胡 鵬 ，金國光 ，隋修武 ，郭振鋒

（1.天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué)天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300387）

六自由度柔性測(cè)量臂屬于非笛卡爾式坐標(biāo)測(cè)量機(jī).它仿照人體關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)，以角度基準(zhǔn)取代長度基準(zhǔn)，將6個(gè)桿件和1個(gè)測(cè)頭通過6個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)串聯(lián)連接，一端固定在基座上，另一端（測(cè)頭）可在空間自由移動(dòng)，構(gòu)成一個(gè)球形測(cè)量空間.由于其輕巧便捷、功能強(qiáng)大、使用環(huán)境要求較低、測(cè)量范圍較廣、投入成本較低，而被廣泛地應(yīng)用于航空航天、汽車制造、重型機(jī)械、軌道交通、零部件加工、模具制造等多個(gè)行業(yè).盡管多關(guān)節(jié)柔性測(cè)量臂是一種非常有前途的便攜式坐標(biāo)測(cè)量臂，但測(cè)量精度低是其致命的弱點(diǎn)，這在很大程度上影響了它的應(yīng)用.采用高精度的標(biāo)定方法可以提高柔性測(cè)量臂的測(cè)量精度[1].多關(guān)節(jié)柔性測(cè)量臂的參數(shù)標(biāo)定方法有很多，有基于最小二乘法和迭代算法[2-3]的參數(shù)標(biāo)定，有基于遺傳算法[4]的參數(shù)標(biāo)定，有基于改進(jìn)模擬退火算法[5]的參數(shù)標(biāo)定等.本文首先建立了柔性測(cè)量臂的測(cè)量模型和誤差模型，然后給出了用最小二乘法和迭代算法對(duì)六自由度柔性測(cè)量臂的關(guān)節(jié)零位偏差進(jìn)行標(biāo)定的方法，最后在Matlab中對(duì)標(biāo)定算法進(jìn)行了模擬仿真驗(yàn)證.

1 測(cè)量模型

六自由度柔性測(cè)量臂可以看成一個(gè)串聯(lián)開式運(yùn)動(dòng)鏈，它是由6個(gè)桿件和1個(gè)測(cè)頭通過6個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)串接而成，圖1為柔性測(cè)量臂簡圖.

圖1 柔性測(cè)量臂簡圖Fig.1 Schematic diagram of flexible measuring arm

Denavit和Hartenberg在1955年提出了對(duì)兩個(gè)相互連接且相對(duì)運(yùn)動(dòng)的桿件之間相互關(guān)系的分析方法，簡稱 D-H 方法[2，4].

根據(jù)D-H方法，連桿i的坐標(biāo)系的Zi軸位于連桿i與連桿i+1的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)軸線上；連桿i的兩端軸線的公垂線為連桿坐標(biāo)系的Xi軸，方向指向下一個(gè)連桿；公垂線與Zi軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)Oi；坐標(biāo)系的Yi軸由Xi和Zi按照右手定則確定，至此，連桿i的坐標(biāo)系已建立.

測(cè)量臂的坐標(biāo)系模型如圖2所示.各桿件坐標(biāo)系按D-H方法建立，由于在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程中不用考慮Yi軸，在圖2中未標(biāo)出.圖2中θ7所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)在接觸式測(cè)量中不起作用，只在激光掃描測(cè)量時(shí)起作用，可以不用考慮.

在建立了各個(gè)桿件的坐標(biāo)系之后，D-H方法規(guī)定用4個(gè)參數(shù)來描述桿件及桿件之間的關(guān)系，其中2個(gè)參數(shù)用來描述連桿，即連桿長度ai，連桿扭角αi；另外2個(gè)參數(shù)用來描述相鄰兩桿的關(guān)系，即兩連桿距離di，兩連桿夾角θi.

在建立了桿件坐標(biāo)系并確定各個(gè)D-H參數(shù)之后，Oi-1Xi-1Yi-1Zi-1與OiXiYiZi之間的轉(zhuǎn)換可以通過坐標(biāo)系的平移、旋轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn).轉(zhuǎn)換矩陣如下:

圖2 測(cè)量臂的坐標(biāo)系模型Fig.2 Coordinate system model of measuring arm

式中:Ri是3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣；qi是3×1的平移矩陣.

如圖2所示，把測(cè)頭坐標(biāo)系O7X7Y7Z7相對(duì)于基座坐標(biāo)系O0X0Y0Z0的位姿記為A07，這是一個(gè)4×4的齊次矩陣，由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系可以得到:

A07反映了測(cè)頭在空間相對(duì)于基座坐標(biāo)系的坐標(biāo)位置與姿態(tài).測(cè)頭在基座坐標(biāo)系下的齊次坐標(biāo)P可表示為:

式中:P'=[0 0 0 1]T.

式（3）即為該六自由度柔性測(cè)量臂的測(cè)頭位置坐標(biāo)測(cè)量方程.桿件的 4個(gè) D-H 參數(shù)中，參數(shù) ai、αi、di都是固定的常數(shù)，稱為桿件結(jié)構(gòu)參數(shù)，而θi是變化的，稱為關(guān)節(jié)變量.把測(cè)量方程寫成矢量函數(shù)形式:

至此，六自由度柔性測(cè)量臂測(cè)量模型建立完畢.

2 誤差模型

考慮到關(guān)節(jié)零位偏差對(duì)測(cè)量精度的巨大影響，首先建立基于關(guān)節(jié)零位偏差的誤差模型.

關(guān)節(jié)零位偏差的特點(diǎn):各關(guān)節(jié)的零位偏差互不相同；由于裝配工藝水平所限，通常造成的關(guān)節(jié)零位偏差較大（約±3°），并且由于臂長的逐級(jí)放大作用，使得關(guān)節(jié)零位偏差在末端測(cè)頭處產(chǎn)生很大的位置測(cè)量誤差；對(duì)于每臺(tái)裝配好的關(guān)節(jié)臂式柔性測(cè)量臂，各關(guān)節(jié)的零位偏差固定不變，屬于系統(tǒng)誤差.

為了分析關(guān)節(jié)零位偏差對(duì)測(cè)量精度的影響，尋求關(guān)節(jié)零位偏差與測(cè)量位置誤差之間的關(guān)系，假設(shè)關(guān)節(jié)零位偏差足夠小.對(duì)式（4）進(jìn)行全微分，近似得到測(cè)頭位置誤差方程[1-3]:

寫成矩陣形式:

這里，ΔP=[ΔPx，ΔPy，ΔPz]T

Δθ是一個(gè)6×1的誤差參數(shù)矢量，即:

式（6）即為基于關(guān)節(jié)零位偏差的誤差模型，它描述了關(guān)節(jié)零位偏差與測(cè)頭位置誤差之間的近似線性關(guān)系，這種線性關(guān)系的建立將大大地簡化標(biāo)定過程.

3 標(biāo)定算法

通過提高柔性臂的角度編碼器、機(jī)械零部件的加工與裝配精度可以提高測(cè)量臂的測(cè)量精度，但提高的精度有限且成本非常高；此外，可以采取高精度的標(biāo)定方法以提高測(cè)量精度.

基于最小二乘法和迭代算法的標(biāo)定方法[2]如下:

為準(zhǔn)確標(biāo)定出關(guān)節(jié)零位偏差，需要一些已知的標(biāo)準(zhǔn)位置坐標(biāo)，這些標(biāo)準(zhǔn)位置坐標(biāo)可以通過高精度的測(cè)量設(shè)備獲得.假設(shè)有m個(gè)標(biāo)準(zhǔn)位置坐標(biāo)，用柔性測(cè)量臂測(cè)量這個(gè)m標(biāo)準(zhǔn)位置，記下這m組關(guān)節(jié)變量組合，然后把這m組關(guān)節(jié)變量組合代入式（3）計(jì)算出m個(gè)理論位置坐標(biāo)，與標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)比對(duì)，可得到3×m個(gè)位置誤差方程，即:

只要3×m＞6，則可運(yùn)用最小二乘法解出6個(gè)關(guān)節(jié)零位偏差，即

把計(jì)算出的關(guān)節(jié)零位偏差作為修正值對(duì)式（4）中的關(guān)節(jié)變量進(jìn)行修正，然后計(jì)算出新的位置誤差和新的誤差系數(shù)矩陣并代入式（8），再重復(fù)式（9）的計(jì)算，通過反復(fù)的迭代，直到測(cè)頭位置誤差滿足要求，從而獲得最佳標(biāo)定結(jié)果.

4 仿真驗(yàn)證

為了進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，首先給定柔性臂的結(jié)構(gòu)參數(shù)，并假定關(guān)節(jié)零位偏差.具體數(shù)值如表1所示.

表1 柔性測(cè)量臂結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of flexible measuring arm

為了驗(yàn)證該標(biāo)定算法的正確性，共做了3組模擬實(shí)驗(yàn)，每組實(shí)驗(yàn)包含3組關(guān)節(jié)變量組合，標(biāo)定過程分以下3步:

第1步:根據(jù)表1中的結(jié)構(gòu)參數(shù)和關(guān)節(jié)零位偏差，按式（3）計(jì)算出3個(gè)實(shí)際的空間坐標(biāo)作為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)Pb.然后不考慮零位偏差，計(jì)算出3個(gè)理論坐標(biāo)Pl，從而得到位置誤差矢量ΔP=Pb-Pl.

第2步:根據(jù)式（7）計(jì)算出誤差系數(shù)矩陣，然后根據(jù)式（9）運(yùn)用最小二乘法計(jì)算出Δθ.

第3步:將第2步得到的Δθ作為修正量對(duì)關(guān)節(jié)變量的理論值進(jìn)行修正，計(jì)算出新一輪的坐標(biāo)理論值，誤差系數(shù)矩陣和位置誤差矢量.如果修正后位置誤差矢量滿足要求則結(jié)束，未達(dá)到要求則重復(fù)式（9），計(jì)算出新的Δθ，在前一次修復(fù)的基礎(chǔ)上繼續(xù)對(duì)關(guān)節(jié)變量進(jìn)行修正，計(jì)算修正之后的位置誤差，直到滿足要求為止.

本次模擬仿真經(jīng)過2次迭代，結(jié)果如表2所示.

表2 仿真結(jié)果Tab.2 Simulation results

由仿真結(jié)果可知:

（1）較小的關(guān)節(jié)零位偏差通過臂長的放大作用會(huì)造成很大的位置測(cè)量誤差，達(dá)到數(shù)十毫米.

（2）經(jīng)過一次最小二乘標(biāo)定，即可把位置誤差減小到1 mm以內(nèi)，經(jīng)過第二次最小二乘標(biāo)定，基本上可以消除位置測(cè)量誤差.

（3）之前設(shè)定的關(guān)節(jié)零位偏差為（1.5°，－1.2°，1.0°，1.2°，－1.1°，1.5°），轉(zhuǎn)化為弧度制表示為:（0.0262，－0.0209，0.0175，0.0209，－0.0192，0.0262），這與仿真驗(yàn)算結(jié)果是吻合的，由此可知，通過該標(biāo)定算法可以準(zhǔn)確地標(biāo)定出關(guān)節(jié)零位偏差的真實(shí)值.這也間接地論證了誤差模型的正確性.

（4）3組實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果相同，說明只要在測(cè)量空間任取3點(diǎn)，即可準(zhǔn)確且惟一地標(biāo)定出6個(gè)關(guān)節(jié)零位偏差.

5 結(jié)論

本文在建立了六自由度柔性測(cè)量臂的測(cè)量模型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用全微分法建立了基于關(guān)節(jié)零位偏差的線性誤差模型.然后，利用該線性誤差模型，結(jié)合最小二乘法和迭代算法建立了關(guān)節(jié)零位偏差的線性標(biāo)定模型.該標(biāo)定模型的優(yōu)勢(shì)在于，將復(fù)雜的非線性參數(shù)辨識(shí)問題線性化，大大簡化了標(biāo)定過程.最后，通過Matlab模擬仿真驗(yàn)算，證明了該標(biāo)定算法的正確性.該研究對(duì)提高柔性測(cè)量臂的測(cè)量精度具有重要意義，也為自主研發(fā)高精度多關(guān)節(jié)柔性測(cè)量臂提供了理論支持.

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