劉名生

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

劉名生

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

令Hn(p)表示具有如下形式泰勒展開式

文獻[1]和文獻[2]分別得到關(guān)于M,,α的充分條件，使得由f(z)H1(1)和

(1-)1+Mz

其中0<α<1.SINGH[4]得到如下定理：

OBRADOVIC和OWA[5]得到如下定理：

N(,H1(1):

其中0<α<1,C,-1≤B≤1,A≠B,AR,并且研究了它的從屬關(guān)系、包含關(guān)系、偏差定理和不等式性質(zhì).文獻[7]研究了某類解析函數(shù)子類的性質(zhì).一個問題自然提出:是否在適當(dāng)條件下，這個函數(shù)類N(,α,A,B)是星像函數(shù)類的子類？

本文的目的是確定關(guān)于p,n,,α,β和M的充分條件，使得由

(1-)1+Mz

為了得到本文的主要結(jié)果，需要如下引理.

引理1[8]設(shè)函數(shù)

ω(z)=bnzn+bn+1zn+1+…

引理2 假定0

Q(z)

和

Q(z)pγ(z)1+Mz,

Q(z)1+M1z,

Q(z)pγ(z)1+M1z,

應(yīng)用文獻[5]中引理2.2的方法,可以證明引理2.引理3是文獻[9]中引理2.17的特殊情況.

(1)

那么P(z)1+R1z,其中R1=cR/(n-c).

證明令P(z)=1+R1ω(z)，R1=cR/(n-c).則ω(z)在U內(nèi)解析, 且

ω(z)=bnzn+bn+1zn+1+…

我們要證明P(z)1+R1z,只需證明對所有zU，有.用反證法，假定不成立,則存在z0U{0}使得

根據(jù)引理1,存在實數(shù)k≥n≥1，使得

z0ω′(z0)=kω(z0).

則

這與式(1)相矛盾.因此可得P(z)1+R1z.

注1 在引理4中令n=1,可得文獻[3]中相關(guān)結(jié)果.當(dāng)n>1時，引理4改進了文獻[5]的引理2.1.

引理5 設(shè)≠0 是一個實數(shù),[0,1),P(z)H[1,n]和

P(z),

(2)

其中

M=Mn(,.

(3)

P(z)[1-+((1-β)p(z)+β)]1+Mz,

(4)

(5)

令P=P(z0)=u+iv,則由式(5)可得

2Re{P[1-+(β+(1-β)iρ)]}+1=

(u2+v2)2(1-β)2ρ2+2(1-β)vρ+

(u2+v2)2(1-β)2ρ2+2(1-β)vρ+

定義

G(ρ)=(u2+v2)2(1-β)2ρ2+2(1-β)vρ+

則W-M2≥G(ρ).

因為(u2+v2)2(1-β)2>0,不等式G(ρ)≥0對所有實數(shù)ρ成立，如果判別式

由式(2)可得

(6)

應(yīng)用式(6)、(2)和(3),經(jīng)過計算可得

因此Δ≤0,由此可得G(ρ)≥0對所有實數(shù)ρ成立,或者W≥M2,因此

這與式(4)矛盾,故引理5得證.

定理1 設(shè)>0,0<α

(7)

其中冪函數(shù)取主值，M=Mn(,pα,β)由式(3)定義,則f).

(8)

由式(7)和式(8)可得

(9)

P(z).

(10)

P(z)[1-+((1-β)p(z)+β)]1+Mz.

(11)

(12)

其中冪函數(shù)取主值，且

注2 在推論1和推論2中，令p=n=1,β=0，可得文獻[3]中相關(guān)結(jié)果;在推論1中令β=0,p=1,可得定理B或者文獻[5]中定理2.3;在推論1和推論2中，令p=α=1,n=2,β=0，可得定理A或者文獻[4]中定理2.

注意到

可得

(13)

其中

M3().

(14)

根據(jù)定理1,可得如下定理:

定理2 設(shè)>和0

(15)

在推論3中令p=1，可得如下推論:

(16)

注3 推論4改進了定理B或者文獻[5]的定理2.3;在推論4中令n=2,α=1,可得一個結(jié)果，此結(jié)果改進了定理A.

定理3 設(shè)≥1 和0

(17)

其中冪函數(shù)取主值，和

N=Nn(,α,γ)=

(18)

證明由0<γ≤1和≥1,有(,pα,0),根據(jù)定理1,得fS*(p,0).

(19)

由式(17)和式(19),可得

(20)

P(z)1+Nz.

(21)

因此由式(19)～(21)可得

即

P(z)qγ(z)1+Nz.

因為

根據(jù)式(21)和引理2,可得Req(z)>0,U.

P(z).

(22)

由式(20)和pα/(n-pα)≥1,可得

(23)

所以由式(22)和式(23)可得

即

P(z)qγ(z).

注4 在定理3中令p==1,可得定理C或者文獻[5]中的定理2.4.

[1] LIU Mingsheng. On certain sufficient condition for starlike functions[J]. Soochow J of Math,2003,29(4):407-412.

[2] ZHU Yucan. Some starlikeness criterions for analytic functions[J]. J Math Anal Appl, 2007,335(2):1452-1459.

[3] OBRADOVIC M. A class of univalent functions[J].Hokkaido Math J, 1998,27(2):329-335.

[4] SINGH V. On a class of univalent functions[J].Internat J Math Math Sci,2000,23(12):855-857.

[5] OBRADOVIC M,OWA S. Some sufficient conditions for strongly starlikeness[J].Internat J Math Math Sci,2000,24(9):643-647.

[7] 劉志文, 劉名生. 某類解析函數(shù)子類的性質(zhì)與特征[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2010(3):11-14.

[8] JACK I S. Functions starlike and convex of orderα[J]. J London Math Soc,1971,3:469-474.

[9] PONNUSAMY S,SINGH V. Criteria for strongly starlike functions[J].Complex Variables,1997,34:276-291.

LIU Mingsheng

(School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

2012-01-12

教育部博士點基金項目(20050574002)

*通訊作者：劉名生，教授,Email: liumsh@scnu.edu.cn.

1000-5463(2013)01-0014-05

O174.51

A

10.6054/j.jscnun.2012.12.002

【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文責(zé)編：肖菁】