宋傳靜， 吳健榮

(蘇州科技學院數(shù)理學院，江蘇蘇州 215011)

兩族漸近非擴張映射隱迭代序列收斂定理

宋傳靜， 吳健榮*

(蘇州科技學院數(shù)理學院，江蘇蘇州 215011)

研究一致凸Banach空間中兩族漸近非擴張映射的公共不動點逼近問題.構造關于兩族漸近非擴張映射的隱迭代序列，并在適當條件下，證明了該序列收斂到公共不動點的一些強弱收斂定理.

一致凸Banach空間； 漸近非擴張映射； 隱迭代序列； 公共不動點

本文假設E是一實Banach空間，D是E的非空子集,T:D→D是一個映射，記T的不動點集合為F(T).

GOEBEL等[1]在1972年引進了漸近非擴張映射，并證明如果D是實一致凸Banach空間E的非空閉凸子集，T是D上的漸近非擴張映射，則T在D中有不動點.

漸近非擴張映射的研究已取得了一定的成果[2-8].尤其是CHANG[7]研究了一族漸近非擴張映射的帶誤差的隱迭代序列，具體如下.

x1=α1x0+(1-α1)T1x1+u1,

x2=α2x1+(1-α2)T2x2+u2,

…

xN=αNxN-1+(1-αN)TNxN+uN,

…

…

其中，按如下形式

(1)

定義的迭代序列{xn}?D稱為一族漸近非擴張映射{T1,T2,…,TN}的隱迭代序列.并且關于上述2個序列的強弱收斂定理在文獻[7]也有所探討.

本文構造了一個關于兩族漸近非擴張映射的隱迭代序列，并證明了該序列的一些強弱收斂定理.

(2)

其中，n,k(n),i(n)與在式(1)中的意義相同.

1 預備知識

2 主要結果

首先，證明下面的引理.

(3)

因此

αnhk(n)-hk(n)+1=αn(1+μk(n))-μk(n)=

αn-(1-αn)μk(n)≥δ-(1-δ)μk(n)≥

因此

引理5 在引理4的假設下,如果有

則

又

故由引理2可得

(4)

而又由題設條件得

所以由式(4)可得

(5)

再由式(4)、(5)和

可得

(6)

而由式(5)、(6)和

又可得

因此

(7)

且由式(5)、(7)和

可得

(8)

n-N=((k(n)-1)-1)N+i(n)=

(k(n-N)-1)N+i(n-N),

即

k(n-N)=k(n)-1,i(n-N)=i(n).

又

其中

則由式(7)、(8)可得

(9)

并由此可得

又由式(5)和

可得

(10)

故同理可得

下面證明收斂定理.

定理1 在引理4的假設下，序列{xn}強收斂到{T1,T2,…,TN,S1,S2,…,SN}的公共不動點當且僅當

證明必要性顯然，下面只證充分性.

現(xiàn)在證明{xn}是D中的Cauchy列.由

及1+x≤ex(x≥0)可得

因此，當n≥N1，m≥1時有

即{xn}是D中的Cauchy列.

證明由引理5知

再由題設條件可知

其中s>0為常數(shù).因此由定理1知定理2成立.

定理3 在引理5的假設下，如果{T1,T2,…,TN,S1,S2,…,SN}滿足條件(B),則{xn}強收斂到{T1,T2,…,TN,S1,S2,…,SN}的公共不動點.

證明由引理5知

因此

定理4 在引理5的假設下，如果存在一個Tl或Sl(1≤l≤N)是半緊的，則{xn}強收斂到{T1,T2,…,TN,S1,S2,…,SN}的公共不動點.

證明不妨設T1是半緊的，因為{xn}有界且

由此可知

故

由定理1知定理4成立.

定理5 在引理5的假設下,如果存在一個Tl或Sl(1≤l≤N)是全連續(xù)的，則{xn}強收斂到{T1,T2,…,TN,S1,S2,…,SN}的公共不動點.

因此當i→∞時，

所以有

由此即知

定理6 在引理5的假設下,如果E滿足Opial’s條件,則{xn}弱收斂到{T1,T2,…,TN,S1,S2,…,SN}的公共不動點.

如果p≠p*,那么由題設條件可得

矛盾！因此p=p*.此定理得證.

[1] GOEBEL K, KIRK W A. A fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mappings[J]. Proc Amer Math Soc, 1972,35:171-174.

[2] XU B, NOOR M A. Fixed point iterations for asymptotically nonexpansive mappings in Banach space[J]. J Math Anal Appl, 2002,267:444-453.

[3] ZHOU Y Y, CHANG S S. Convergence of implicit iterative process for a fintte family of asymptotically nonexpansive mappings in Banach spaces[J]. Number Funct Anal and Optimiz, 2002,23:911-921.

[4] CHO Y J, ZHOU H, GUO G. Weak and strong convergence theorems for three-step iterations with errors for asymptotically nonexpansive mappings[J]. Comput Math Appl, 2004,47:707-717.

[5] GU Feng. Convergence of implicit iterative process with erroes for a finite family of asymptotically nonexpansive mappings[J]. Acta Math Sci, 2006,26:1131-1143.

[6] CHIDUME C E, ALI B. Weak and strong convergence theorems for finite families of asymptotically nonexpansive mapping in Banach spaces[J]. J Math Anal Appl, 2007,330:377-387.

[7] CHANG S S, TAN K K, LEE H W J. On the convergence of implicit iteration process with error for a finite family of asymptotically nonexpansive mappings[J]. J Math Anal Appl, 2006,313:273-283.

[8] GUO Weiping, CHO Y J. On the strong convergence of the implicit iterative processes with errors for a finite family of asymptotically nonexpansive mappings[J]. Applied Math Letters, 2008,21:1046-1052.

[9] OPIAL Z. Weak convergence of successive approximations for nonexpansive mapping[J]. Bull Amer Math Soc, 1967,73:591-599.

[10] CHIDUME C E, SHAHZAD N. Strong convergence of an implicit iteration process for a finite family of nonexpansive mappings[J]. Nonlinear Analysis, 2005,62:1149-1156.

[11] 李智,崔云安,張新. 漸進擬非擴張映射的三步迭代序列的收斂定理[J].哈爾濱商業(yè)大學學報:自然科學版,2009,25(2): 234-236.

[12] SITTHIKUL K, SAEJUNG S. Convergence theorems for a finite family of nonexpansive and asymptotically nonexpansive mappings[J]. Acta Univ Palack Olomu Math Appl, 2009,48:139-152.

Keywords： uniformly convex Banach space； asymptotically nonexpansive mapping； implicit iterative sequence； common fixed point

ConvergenceTheoremsforanImplicitIterationProcessofTwoFiniteFamiliesofAsymptoticallyNonexpansiveMappings

SONG Chuanjing, WU Jianrong*

(School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou, Jiangsu 215011,China)

The common fixed points of two finite families of asymptotically nonexpansive mappings are studied in real uniformly convex Banach spaces. An implicit iteration process defined by two finite families of asymptotically nonexpansive mappings is introduced. And some strong and weak convergence theorems to a common fixed point for this scheme are proved.

2011-10-14

國家自然科學基金項目(10972151)；江蘇省研究生培養(yǎng)創(chuàng)新工程項目(CXZZ11_0950)；蘇州科技學院研究生科研創(chuàng)新計劃(SKCX11S_054)

*通訊作者:吳健榮，教授，Email:jrwu@mail.usts.edu.cn.

1000-5463(2013)01-0027-05

O177

A

10.6054/j.jscnun.2012.12.005

【中文責編：莊曉瓊 英文責編：肖菁】