姜丙利， 柳銀萍

(華東師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，上海 200241)

不變子空間方法及一個(gè)非線性演化方程的精確解*

姜丙利， 柳銀萍

(華東師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，上海 200241)

應(yīng)用不變子空間方法構(gòu)造了一個(gè)非線性演化方程的精確解，通過(guò)分別考慮其2階和3階不同的不變子空間，獲得了3個(gè)具有分離變量形式的精確解.通過(guò)和已有的解比較，所得的解都是首次報(bào)道的新解.

不變子空間方法；精確解；非線性演化方程；廣義變量分離

0 引 言

非線性演化方程精確解對(duì)研究自然界的各種非線性運(yùn)動(dòng)具有重要意義，因?yàn)檫@些解可幫助人們洞察運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，從而獲得更廣泛的應(yīng)用.不變子空間方法是構(gòu)造非線性偏微分方程精確解的有效方法之一，最早是由Titov等[1-2]提出，后經(jīng)Qu Changzheng等[3]進(jìn)一步優(yōu)化和拓展，使得該方法能應(yīng)用于求解兩耦合的非線性演化方程的精確解.該方法通過(guò)不同階的不變子空間，可以獲得不同形式的精確解[4-6].文獻(xiàn)[7]還給出了兩耦合的非線性演化方程可能擁有的最大不變子空間的維數(shù)估算；文獻(xiàn)[8]將該估算一般化，給出了由多個(gè)方程組成的方程組可能擁有的最大不變子空間的維數(shù)估算；文獻(xiàn)[9-10]在前人工作的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步簡(jiǎn)化了該方法的應(yīng)用.

本文基于文獻(xiàn)[9-10]的工作，應(yīng)用不變子空間方法求解了一個(gè)非線性演化方程.

1 不變子空間方法的基本思路

考慮一個(gè)非線性演化方程

式(1)中:

式(2)中:mi表示第i個(gè)非線性微分算子Fi的最高階微分次數(shù);Fi[u]是足夠光滑的非線性微分算子.

應(yīng)用不變子空間法的具體步驟如下：

步驟1 確定非線性演化方程的不變子空間.

令Wk1,k2,…,kq表示線性空間W1k1×W2k2×…×Wqkq，其中

要求對(duì)任意的1≤i≤q,fi1(x),fi2(x),…,fiki(x)都是線性無(wú)關(guān)的.不妨令Wiki表示一個(gè)ni階線性微分方程解的子空間，即

式(5)中:ni≥ki;ai0(x),ai1(x),…,aini-1(x)是連續(xù)函數(shù).

如果矢量微分算子F滿足如下條件：

也就是

那么，稱F有不變子空間Wk1,k2,…,kq.

步驟2 構(gòu)造非線性演化方程的精確解.

非線性演化方程的不變子空間是Wk1,k2,…,kq,當(dāng)且僅當(dāng)Cij(t)滿足

方程(1)具有如下形式的精確解[9-10]：

求解線性微分方程(10)，結(jié)合式(11)，即可得到非線性演化方程(1)的精確解.

2 應(yīng)用不變子空間方法求解一個(gè)非線性演化方程

考慮非線性演化方程[11]

式(12)中:p,q,r是常數(shù)；F[u]是非線性微分算子.根據(jù)文獻(xiàn)[7-8]的結(jié)論，通過(guò)計(jì)算知，方程(12)所能考慮的不變子空間的最高維數(shù)為5，并且其他階的不變子空間沒(méi)有非平凡解.因此，以下僅分別考慮在2階和3階不變子空間來(lái)構(gòu)造該方程的精確解.

2.12階不變子空間W2

2階不變子空間W2由如下線性微分方程定義：

式(13)中，a0,a1是待定常數(shù).故方程(12)的不變子空間為W2的不變條件為

將F代入方程(14)，反復(fù)用-a1ux-a0u替代uxx,整理得到含有項(xiàng)uq+1,uxuq,u2xuq-1,u3xuq-2和u4xuq-3的方程.令方程中不同項(xiàng)的系數(shù)為零，則得到方程組

應(yīng)用吳消元法軟件包Charsets[12-13]求解代數(shù)方程組(15)，得到2組非平凡解：

將式(16)和式(17)分別代入式(12)和式(13)，得到

2.23階不變子空間W3

3階不變子空間W3由如下線性微分方程定義：

式(20)中，a0,a1,a2是待定常數(shù).故方程(12)的不變子空間為W3的不變條件為

同樣地，將非線性算子F代入方程(21)，反復(fù)用-a2uxx-a1ux-a0u替代uxxx,整理得到含有項(xiàng)uq+1,uxuq,uxxuq,u3xuq-2,u2xuq-1,u4xuq-3,u5xuq-4,u2xxuq-1,uxuxxuq-1,u2xuxxuq-2,u3xuxxuq-3和uxu2xxuq-2的方程.令方程中不同項(xiàng)的系數(shù)為零，于是有方程組

應(yīng)用吳消元法軟件包Charsets求解代數(shù)方程組,可得

將式(23)代入式(12)和式(20)，得

綜上所述，通過(guò)分別考慮2階和3階不同的不變子空間，獲得了3個(gè)不同的系統(tǒng),即系統(tǒng)(18)、系統(tǒng)(19)和系統(tǒng)(24).下面將基于這3個(gè)系統(tǒng)構(gòu)造方程(12)的精確解.

2.3構(gòu)造精確解

例1考慮非線性系統(tǒng)(18)，由式(16)可知，系統(tǒng)(18)中的非線性方程是方程(12)在q=2時(shí)的情形，即

其相應(yīng)的2階不變子空間W2為

由L[y]=0可得方程(25)的不變子空間為

令方程(25)有如下形式的精確解：

將式(28)代入方程(25)，有

求解方程(29)，可得

式(30)中，B1,B2是任意常數(shù).由式(28)和式(30)可得方程(25)的精確解為

其相應(yīng)的2階不變子空間W2為

由L[y]=0可得方程(32)的不變子空間為

令方程(32)有如下形式的精確解：

將式(35)代入方程(32)，得

求解方程(36)，得到

因此，由式(35)和式(37)可得方程(32)的精確解為

例3考慮非線性系統(tǒng)(24)，由式(23)可知，系統(tǒng)(24)中的非線性方程是方程(12)在q=1時(shí)的情形，即

其相應(yīng)的3階不變子空間W3為

由L[y]=0可得方程(39)的不變子空間為

令方程(39)有如下形式的精確解：

將式(42)代入方程(39)，有

求解方程(43)得到

式(44)中，B是任意常數(shù).由式(42)和式(44)可得方程(39)的精確解為

3 結(jié) 論

不變子空間方法是構(gòu)造非線性演化方程精確解的有效方法之一，本文將不變子空間方法應(yīng)用到一個(gè)具有未知參數(shù)指數(shù)的非線性演化方程，通過(guò)分別考慮其2階和3階不同的不變子空間，分別獲得了未知參數(shù)分別滿足不同約束條件時(shí)的不同形式的精確解.這些解與文獻(xiàn)[11]中已知的分離變量形式的解具有不同的結(jié)構(gòu)，它們都是首次報(bào)道的新解.

[1]Titov S S.A method of finite-dimensional rings for solving nonlinear equations of mathematical physics[C]//Ivanova T P.Aerodynamics.Saratov:Saratov University,1988:104-109.

[2]Galaktionov V A.Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution equations with quadratic nonlinearities[J].Proc Roy Soc Endin Sect A,1995,125(2):225-246.

[3]Qu Changzheng,Zhu Chunrong.Classification of coupled systems with two-component nonlinear diffusion equations by the invariant subspace method[J].Journal of Physics A:Mathematical and Theoretical,2009,42(47):475201.

[4]Galaktionov V A,Svirshchevskii S R.Exact solutions and invariant subspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics[M].London:Chapman and Hall/CRC,2007.

[5]King J R.Exact polynomial solutions to some nonlinear diffusion equations[J].Physica D：Nonlinear Phenomena,1993,64(1/2/3):35-65.

[6]Svirshchevskii S R.Lie-backlund symmetries of linear ODEs and generalized separation of variables in nonlinear equations[J].Physics Letters A,1995,199(5/6):344-348.

[7]Zhu Chunrong,Qu Changzheng.Maximal dimension of invariant subspaces admitted by nonlinear vector differential operators[J].J Math Phys,2011,52(4):043507.

[8]Shen Shoufeng,Qu Changzheng,Jin Yongyang,el al.Maximal dimension of invariant subspaces to systems of nonlinear evolution equations[J].Chinese Annals of Mathematics-Series B,2012,33(2):161-178.

[9]Ma Wenxiu.A refined invariant subspace method and applications to evolution equations[J].Science China Mathematics,2012,55(9):1769-1778.

[10]Ma Wenxiu,Liu Yinping.Invariant subspaces and exact solutions of a class of dispersive evolution equations[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2012,17(10):3795-3801.

[11]Andrei D P,Valentin F Z.Handbook of nonlinear partial differential equations[M].London:Chapman & Hall/CRC,2004:52.

[12]Wang Dongming.An implementation of the characteristic set method in maple[M]//Pfalzgraf J,Wang Dongming.Automated practical reasoning:Algebraic approaches.New York:Springer-Verlag,1995:187-201.

[13]Wang Dongming.Elimination practice:Software tools and applications[M].London:Imperial College Press,2004.

(責(zé)任編輯 陶立方)

Theinvariantsubspacemethodandexactsolutionsforanonlinearevolutionequation

JIANG Bingli, LIU Yinping

(DepartmentofComputerScienceandTechnology,EastChinaNormalUniversity,Shanghai200241,China)

The invariant subspace method was applied to construct exact solutions of a nonlinear evolution equation, and three solutions in the form of separation of variables were successfully obtained with the help of different invariant subspaces. Compared with known solutions, these solutions were first reported new solutions.

invariant subspace method; exact solution; nonlinear evolution equation; separation of variables

O157.5

A

1001-5051(2013)02-0155-06

2012-11-09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071274)

姜丙利(1987-),男,山西長(zhǎng)治人,碩士研究生.研究方向:符號(hào)計(jì)算;數(shù)學(xué)機(jī)械化.

柳銀萍.Email： ypliu@cs.ecnu.edu.cn