f1+(m)f2=r1m+r2m=(r1+r2)m，

即φ(f1+f2)=r1+r2=φ(f1)+φ(f2),(m)(f1f2)=(m)f1f2=(r1m)f2=r1(m)f2=r1r2m,也就是φ(f1f2)=r1r2=φ(f1)φ(f2).

3)證明φ是同構(gòu)．假設(shè)φ(f1)=φ(f2),φ(f1)=r1+l(m),φ(f2)=r2+l(m)，于是r1-r2∈l(m)?r1m=r2m?f1=f2．所以，φ是單射．又對(duì)于任意r"+l(m)∈I/l(m)，可以證明f(rm)=rr"m是模M的自同態(tài)．假設(shè)r1m=r2m，則有(r1-r2)m=0?r1-r2∈l(m)．于是對(duì)r"∈I，有(r1-r2)r"∈l(m)，即(r1-r2)r"m=0?r1r"m=r2r"m．所以f是RM到自身的一個(gè)映射．易證f是模同態(tài).因此，φ是滿射．證畢．

當(dāng)R是交換環(huán)時(shí)，定理1中I=R，即可得以下推論:

推論1假設(shè)R是交換環(huán)，則循環(huán)R-模M的自同態(tài)環(huán)同構(gòu)于R的商環(huán)．

又當(dāng)R是交換環(huán)，且循環(huán)R-模M是忠實(shí)時(shí)，定理1中l(wèi)(m)?AnnR(M)=0，從而可得以下推論:

推論2假設(shè)R是交換環(huán)，則忠實(shí)循環(huán)R-模的自同態(tài)環(huán)同構(gòu)于R．

利用定理1可以對(duì)以下熟知的結(jié)論給出新的證明．

定理2[6]正則模RR的自同態(tài)環(huán)同構(gòu)于R．

證明 由于正則模RR為循環(huán)模，且生成元為1，所以l(1)=0，I={r∈R|l(1)r?l(1)}=R．由定理1即得End(RR)?R．證畢．

定理2也說明存在非交換環(huán)上的忠實(shí)循環(huán)模RM，它的自同態(tài)環(huán)同構(gòu)于R．

利用定理1亦可證明著名的Schur引理．

定理3(Schur引理) 若RM是單模，則End(RM)為除環(huán)．

證明 設(shè)RM是單模，于是對(duì)于任意0≠m∈M，有M=Rm．由定理1知，End(RM)?I/l(m)．對(duì)于任意I/l(m)中的非零元r+l(m)，因?yàn)閞?l(m)，所以rm≠0．由RM是單模知R(rm)=M．因此，存在x∈R，使得xrm=m，即(xr-1)m=0?xr-1∈l(m)，也即存在x+l(m)∈I/l(m)，使得

(x+l(m))(r+l(m))=1+l(m)．

從而證明了I/l(m)中任意非零元均有左逆元，則I/l(m)是除環(huán)，即End(RM)為除環(huán)．證畢．

2 有限生成模的自同態(tài)環(huán)

定義2對(duì)于模RM中的n個(gè)元m1,m2,…,mn，記ξ=(m1,m2,…,mn)′，稱矩陣環(huán)MatnR的子集

為n元組(m1,m2,…,mn)在MatnR中的(左)零化子，簡稱(m1,m2,…,mn)的零化子．

命題1對(duì)于模RM的任意n個(gè)元m1,m2,…,mn，l(ξ)是矩陣環(huán)MatnR的左理想．

對(duì)于任意1≤i≤n，

即CA∈l(ξ)．于是，l(ξ)是MatnR的左理想．證畢．

不難證明以下引理:

引理2對(duì)于模RM的任意個(gè)n元m1,m2,…,mn，矩陣環(huán)MatnR的子集

MatnI={A∈MatnR|l(ξ)A?l(ξ)}

是MatnR的子環(huán)，且l(ξ)是MatnI的理想．

.

定理4有限生成模RM的自同態(tài)環(huán)同構(gòu)于矩陣環(huán)MatnR的子環(huán)的商環(huán)．

若f=f′，則(ri j)-(r′i j)=(ri j-r′i j)∈l(ξ)，即(ri j)+l(ξ)=(r′i j)+l(ξ)．所以，φ是End(RM)到MatnI/l(ξ)的一個(gè)映射．

從而φ(f+f′)=φ(f)+φ(f′)．又因?yàn)?/p>

即φ(ff′)=φ(f)φ(f′),所以，φ是End(RM)到MatnI/l(ξ)的環(huán)同態(tài)．

因?yàn)?r"i j)∈MatnI，所以

從而

當(dāng)RM是循環(huán)模時(shí)，R上的1×1矩陣環(huán)顯然同構(gòu)于R，此時(shí)定義1中的零化子與定義2中所定義的零化子一致，即定理1可視為定理4的特例．

推論3n維自由模RM的自同態(tài)環(huán)同構(gòu)于矩陣環(huán)MatnR．

證明 當(dāng)RM是n維自由模，且取x1,…,xn是RM的基時(shí)，定理4中的l(ξ)=0，MatnI=MatnR．證畢．

線性代數(shù)中熟知的域k上的向量空間的自同態(tài)環(huán)同構(gòu)于k上n×n矩陣環(huán)，亦可看作推論3的特例．

[1]Drensky V,Szigeti J,van Wyk L.Centralizers in endomorphism rings[J].J Algebra,2010,324(12):3378-3387.

[4]Goldie A,Small L W.A note on rings of endomorphisms[J].J Algebra,1973,24(2):392-395.

[5]Anderson F W,Fuller K R.Rings and categories of modules[M].2nd ed.New York:Springer-Verlag,1992.

[6]陳晉健,陳順卿.模論[M].鄭州:河南大學(xué)出版社,1994.

(責(zé)任編輯 陶立方)

Acharacterizationofendomorphismringsoffinitelygeneratedmodules

WANG Feifei, ZHENG Qingyue, ZHAO Yanbo, CHEN Miaosen

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was defined annihilators of matrix rings and characterized endomorphism rings of finitely generated modules. The endomorphism ring of a finitely generated leftR-module was proved to be the homomorphic image of a subring of the matrix ring overR, and a new proof to some classical results in algebra was given.

annihilator; finitely generated module; endomorphism ring; matrix ring

O153

A

1001-5051(2013)02-0150-05

2013-01-05

國家大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)活動(dòng)計(jì)劃資助項(xiàng)目(201210345010)

王飛飛(1989-)，男，浙江杭州人，碩士研究生.研究方向：代數(shù)學(xué).

陳淼森. E-mail: mschen@zjnu.cn