李海燕，李永縉，田 英

（1.東北大學(xué) 計(jì)算中心，遼寧 沈陽(yáng) 110819；2.東軟集團(tuán)股份有限公司，遼寧 沈陽(yáng) 110179）

多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化能夠有效解決大規(guī)模復(fù)雜工程系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題，受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.而由斯坦福大學(xué)的Kroo教授等人提出的協(xié)同優(yōu)化方法（CO），則被認(rèn)為是一種較有前途的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法，并已在飛行器設(shè)計(jì)的研究工作中得到了應(yīng)用［1］.該優(yōu)化方法具有典型的兩級(jí)結(jié)構(gòu)，其分解形式與工程設(shè)計(jì)分工的組織形式相一致，各學(xué)科保持了各自的分析設(shè)計(jì)自由.同時(shí)，各學(xué)科的計(jì)算具有并行性，能極大地縮短設(shè)計(jì)周期.在目前已有的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法中，協(xié)同優(yōu)化的學(xué)科自由度被認(rèn)為是最高的.

但作為一門新興的學(xué)科，CO在很多方面還不夠完善.系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化中采用的一致性等式約束，是一種理想狀態(tài)，而在一般情況下，系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問(wèn)題的可行域很可能不存在.另外，由于Kuhn-Tucker條件中的拉格朗日乘子不存在，或在最優(yōu)解處學(xué)科一致性約束的Jacobian矩陣不連續(xù)，致使CO算法的系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問(wèn)題無(wú)法滿足Kuhn-Tucker條件［2］.這些不完善之處，造成Balling和Alexandrov等［3-4］實(shí)驗(yàn)問(wèn)題優(yōu)化結(jié)果不夠理想，也致使一部分研究的優(yōu)化結(jié)果對(duì)初始點(diǎn)的選取敏感［5-6］.目前，世界上出現(xiàn)了一些協(xié)同優(yōu)化算法的改進(jìn)策略，其基于響應(yīng)面的協(xié)同優(yōu)化算法［7］，利用響應(yīng)面來(lái)近似一致性約束函數(shù).松弛因子法［8-9］對(duì)系統(tǒng)級(jí)等式約束進(jìn)行松弛，將等式約束變?yōu)椴坏仁叫问?在此基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了動(dòng)態(tài)松弛法［10-12］，它利用學(xué)科間的不一致信息選取松弛因子.這些改進(jìn)措施都是從CO算法系統(tǒng)級(jí)的一致性約束表述形式上進(jìn)行的改善，其優(yōu)化效果仍受初始點(diǎn)的影響，有時(shí)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化仍然無(wú)解.本文針對(duì)CO算法對(duì)初始點(diǎn)的選取具有敏感性的問(wèn)題，從保證系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化可行有解的角度，對(duì)現(xiàn)有的算法進(jìn)行了分析研究與改善.

1 協(xié)同優(yōu)化算法

協(xié)同優(yōu)化將復(fù)雜的工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)問(wèn)題，跟據(jù)現(xiàn)有的工程分工形式，分解成系統(tǒng)級(jí)和學(xué)科級(jí)兩級(jí)優(yōu)化結(jié)構(gòu).系統(tǒng)級(jí)負(fù)責(zé)規(guī)劃協(xié)調(diào)，通過(guò)一致性約束來(lái)協(xié)調(diào)各學(xué)科的優(yōu)化結(jié)果.在學(xué)科級(jí)，各學(xué)科在滿足自身約束條件情況下，使其優(yōu)化結(jié)果與系統(tǒng)級(jí)提供給該學(xué)科的目標(biāo)值的差異最小.經(jīng)過(guò)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化和學(xué)科級(jí)優(yōu)化之間的多次迭代，最終得到一個(gè)最優(yōu)的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案.CO算法結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)學(xué)科自治，各子學(xué)科間的連接通過(guò)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問(wèn)題的等式約束得到加強(qiáng)，其算法結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示.

圖1 協(xié)同優(yōu)化算法的基本框架Fig.1 Framework of algorithm of collaborative optimization

2 CO優(yōu)化過(guò)程分析與算法改進(jìn)

本文以一個(gè)典型的函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題為研究對(duì)象，為解決其對(duì)初始點(diǎn)的選取敏感性問(wèn)題，對(duì)初始點(diǎn)在可行域內(nèi)外兩種情況，分別給予分析和解決.并在此基礎(chǔ)上，提出了能夠保證系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化可行有解的改進(jìn)的協(xié)同優(yōu)化算法.

2.1 典型算例

一個(gè)約束非線性優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型［13］為：

加入松弛因子后，其CO優(yōu)化模型變?yōu)槿缦孪到y(tǒng)級(jí)優(yōu)化模型：

式中，z1和z2為系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量，J1（Z）和J2（Z）為系統(tǒng)級(jí)一致性約束，這里令β＝0.1.

2.2 優(yōu)化過(guò)程分析及改進(jìn)算法的提出

對(duì)初始點(diǎn)在系統(tǒng)可行域內(nèi)外兩種情況，分別給出優(yōu)化過(guò)程分析及解決方案，從而提出了充分利用并有效結(jié)合固定松弛因子和動(dòng)態(tài)松弛因子的改進(jìn)算法.

兩個(gè)子學(xué)科返回的最優(yōu)值相同，學(xué)科間已不存在不一致信息，若采用動(dòng)態(tài)松弛法進(jìn)行求解，計(jì)算所得的s值為0，程序運(yùn)行一次即會(huì)結(jié)束，系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化結(jié)果為給定的初始值Z＝），目標(biāo)值函數(shù)值為f（Z）＝＋.在這種情況下，除非給定的初始值為最優(yōu)解，否則得不到最優(yōu)函數(shù)值.因此，動(dòng)態(tài)松弛法不適合求解初始點(diǎn)在可行域內(nèi)的優(yōu)化問(wèn)題.

此時(shí)兩子學(xué)科的返回值相同，只要滿足s＞0，即可保證系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化有解.采用固定的松弛因子，對(duì)系統(tǒng)級(jí)進(jìn)行優(yōu)化求解.本文對(duì)給定初始點(diǎn)（1，2）進(jìn)行了計(jì)算，計(jì)算結(jié)果為x＝［0.295 4，1.970 4］，f（x）＝3.969 7.

此時(shí)學(xué)科間不一致信息較大，故應(yīng)采用動(dòng)態(tài)松弛法，隨著優(yōu)化過(guò)程的進(jìn)行，根據(jù)兩學(xué)科間不一致信息，動(dòng)態(tài)地調(diào)整s的值.采用動(dòng)態(tài)松弛法，進(jìn)行了3次試驗(yàn)，優(yōu)化結(jié)果如表1所示.

表1 動(dòng)態(tài)松弛法的優(yōu)化結(jié)果Table 1 Optimization results of dynamic relaxation

從表1可以看出，動(dòng)態(tài)松弛法的特點(diǎn)是運(yùn)行次數(shù)少，但是精度不高，其優(yōu)化結(jié)果與真實(shí)值相差比較大.同時(shí)，從結(jié)果數(shù)據(jù)可以看出，優(yōu)化結(jié)果在學(xué)科級(jí)約束的邊界附近.以初始點(diǎn)（100，2）為例，分別從學(xué)科級(jí)優(yōu)化和系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化兩個(gè)方面，對(duì)這種情況做出解釋.

①學(xué)科級(jí)優(yōu)化.根據(jù)學(xué)科級(jí)約束，易知點(diǎn)（100，2）在學(xué)科2的可行域內(nèi)，經(jīng)第一次學(xué)科級(jí)優(yōu)化后，學(xué)科2返回的優(yōu)化值為系統(tǒng)級(jí)分配的初始期望值（z＊10，z＊20）.由于該點(diǎn)不在學(xué)科1的可行域內(nèi)，從學(xué)科級(jí)優(yōu)化的幾何意義可知，學(xué)科1的優(yōu)化過(guò)程即為在學(xué)科1的可行域內(nèi)，尋找距系統(tǒng)級(jí)期望值距離最近的點(diǎn)，因此點(diǎn)（x＊11，x＊12）在學(xué)科1可行域的邊界處取得，如圖2所示.

圖2 學(xué)科1優(yōu)化示意圖Fig.2 Optimization sketch of discipline 1

② 系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化.學(xué)科級(jí)優(yōu)化后，優(yōu)化結(jié)果返回到系統(tǒng)級(jí)，進(jìn)行系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化.從系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化的表述式（4）可知，目標(biāo)函數(shù)在系統(tǒng)級(jí)兩個(gè)約束的公共部分內(nèi)尋優(yōu)，如圖3所示.λ＝0.5時(shí)，兩圓相外切，λ＝1時(shí)，兩圓互過(guò)圓心.因0.5＜λ＜1，致使系統(tǒng)級(jí)兩個(gè)約束的相交部分，不包括學(xué)科1可行域內(nèi)的點(diǎn).以后的迭代過(guò)程與第一次類似，整個(gè)優(yōu)化迭代過(guò)程中，學(xué)科1返回的優(yōu)化值一直在學(xué)科1的邊界處取得，而系統(tǒng)級(jí)的優(yōu)化值點(diǎn)則一直向?qū)W科1的邊界靠近，因此出現(xiàn)了上述運(yùn)行結(jié)果.如令λ≥1，雖然有可能進(jìn)入學(xué)科1，但卻失去了一致性約束的意義，無(wú)法保證子學(xué)科設(shè)計(jì)變量的一致性.

圖3 系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化示意圖Fig.3 Optimization sketch of system level

從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，此時(shí)兩個(gè)子學(xué)科的優(yōu)化值已經(jīng)比較接近.因此此時(shí)所需的松弛因子s的值較小，可以采用固定的松弛因子，以上述運(yùn)算結(jié)果為起始點(diǎn)，繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算.計(jì)算結(jié)果如表2所示，文獻(xiàn)［13］給出了β＝0.1時(shí)的優(yōu)化結(jié)果，設(shè)計(jì)變量x＊為（0.198，1.980），目標(biāo)函數(shù)f＊為3.998.從表2中數(shù)據(jù)可以看出，本文所求出的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值較小.

表2 改進(jìn)算法的優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimization results of improved algorithm

根據(jù)初始點(diǎn)的選取情況，選擇恰當(dāng)?shù)膬?yōu)化算法.當(dāng)初始點(diǎn)選在系統(tǒng)可行域內(nèi)時(shí)，利用固定松弛因子法求解；當(dāng)初始點(diǎn)選在系統(tǒng)可行域外時(shí)，首先利用動(dòng)態(tài)松弛因子法求解，然后把優(yōu)化結(jié)果作為初始值，再利用固定因子法求解最終的優(yōu)化結(jié)果.從以上分析可以看出，該算法可以保證系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化可行有解.

3 減速器設(shè)計(jì)優(yōu)化算例

以減速器設(shè)計(jì)優(yōu)化為例［14］，其目標(biāo)是在滿足轉(zhuǎn)軸和齒輪大量約束的同時(shí)，使得減速器的體積最?。ㄙ|(zhì)量最輕），該優(yōu)化共有7個(gè)設(shè)計(jì)變量，其優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下：

式中，x1為齒面寬度；x2為齒輪模數(shù)；x3為小齒輪齒度；x4和x5為軸承間距；x6和x7為大小齒輪的直徑；g1～g2為齒的彎曲應(yīng)力和接觸力約束；g3～g8為軸的變形和應(yīng)力約束以及由經(jīng)驗(yàn)得到的約束；g9～g17為幾何約束.可將減速器設(shè)計(jì)問(wèn)題分解為并行的齒輪和軸兩部分，g1～g2和g9～g17形成子優(yōu)化問(wèn)題1，g3～g8和g9～g17形成另外子優(yōu)化問(wèn)題2.

初始點(diǎn)選在 x0＝［100，200，300，400，500，600，200］，易知x0不在系統(tǒng)可行域內(nèi).首先利用動(dòng)態(tài)松弛法，得到第1次優(yōu)化結(jié)果.然后，以第1次的優(yōu)化結(jié)果為初始點(diǎn)，根據(jù)第1次優(yōu)化后兩個(gè)學(xué)科間的不一致信息，選擇s的值，利用固定因子法進(jìn)行第2次優(yōu)化計(jì)算，最終得到的優(yōu)化數(shù)據(jù)如表3所示.文獻(xiàn)［14］給出了該問(wèn)題設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化解和最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，其值分別為：x＝［3.5，0.7，17，7.3，7.71，3.35，5.29］，f（x）＝2 994.可以看出，本文所給出的算法符合設(shè)計(jì)精度的要求.

表3 減速器的優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimization results of speed reducer

4 結(jié) 論

協(xié)同優(yōu)化算法是多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)方法中應(yīng)用最廣的MDO方法，但仍有其不完善之處.本文針對(duì)CO對(duì)初始點(diǎn)的選取敏感問(wèn)題，以一典型算例為研究對(duì)象，從保證系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化存在可行解的角度，對(duì)初始點(diǎn)在可行域內(nèi)外兩種情況分別進(jìn)行了分析研究.

（1）當(dāng)初始點(diǎn)選在系統(tǒng)可行域內(nèi)時(shí)，因?qū)W科間不存在不一致信息，動(dòng)態(tài)松弛法失效.在這種情況下，只要松弛因子大于零，即可保證系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化存在可行解，因而采用固定的松弛因子進(jìn)行求解.

（2）當(dāng)初始點(diǎn)選在可行域外時(shí)，對(duì)固定因子法和動(dòng)態(tài)松弛法均得不到滿意解的原因進(jìn)行了分析解釋.在這種情況下，首先利用動(dòng)態(tài)松弛法進(jìn)行優(yōu)化，然后以該優(yōu)化結(jié)果為初始點(diǎn)，采用固定因子法得到最終的優(yōu)化結(jié)果.

在對(duì)典型算例的優(yōu)化過(guò)程分析研究的基礎(chǔ)上，給出了固定松弛因子與動(dòng)態(tài)松弛因子有效結(jié)合的綜合優(yōu)化方法.該方法可以保證系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化可行有解，并利用該方法對(duì)減速器設(shè)計(jì)過(guò)程進(jìn)行了優(yōu)化，得到了較為滿意的結(jié)果.

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