王鼎，姚暉，吳瑛

（解放軍信息工程大學(xué) 信息系統(tǒng)工程學(xué)院，河南 鄭州450002）

1 引言

眾所周知，陣列誤差自校正方法需要將信源波達(dá)方向(DOA, direction-of-arrival)和陣列誤差參數(shù)根據(jù)某種準(zhǔn)則進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)或聯(lián)合優(yōu)化[1～3]，其中聯(lián)合估計(jì)所涉及到的高維、多模非線性優(yōu)化問題往往會(huì)帶來龐大的運(yùn)算量，從而使得算法的實(shí)時(shí)性和頑健性較差，全局收斂性也難以得到保證。為了克服陣列誤差自校正方法中存在上述問題，一類所謂“秩減估計(jì)器(RARE, rank reduction estimator)[4～16]”引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，其主要優(yōu)勢在于能夠?qū)崿F(xiàn)陣列誤差參數(shù)和信源方位的聯(lián)合且“去耦合”估計(jì)，可避免迭代運(yùn)算和局部收斂等問題。例如，文獻(xiàn)[4,5]分別針對均勻線陣和均勻圓陣互耦矩陣的特殊結(jié)構(gòu)(Toeplitz結(jié)構(gòu))，提出了互耦自校正RARE；文獻(xiàn)[6～11]分別針對L字型陣、Y字型陣、十字型陣、均勻六邊形陣和圓環(huán)陣的互耦矩陣特性，提出了相應(yīng)的互耦自校正 RARE；文獻(xiàn)[12]提出了累量域互耦自校正 RARE；文獻(xiàn)[13]利用精確校正的輔助陣元提出了一種可用于校正“方位依賴”幅相誤差的RARE，該方法也稱為輔助陣元法(ISM，instrumental sensors method)；文獻(xiàn)[14,15]提出了多子陣部分陣列誤差的自校正RARE，其中的陣列誤差包括子陣與子陣之間的陣元位置誤差或幅相誤差等；文獻(xiàn)[16]則提出了多子陣互耦自校正RARE等。上述一系列RARE都能夠在一定條件下取得較好的效果，并且能夠有效避免陣列誤差自校正方法中的一些缺點(diǎn)。

根據(jù)文獻(xiàn)[4～16]中的討論可知，RARE可以看成是 MUSIC算法[17]的一種推廣，或者說 MUSIC算法是RARE在沒有陣列誤差條件下的一種特殊形式。由于MUSIC算法是一種最為重要的DOA估計(jì)算法，所以關(guān)于其方位估計(jì)性能的理論研究報(bào)道相對較多，例如，文獻(xiàn)[18,19]利用一階誤差分析方法推導(dǎo)了有限采樣影響下MUSIC算法的方位估計(jì)均方誤差；文獻(xiàn)[20,21]利用二階誤差分析方法推導(dǎo)了有限采樣影響下MUSIC算法的方位估計(jì)偏置等。由于RARE是MUSIC算法的一種推廣，鑒于其在陣列誤差自校正方法中的重要性，筆者已在文獻(xiàn)[22～24]中從不同方面推導(dǎo)了其性能，其中包括未預(yù)期模型誤差影響下 RARE的角度分辨性能[22]和DOA估計(jì)性能[23]，以及有限采樣影響下RARE的角度分辨性能[24]。為了保證研究工作的系統(tǒng)性和完整性，本文將從理論上分析有限采樣影響下RARE的DOA估計(jì)性能。與文獻(xiàn)[22～24]中的分析方法不同的是，本文將基于文獻(xiàn)[25]給出的信號(hào)(或噪聲)子空間正交投影矩陣的擾動(dòng)定理，分別推導(dǎo)了RARE的方位估計(jì)均方誤差、偏置以及測向成功概率的理論表達(dá)式，并針對文獻(xiàn)[4,5]中的均勻陣列互耦自校正RARE和文獻(xiàn)[13]中的輔助陣元法給出數(shù)值實(shí)驗(yàn)。

在討論主題前，這里先給出一些文中常用符號(hào)的定義：1)?表示矩陣的Kronecker積；2)vec(·)表示矩陣向量化算子；3) Nn(μ, C )表示均值(向量)為μ，方差(矩陣)為C的n維高斯分布，χ2(n,δ)表示自由度為n，非中心參數(shù)為δ的卡方分布；4)向量(或標(biāo)量)x˙(θ)、x˙(θ)和 ˙x˙(θ)分別表示向量(或標(biāo)量)x(θ)對θ求一階、二階和三階導(dǎo)數(shù)；5)o(ε)表示ε的高階無窮小，而 O (ε)表示ε的等價(jià)無窮小。

2 預(yù)備數(shù)學(xué)知識(shí)

為了描述文中理論推導(dǎo)，本節(jié)將引出若干預(yù)備命題，它們對于文中的理論分析起著重要的作用。

引理1[26]設(shè)實(shí)隨機(jī)變量 x ～ χ2(n,δ)，則其特征函數(shù)為

引理1的證明見文獻(xiàn)[26]。

命題 1 設(shè)n維實(shí)隨機(jī)向量 x ～ Nn( μ, In)，令A(yù) ∈ Rn×n為對稱矩陣，并且滿足rank[A] =m，假設(shè)A的m個(gè)非零特征值分別為 ρ1, ρ2,… ,ρm，相應(yīng)的單位正交特征向量分別為 e1, e2,… ,em，則高斯隨機(jī)向量二次型 y =xTAx的特征函數(shù)為

命題1的證明見附錄A。

命題2的證明見附錄B。

進(jìn)一步可得

命題3的證明見附錄C。

3 陣列信號(hào)模型和秩減估計(jì)器簡介

假設(shè)某陣列含有M個(gè)陣元，現(xiàn)在陣列遠(yuǎn)場處有D個(gè)非相干的窄帶信源以平面波的方式入射，則陣列的輸出響應(yīng)為

其中，T（θ）∈CM×K表示僅與方位θ有關(guān)的矩陣函數(shù)，這里將其按列分塊表示為 T （θ）=，而表示包含陣列誤差參數(shù)η的列向量。

根據(jù)式(7)可知陣列協(xié)方差陣為

其中， R0=BPBH為無噪條件下的陣列協(xié)方差陣，為信源協(xié)方差陣(當(dāng)信源統(tǒng)計(jì)獨(dú)立時(shí)，是對角矩陣；當(dāng)信源統(tǒng)計(jì)相關(guān)但不相干時(shí)，是正定矩陣)，σ2表示噪聲功率?，F(xiàn)對矩陣R進(jìn)行特征分解，其特征值按照由大到小的順序可假設(shè)為[17]

若令上述D個(gè)大特征值對應(yīng)的單位正交特征向量分別為 u1,u2,… ,uD，并記 U = [ u1u2…uD]，則理想條件下信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交投影矩陣分別為 Π = UUH和 Π⊥= IM-UUH，相應(yīng)地RARE 空域譜為[4～16, 22～24]

其中， W （θ ） = TH（θ） Π⊥T （ θ） ∈ CK×K。在參數(shù)滿足一定條件下[4～16]，信源方位可由下式精確獲得[4～16,22～24]

在實(shí)際計(jì)算中，由式(9)確定的理想?yún)f(xié)方差陣是無法得到的，只能通過有限采樣獲得它的一致(最大似然)估計(jì)值，其中N為樣本點(diǎn)數(shù)。若對R?進(jìn)行特征分解，則仍可得到D個(gè)較大特征值，假設(shè)它們對應(yīng)的單位正交特征向量分別為，并記，則有限采樣影響下信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交投影矩陣分別為和，相對應(yīng)的 RARE 空域譜為[4～16,22～24]

4 有限采樣影響下秩減估計(jì)器的方位估計(jì)性能分析

4.1 正交投影矩陣的擾動(dòng)分析及其統(tǒng)計(jì)特性

定理1[25]設(shè)由矩陣特征分解得到信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交投影矩陣分別為和，則有

其中，

定理 1的證明見文獻(xiàn)[25]，它實(shí)質(zhì)上給出了陣列協(xié)方差陣擾動(dòng)量與信號(hào)(或噪聲)子空間正交投影矩陣擾動(dòng)量之間的閉式關(guān)系，并且不難證明式(16)中的（n）是關(guān)于協(xié)方差陣擾動(dòng)量的n次矩陣函數(shù)，因此也可以看成是n階擾動(dòng)量，又因?yàn)?，所以有為了對RARE的方位估計(jì)性能進(jìn)行定量分析，本文首先基于定理1給出方位估計(jì)偏差與協(xié)方差陣擾動(dòng)量之間的顯式關(guān)系。然而，方位估計(jì)偏差可由不同階數(shù)的誤差擾動(dòng)量累加構(gòu)成，當(dāng)推導(dǎo)方位估計(jì)均方誤差時(shí)，通常采用一階誤差分析方法[18,19]得到方位估計(jì)偏差的一階擾動(dòng)量，它可表示為而相應(yīng)的均方誤差又可表示為但一階擾動(dòng)量的均值為零，所以一階誤差分析方法難以獲得方位估計(jì)偏置的閉式表示。為了得到方位估計(jì)偏置的表達(dá)式，必須采用二階誤差分析方法[20,21]推導(dǎo)方位估計(jì)偏差的二階擾動(dòng)量，它可表示為，而相應(yīng)的偏置又可表示為

為了便于理論分析，這里需要給出關(guān)于正交投影矩陣一階和二階擾動(dòng)量的統(tǒng)計(jì)特性。首先推導(dǎo)一階擾動(dòng)量的二階統(tǒng)計(jì)特性，根據(jù)文獻(xiàn)[25]可知矩陣中的元素服從聯(lián)合漸近高斯分布，并且滿足

于是有

結(jié)合式(19)可知其二階統(tǒng)計(jì)量為

式(21)的成立還利用了性質(zhì) Π⊥R S =O 。M

根據(jù)式(17)可得等式[25]

基于此可進(jìn)一步得

式(21)和式(23)分別對于推導(dǎo) RARE的方位估計(jì)均方誤差和偏置起著重要作用。

4.2 秩減估計(jì)器的方位估計(jì)均方誤差

本節(jié)將推導(dǎo)RARE的方位估計(jì)均方誤差。記

根據(jù)矩陣行列式的定義可知 RARE的空域譜為[22～24]

m

根據(jù)命題2可推得

其中， α （ θ）= α1（θ）+ α2（θ） ， α1（θ） 和 α2（θ） 的表達(dá)式分別為

此外， ?｛·｝ 是滿足式(33)的標(biāo)量函數(shù)：

根據(jù)式(21)和式(29)可得第m個(gè)信源的方位估計(jì)均方誤差為

2）受凍部位。凍害大多以主干凍傷為主，主要在地面以上30～50 cm，最高可達(dá)100 cm，一般樹體受凍部位多在樹干西北方向，向南方向凍害輕或未受凍。徐香等品種嫁接口及以上部位受凍嚴(yán)重。

為了便于4.4節(jié)中推導(dǎo)RARE的整體測向成功概率，這里還需要給出RARE的方位估計(jì)方差陣，不妨記方位估計(jì)偏差的一階擾動(dòng)向量為

則可得RARE的方位估計(jì)方差陣為

4.3 秩減估計(jì)器的方位估計(jì)偏置

本節(jié)將推導(dǎo)RARE的方位估計(jì)偏置?？紤]第m個(gè)信源的方位估計(jì)，設(shè)是對應(yīng)于真實(shí)方位θm的估計(jì)值，其二階擾動(dòng)量為，則有

根據(jù)命題3和一些代數(shù)推導(dǎo)可得

結(jié)合式(29)和式(36)可得

根據(jù)式(23)和式(38)可得第m個(gè)信源的方位估計(jì)偏置為

其中， γ（ θ） = γ1（θ） + γ2（θ） ，而 γ1（θ） 和γ2（θ） 的表達(dá)式分別為

4.4 秩減估計(jì)器的測向成功概率

除了方位估計(jì)均方誤差和偏置外，測向成功概率也是超分辨率譜估計(jì)算法的一項(xiàng)重要性能指標(biāo)，然而相關(guān)的理論研究報(bào)道并不多見，筆者曾在文獻(xiàn)[27]中推導(dǎo)了模型誤差影響下 MUSIC算法測向成功概率的計(jì)算公式，此外，還在文獻(xiàn)[23]中推導(dǎo)了未預(yù)期模型誤差影響下RARE的測向成功概率的計(jì)算公式，而本節(jié)則將基于文獻(xiàn)[23]和文獻(xiàn)[27]中的分析方法推導(dǎo)有限采樣影響下 RARE的測向成功概率。所不同的是，文獻(xiàn)[23]和文獻(xiàn)[27]中并未考慮方位估計(jì)偏置，而本文考慮了偏置的影響。

在推導(dǎo)RARE的測向成功概率之前，需要首先確定RARE方位估計(jì)偏差的分布特性，根據(jù)前面的討論可知其一階擾動(dòng)量服從漸近高斯分布，但其二階擾動(dòng)量的概率分布則很難嚴(yán)格推導(dǎo)。文獻(xiàn)[28,29]在推導(dǎo)高斯模型誤差影響下MUSIC算法的角度分辨概率和方位估計(jì)統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，根據(jù)李雅普諾夫中心極限定理認(rèn)為由模型誤差二次項(xiàng)構(gòu)成的分量也近似服從高斯分布，因此MUSIC算法的空域譜及其方位估計(jì)偏差也可近似認(rèn)為服從高斯分布。事實(shí)上，在有限采樣影響下，方位估計(jì)偏差的一階項(xiàng)仍占據(jù)主導(dǎo)地位，而二階項(xiàng)的討論可類似于文獻(xiàn)[28,29]中的分析方法，于是這里不妨將RARE的方位估計(jì)偏差也近似看作為服從漸近高斯分布，并且其方差陣為C (由一階誤差分析方法獲得)，而均值向量為μ (由二階誤差分析方法獲得)，即其方位估計(jì)偏差向量滿足需要指出的是，文獻(xiàn)[30]在推導(dǎo)有限采樣影響下 MUSIC算法的角度分辨概率時(shí)也曾做過類似的近似假設(shè)，于是能夠?qū)⒔嵌确直娓怕实挠?jì)算轉(zhuǎn)化為高斯概率密度函數(shù)的積分運(yùn)算，其中的仿真實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了其合理性，而本文第5節(jié)的仿真實(shí)驗(yàn)也將驗(yàn)證上述高斯假設(shè)的有效性。本文在明確RARE方位估計(jì)偏差分布特性的基礎(chǔ)上，下面將采用文獻(xiàn)[23]和文獻(xiàn)[27]中給出的關(guān)于“測向成功”的定義方式，分別推導(dǎo)針對單個(gè)信源和針對整體的測向成功概率。

4.4.1 針對單個(gè)信源的測向成功概率

定義 1[23,27]對于第m個(gè)信源，若滿足條件則認(rèn)為是“測向成功”。

定義 1中的Δθ表示角度誤差容限，根據(jù)前面的討論可近似認(rèn)為于是第m個(gè)信源的測向成功概率為

4.4.2 針對整體的測向成功概率

定義2[23,27]若滿足條件“則認(rèn)為是“第一類整體測向成功”。

顯然，為了計(jì)算第一類整體測向成功概率需要明確D個(gè)信源方位估計(jì)偏差的聯(lián)合概率密度函數(shù)，根據(jù)前面的分析可知隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)可近似表示為

于是第一類整體測向成功概率為

式(46)實(shí)質(zhì)上是立方體上的高維積分問題，它可通過數(shù)值積分的方法獲得其數(shù)值解。

定義3[23,27]若滿足條件“則認(rèn)為是“第二類整體測向成功”。

其中， ε = D （Δθ ）2，而是的特征函數(shù)，它是計(jì)算整體測向成功概率的關(guān)鍵。假設(shè)矩陣C的D個(gè)非零特征值分別為 ρ1, ρ2,… ,ρD，相應(yīng)的單位正交特征向量分別為 e1, e2,… ,eD，則根據(jù)命題1可得

其中，

顯然，式(49)中的積分只能通過數(shù)值計(jì)算的方法獲得其數(shù)值解，為了計(jì)算該數(shù)值解，還需要考慮其中的積分函數(shù)在 t → 0 和t→+∞時(shí)的數(shù)值。首先根據(jù)洛必達(dá)法則容易驗(yàn)證

當(dāng)t→+∞時(shí)，由于積分函數(shù)的分子有界，分母將按照遞增的方式趨于無窮大，因此該積分函數(shù)將以較快的速度趨于零，于是在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，只需要將積分上限設(shè)置為一個(gè)足夠大的正數(shù)即可。至此，可給出計(jì)算第二類整體測向成功概率的計(jì)算方法。

步驟 1 利用式(35)計(jì)算矩陣C，根據(jù)式(42)計(jì)算向量μ。

步驟3 根據(jù)特征向量計(jì)算標(biāo)量因子δk=

步驟4 利用數(shù)值積分的方法計(jì)算式(49)。

至此，本節(jié)已經(jīng)給出了針對單個(gè)信源的測向成功概率和兩類整體測向成功概率的計(jì)算方法，而根據(jù)文獻(xiàn)[23]和文獻(xiàn)[27]中的討論可知：1)第一類整體測向成功概率一定不大于單個(gè)信源的測向成功概率；2)第一類整體測向成功概率必然小于第二類整體測向成功概率，這些結(jié)論由它們的定義方式所決定。下面將通過一系列仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證文中理論推導(dǎo)的有效性。

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

這里先做以下幾點(diǎn)說明：1)下面是針對文獻(xiàn)[4,5]提出的均勻陣列互耦自校正RARE和文獻(xiàn)[13]提出的輔助陣元法給出的數(shù)值實(shí)驗(yàn)；2)盡管 MUSIC算法也是一種特殊的RARE，但在下文的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中都同時(shí)給出了RARE和MUSIC算法的性能曲線，并且若不做特殊說明，下文的MUSIC算法是在不存在任何陣列誤差的條件下進(jìn)行的；3)計(jì)算測向成功概率的誤差容限Δθ均設(shè)為0.5o；4)文中所有仿真圖中的連續(xù)曲線都是理論預(yù)測值，即根據(jù)文中的理論推導(dǎo)計(jì)算所得，而離散點(diǎn)都是仿真實(shí)驗(yàn)值(2 000次Monte Carlo獨(dú)立實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果)。

5.1 針對僅存在單個(gè)信源的仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)將針對文獻(xiàn)[5]提出的均勻圓陣互耦自校正RARE給出數(shù)值實(shí)驗(yàn)，假設(shè)陣列流型為八元均勻圓陣，并且相鄰3個(gè)陣元之間產(chǎn)生互耦效應(yīng)，即文中的 3K= ，其互耦因子分別為1、0.12-0.18i和-0.05+0.06i，現(xiàn)僅有單個(gè)信源到達(dá)該陣列，信源方位為50o。首先，固定半徑波長比為1，圖1分別給出了RARE和MUSIC算法的方位估計(jì)均方根誤差、偏置以及測向成功概率隨著信噪比的變化曲線；接著，固定信噪比為10dB，圖2分別給出了RARE和MUSIC算法的方位估計(jì)均方根誤差、偏置以及測向成功概率隨著半徑波長比的變化曲線。

從圖1和圖2中可以得到如下結(jié)論：1)在上述數(shù)值實(shí)驗(yàn)條件下，3種性能參數(shù)的理論值和仿真實(shí)驗(yàn)值能夠較好地吻合，從而驗(yàn)證了文中理論推導(dǎo)的有效性；2)無論RARE還是MUSIC算法，它們的方位估計(jì)精度都隨著信噪比和采樣點(diǎn)數(shù)的增大而提高；3)對于 MUSIC算法而言，其方位估計(jì)精度隨著半徑波長比的增大而提高，但對于RARE而言，其方位估計(jì)精度的變化規(guī)律則復(fù)雜得多，3種性能參數(shù)并不是簡單地關(guān)于半徑波長比的單調(diào)函數(shù)，在上述數(shù)值實(shí)驗(yàn)條件下，當(dāng)半徑波長比從0.8增至0.9時(shí)，RARE的性能會(huì)迅速下降，而當(dāng)半徑波長比大于0.9時(shí)，RARE的性能又會(huì)迅速提高，這一特性由RARE復(fù)雜的空域譜函數(shù)所決定；4)在上述數(shù)值實(shí)驗(yàn)條件下，MUSIC算法的方位估計(jì)偏置都接近于零，然而RARE卻并非如此，從圖1(b)中可以看出，當(dāng)半徑波長比固定為 1時(shí)，若信噪比低于 12dB，RARE就會(huì)存在偏置，而從圖2(b)中可以看出，當(dāng)信噪比固定10dB時(shí)，RARE會(huì)在半徑波長比取值范圍為0.8～1之間產(chǎn)生一定偏置；5)在上述數(shù)值實(shí)驗(yàn)條件下，MUSIC算法的方位估計(jì)精度在絕大多數(shù)情況下優(yōu)于RARE，但從圖2(a)中可以看出，當(dāng)信噪比固定10dB且半徑波長比大于1.2時(shí)，RARE的方位估計(jì)均方誤差卻略小于MUSIC算法。

圖1 方位估計(jì)均方根誤差、方位估計(jì)偏置、測向成功概率隨信噪比的變化

圖2 方位估計(jì)均方根誤差、方位估計(jì)偏置、測向成功概率隨半徑波長比的變化

這一結(jié)論似乎有悖于常理，但仔細(xì)分析則并非如此。正如本節(jié)開頭所指，文中的MUSIC算法是在沒有任何陣列誤差的條件下進(jìn)行的，在此處就是指沒有互耦效應(yīng)，因此RARE和MUSIC算法所處理的數(shù)據(jù)模型是不同的，所以在某些參數(shù)條件下RARE的方位估計(jì)均方誤差反而小于MUSIC算法是有可能出現(xiàn)的。事實(shí)上，若RARE與互耦存在的已知的MUSIC算法進(jìn)行比較，則根據(jù)信息論原理可知前者的性能將始終低于后者，因?yàn)榇藭r(shí)它們兩者所處理的數(shù)據(jù)模型是一樣的，這里不妨將RARE和互耦存在且已知的MUSIC算法進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)條件同圖2(b)，并將采樣點(diǎn)數(shù)固定為300，表1給出了它們的方位估計(jì)均方根誤差的理論數(shù)值，從表中可以看出RARE的方位估計(jì)均方根誤差始終大于互耦存在的已知的MUSIC算法。

表1 方位估計(jì)均方根誤差的理論數(shù)值

5.2 針對存在2個(gè)信源的仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)首先針對文獻(xiàn)[4]提出的均勻線陣互耦自校正RARE給出數(shù)值實(shí)驗(yàn)，假設(shè)陣列流型為九元均勻線陣，相鄰陣元間距與波長比為0.5，并且相鄰3個(gè)陣元之間產(chǎn)生互耦效應(yīng)，其互耦因子同上，現(xiàn)有2個(gè)等功率相關(guān)但不相干信源到達(dá)該陣列，它們的相關(guān)系數(shù)為iπ6

0.1e ，信源方位(指與線陣夾角)分別為 64o和 82o，采樣點(diǎn)數(shù)為 500。圖 3分別給出了RARE和MUSIC算法的方位估計(jì)均方根誤差、偏置、針對單個(gè)信源的測向成功概率和整體測向成功概率隨著信噪比的變化曲線。

接著針對文獻(xiàn)[13]提出的輔助陣元法給出數(shù)值實(shí)驗(yàn)，假設(shè)陣列流型為六元均勻線陣，相鄰陣元間距與波長比為0.5，其中前4個(gè)陣元為輔助陣元，即不存在任何幅相誤差，并且陣元的幅度因子均設(shè)為1，相位因子均設(shè)為0o，而后2個(gè)陣元存在方位依賴的幅相誤差，現(xiàn)有2個(gè)等功率相關(guān)但不相干信源到達(dá)該陣列，它們的相關(guān)系數(shù)為iπ60.1e ，信源方位(指與線陣夾角)分別為65o和85o，并且后2個(gè)陣元對應(yīng)信源1的幅度因子為1.32和0.78，相位因子為28.7o和-23.8o，對應(yīng)信源2的幅度因子為0.86和1.25，相位因子為-14.6o和16.5o，采樣點(diǎn)數(shù)仍設(shè)為500。圖4分別給出了RARE和MUSIC算法的方位估計(jì)均方根誤差、偏置、針對單個(gè)信源的測向成功概率和整體測向成功概率隨著信噪比的變化曲線。

圖3 方位估計(jì)均方根誤差、方位估計(jì)偏置、單信源的測向成功率、整體測向成功率隨信噪比的變化

圖4 方位估計(jì)均方根誤差、方位估計(jì)偏置、單信源的測向成功率、整體測向成功率隨信噪比的變化曲線

從圖3和圖4中可以得到如下結(jié)論：1)在上述數(shù)值實(shí)驗(yàn)條件下，3種性能參數(shù)的理論值和仿真實(shí)驗(yàn)值仍能較好地吻合，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了文中理論推導(dǎo)的有效性；2)無論是RARE還是MUSIC算法，它們的方位估計(jì)精度仍都隨著信噪比的增大而提高；3)在上述數(shù)值實(shí)驗(yàn)條件下，MUSIC算法的方位估計(jì)精度始終優(yōu)于 RARE；4)在上述數(shù)值實(shí)驗(yàn)條件下，當(dāng)信噪比較低時(shí)，RARE會(huì)產(chǎn)生一些偏置，然而MUSIC算法的偏置則仍基本接近于零，只是在圖3(b)中，當(dāng)信噪比小于3dB時(shí)，MUSIC算法會(huì)有約 0.01o的偏置，事實(shí)上，無論是 RARE還是MUSIC算法，當(dāng)參數(shù)條件往壞的方向發(fā)展時(shí)，它們都會(huì)逐漸產(chǎn)生偏置，只是相比而言，RARE更容易出現(xiàn)偏置；5)第一類整體測向成功概率始終不會(huì)高于單個(gè)信源的測向成功概率，并且第一類整體測向成功概率始終小于第二類整體測向成功概率，這一結(jié)論符合文獻(xiàn)[23]和文獻(xiàn)[27]中的分析結(jié)果。

最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)反映信源相關(guān)系數(shù)對RARE性能的影響，第1個(gè)實(shí)驗(yàn)的仿真條件基本同圖3，只是固定信噪比為15dB，圖5給出了RARE的方位估計(jì)均方根誤差隨著信源相關(guān)系數(shù)幅度因子和相位因子的變化曲面。第2個(gè)實(shí)驗(yàn)的仿真條件基本同圖 4，固定信噪比仍為 15dB，圖 6給出了RARE的方位估計(jì)均方根誤差隨著信源相關(guān)系數(shù)幅度因子和相位因子的變化曲面。

從圖5和圖6中不難看出：相關(guān)系數(shù)的相位因子對RARE性能的影響非常小，但相關(guān)系數(shù)的幅度因子對RARE的性能會(huì)產(chǎn)生一定影響，尤其當(dāng)幅度因子大于0.8時(shí)，RARE的性能會(huì)迅速惡化，這是由于相關(guān)系數(shù)的幅度因子決定了兩信源之間的相關(guān)性，這一變化規(guī)律與MUSIC算法也是一致的(它們都是基于子空間技術(shù)提出的算法)。

6 結(jié)束語

本文從理論上定量分析了有限采樣影響下RARE的方位估計(jì)性能，基于文獻(xiàn)[25]中給出的信號(hào)(或噪聲)子空間正交投影矩陣的擾動(dòng)定理，推導(dǎo)了RARE方位估計(jì)偏差的一階和二階擾動(dòng)量，在此基礎(chǔ)上分別給出了其方位估計(jì)均方誤差、偏置以及測向成功概率的理論表達(dá)式。針對文獻(xiàn)[4,5]中的均勻陣列互耦自校正RARE和文獻(xiàn)[13]中的輔助陣元法給出了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的有效性。本文的結(jié)論對于RARE的工程應(yīng)用具有一定指導(dǎo)意義。

圖5 第1個(gè)實(shí)驗(yàn)下，方位估計(jì)均方根誤差隨著相關(guān)系數(shù)的變化曲面

圖6 第2個(gè)實(shí)驗(yàn)下，方位估計(jì)均方根誤差隨著相關(guān)系數(shù)的變化曲面

附錄A 對命題1的證明

附錄A將對命題1進(jìn)行簡單證明。先對矩陣A進(jìn)行特征分解可得，于是有

又因?yàn)橄嗷オ?dú)立隨機(jī)變量和的特征函數(shù)等于各自特征函數(shù)的乘積，所以隨機(jī)變量y的特征函數(shù)可由式(2)確定。

附錄B 對命題2的證明

式(4)可通過數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，當(dāng) K = 2 時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng) K = n -1時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)K = n 時(shí)可得

根據(jù)式(55)可知當(dāng)K n= 時(shí)式(4)成立，因此命題2成立。

附錄C 對命題3的證明

式(6)的證明過程類似于式(4)，可通過數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，鑒于篇幅考慮這里不再詳細(xì)描述。

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