李寧, 劉希強(qiáng), 張穎元

（2+1）維非線性發(fā)展方程的對(duì)稱(chēng)約化及精確解

*李寧, 劉希強(qiáng), 張穎元

（聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東，聊城 252059）

利用相容性方法，得到了(2+1)維mKdV-KP的非經(jīng)典對(duì)稱(chēng)及相似約化，并進(jìn)一步得到了該方程的一些新的精確解，包括雙曲函數(shù)解，三角函數(shù)解，有理函數(shù)解，橢圓函數(shù)解等。

相容性方法；(2+1)維mKdV-KP方程；精確解；對(duì)稱(chēng)；相似約化

即

方程(2)的顯式解。(2+1)維mKdV-KP方程是基于(2+1)維KdV和(2+1)維KP方程提出的推廣。 A. S. Al-Fhaid利用F展開(kāi)法[10]得到了該方程的雅可比雙周期波解，N Taghizadeh等用首次積分法[11]得到了該方程的行波解。文獻(xiàn)[4]中作者利用修正的CK直接方法得到了非線性發(fā)展方程的對(duì)稱(chēng)，從而約化方程，但此方法需要復(fù)雜的計(jì)算和轉(zhuǎn)化過(guò)程。文獻(xiàn)[6]中作者利用經(jīng)典李群方法得到了非線性發(fā)展方程的李點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，也達(dá)到約化方程的目的，但此方法在求解生成元時(shí)需大量的計(jì)算。雖然相容性方法的最終目的同樣是尋找非線性發(fā)展方程的對(duì)稱(chēng)，但該方法能夠簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，并能得到更多新的結(jié)果。本文的求解過(guò)程恰能說(shuō)明相容性方法的優(yōu)越性。

相容性方法的主要思想是假定方程(2)有如下形式

1 (2+1)維mKdV-KP方程的非經(jīng)典對(duì)稱(chēng)

把(3)式帶入(2)式，得到

解上述超定方程組可得

2 (2+1)維mKdV-KP方程的對(duì)稱(chēng)約化以及顯式解

分以下3種情況討論：

以下用擴(kuò)展的tanh方法求解方程(12)。假設(shè)方程(12)有以下形式的解

則方程(12)的解為

即原方程(2)的解為

為了得到方程(2)更廣泛的解，將(12)式積分兩次可以得到

由(19)式容易得到

注1：情況1 中還有大量解，這里不再一一列出，而且都是新解。

以下借助輔助函數(shù)[13]來(lái)求解方程(23)的解。設(shè)方程(23)有以下形式的解

利用輔助方程

方程(22)也可以約化為

注2：經(jīng)過(guò)Maple數(shù)學(xué)軟件驗(yàn)證情況3中的6組解都是方程(2)的解，而且均是新解。

3 結(jié)論

利用相容性方法得到了mKdV-KP方程的非經(jīng)典對(duì)稱(chēng)，并利用其得到了該方程的相似約化，通過(guò)解約化方程得到了mKdV-KP方程的一些精確解。

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SYMMETRY REDUCTIONS AND EXACT SOLUTIONS OF (2+1)-DIMENSIONAL NONLINEAR EVOLUTION EQUATION

*LI Ning，LIU Xi-qiang，ZHANG Ying-yuan

(School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, Liaocheng, Shandong 252059, China)

Based on the compatibility method, we find the non-classical symmetry, reductions and new exact solutions of mKdV-KP equation including the hyperbolic functions, the trigonometric functions, the rational functions and the elliptic functions and so on.

the compatibility method; (2+1)-dimensional mKdV-KP equation; exact solutions; symmetry; similar reduction

O175. 2

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.03.002

1674-8085(2013)03-0005-05

2012-11-21；

2013-03-14

國(guó)家自然科學(xué)基金和中國(guó)工程物理研究院聯(lián)合基金項(xiàng)目(11076015)

*李 寧(1981-），男，山東棗莊人，碩士生，主要從事非線性偏微分方程解的研究(E-mail:ln1011@163.com);

劉希強(qiáng)(1957-)，男，山東菏澤人，教授，博士，主要從事非線性微分方程系統(tǒng)研究(E-mail: liuxiq@sina.com);

張穎元(1987-)，女，山東濟(jì)南人，碩士生，主要從事非線性偏微分方程解的研究(E-mail:zhangyingyuanok@126.com).