方一博，金 濤，屈世顯

（陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安710062）

亞穩(wěn)態(tài)存在于真實(shí)的大腦記憶中［1－4］，同時對人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用也起著非常重要的作用．例如，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可用于聯(lián)想記憶和模式識別［5－7］，但由于亞穩(wěn)態(tài)的存在可能會導(dǎo)致記憶失敗和識別錯誤［8－10］．所以對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的亞穩(wěn)態(tài)的研究一直是人們比較關(guān)注的問題．

目前，在真實(shí)大腦中對亞穩(wěn)態(tài)的研究集中在臨界過程［2－4］，如臨界分支過程［2］．在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中以對稱網(wǎng)絡(luò)為主，研究亞穩(wěn)態(tài)的結(jié)構(gòu)［11］和數(shù)目［12］，尤其是當(dāng)記憶模式為3個時，系統(tǒng)中亞穩(wěn)態(tài)的結(jié)構(gòu)和數(shù)目可通過群論方法準(zhǔn)確得出［13］，但是當(dāng)網(wǎng)絡(luò)存儲率較大時這種方法不適用，更為嚴(yán)重的是亞穩(wěn)態(tài)的產(chǎn)生機(jī)制至今沒有得到有效的解決［14］．另外，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用方面，人們關(guān)注于如何降低亞穩(wěn)態(tài)的影響．研究表明由于網(wǎng)絡(luò)的高對稱性導(dǎo)致系統(tǒng)中存在更多的亞穩(wěn)態(tài)，因此可通過增加網(wǎng)絡(luò)的不對稱度以降低亞穩(wěn)態(tài)的影響［8］，即設(shè)計(jì)不對稱網(wǎng)絡(luò)．

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明大腦網(wǎng)絡(luò)呈非對稱連接［1］．對于實(shí)際應(yīng)用來說非對稱神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也更有優(yōu)勢．例如對聯(lián)想記憶，非對稱網(wǎng)絡(luò)可以特定的學(xué)習(xí)規(guī)則直接控制與記憶模式對應(yīng)的吸引子的吸引域從而提高記憶模式的穩(wěn)定性［9－10］、降低亞穩(wěn)態(tài)的影響．目前有兩種學(xué)習(xí)方法可以滿足上述要求，一是感知機(jī)學(xué)習(xí)規(guī)則［8］，另一個是蒙特卡羅優(yōu)化選擇變異（MCA）學(xué)習(xí)規(guī)則［10］．

本文以廣義感知機(jī)學(xué)習(xí)規(guī)則設(shè)計(jì)的單層反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)，研究系統(tǒng)中亞穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)定性及相空間位置．

1 模型

單層反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是典型的多體非線性相互作用系統(tǒng)，其動力學(xué)演化方程為

其中，Si（t）表示神經(jīng)元i在t時刻的狀態(tài)；Jij表示神經(jīng)元i與神經(jīng)元j之間的相互作用類型（抑制或促進(jìn)）及強(qiáng)度；局域場hi（t）表示t時刻其它神經(jīng)元對神經(jīng)元i的作用總和；sgn（hi（t））表示神經(jīng)元i對輸入信號的響應(yīng)，本文采用符號函數(shù)，意味著神經(jīng)元只有＋1或－1兩個狀態(tài)；N表示系統(tǒng)中神經(jīng)元的個數(shù)．在t時刻，整個系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)由所有神經(jīng)元的狀態(tài)決定，表示為｛Si（t），i＝1，…，N｝．對由（1）式描述的系統(tǒng)來說，其動力學(xué)行為由相互作用矩陣J決定．

2 網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的目標(biāo)是尋找合適的相互作用矩陣J，使給定的p個系統(tǒng)狀態(tài)設(shè)計(jì)成為由（1）式所描述的系統(tǒng)的不動點(diǎn)吸引子，這些系統(tǒng)狀態(tài)被稱為記憶模式，表示為｛ξμi｝（i＝1，…，N，μ＝1，…，p）．要使這些記憶模式成為系統(tǒng)的不動點(diǎn)吸引子，需滿足條件［15］

其中κ＞0，為控制參數(shù)，且κ越大，吸引子的穩(wěn)定性越高［10］．

對于hμi＝κ的特殊情形，本文采用廣義感知機(jī)學(xué)習(xí)規(guī)則的弛豫形式［8，15］，其表達(dá)式為

其中m表示迭代次數(shù)．網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)過程為：選擇控制參數(shù)κ，并用［－1，1］之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)初始化相互作用矩陣，使矩陣元素滿足條件

然后按照（3）式進(jìn)行迭代，整個過程需保證（4）式始終成立，直至所有記憶模式都滿足條件｜hμi－κ｜＜10－6．

3 數(shù)值結(jié)果及討論

圖1 亞穩(wěn)態(tài)出現(xiàn)概率隨控制參數(shù)κ的變化Fig．1 The probability of metastable states with different control parameterκ

對設(shè)計(jì)好的網(wǎng)絡(luò)，隨機(jī)選取初始狀態(tài)使其按（1）式進(jìn)行演化直至收斂．將最終沒有收斂到記憶模式所對應(yīng)的吸引子｛ξμi｝或其鏡像｛－ξμi｝（i＝1，…，N，μ＝1，…，p）上的狀態(tài)稱為系統(tǒng)的亞穩(wěn)態(tài)．我們計(jì)算了在不同κ值下亞穩(wěn)態(tài)出現(xiàn)的概率Ptotal．圖1給出在參數(shù)N＝1 000，p＝3的情況下Ptotal隨κ的變化情況．從圖中可以看出，當(dāng)參數(shù)κ≤2．3時，系統(tǒng)中亞穩(wěn)態(tài)出現(xiàn)的概率Ptotal＝0，這是因?yàn)殡S機(jī)選取的初始狀態(tài)經(jīng)系統(tǒng)演化后沒有收斂或收斂到記憶模式所對應(yīng)的吸引子上而造成的，因此在該參數(shù)區(qū)間內(nèi)不存在亞穩(wěn)態(tài)；當(dāng)參數(shù)κ＞2．3時，Ptotal＞0且隨參數(shù)κ的增大而增加，此時系統(tǒng)中出現(xiàn)亞穩(wěn)態(tài)，這意味著可選取較大的參數(shù)κ，以找出更多的亞穩(wěn)態(tài)進(jìn)行研究．

首先研究反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中亞穩(wěn)態(tài)的相空間位置．我們選取參數(shù)κ＝4，記憶模式p分別為30、40和50的情況下，計(jì)算亞穩(wěn)態(tài)和記憶模式（基態(tài)）之間的漢明距離．圖2給出漢明距離的分布情況，由圖可以看出漢明距離以0．5為中心呈對稱分布，并且隨記憶模式增加其分布趨于集中．由此可知，該系統(tǒng)中的亞穩(wěn)態(tài)集中出現(xiàn)在與各記憶模式近似相等的位置．

圖2 不同記憶模式下漢明距離的概率分布Fig．2 The probability distribution of Hamming Distance under different p

為研究亞穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)定性，我們計(jì)算它們的能量．對于由感知機(jī)學(xué)習(xí)規(guī)則設(shè)計(jì)的非對稱網(wǎng)絡(luò)，在p有限且滿足熱力學(xué)極限的條件下，由于隨機(jī)選取的記憶模式相互正交且線性無關(guān)，因此滿足條件＝κ的相互作用矩陣可分解為

其中Jdij由Hebb學(xué)習(xí)規(guī)則

得到，為對稱矩陣［17－18］，因此可定義能量函數(shù)［19－20］

選取參數(shù)κ＝4，記憶模式p分別為30、40和50的情況下，根據(jù)（5）式計(jì)算亞穩(wěn)態(tài)和基態(tài)的能量之比．圖3給出p＝30的情況下能量比的分布情況．p為40和50的情形與p＝30的能量比分布完全相同．

圖3 控制參數(shù)為κ＝4的情況下能量比的概率分布Fig．3 The probability distribution of energy ratio withκ＝4

由圖可知，在不同存儲率（α＝p／N）下亞穩(wěn)態(tài)和基態(tài)的能量之比由于參數(shù)κ的控制而呈現(xiàn)出相同的分布，又由于系統(tǒng)中所有基態(tài)的能量相等，因此系統(tǒng)中亞穩(wěn)態(tài)的能量有相同的分布．這說明即使在不同存儲率下，由于參數(shù)κ對亞穩(wěn)態(tài)的有效控制使其表現(xiàn)出近似相同的穩(wěn)定性．為進(jìn)一步說明參數(shù)κ對亞穩(wěn)態(tài)穩(wěn)定性的影響，我們在同一存儲率下（p＝10）選取不同的參數(shù)κ，計(jì)算亞穩(wěn)態(tài)和基態(tài)的能量之比．其分布如圖4所示．可以看出對于不同的控制參數(shù)κ，能量比呈現(xiàn)出不同的分布情形，即亞穩(wěn)態(tài)在不同參數(shù)下顯示出不同的穩(wěn)定性．另外，從圖4還可看出，在記憶模式p＝10的情況下，隨參數(shù)κ的增加，能量比的分布向左偏移，這意味著亞穩(wěn)態(tài)與記憶模式的能量比變小，即亞穩(wěn)態(tài)與記憶模式的差別變大．對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用來說更有利于對記憶模式的識別．

圖4 不同控制參數(shù)κ情況下能量比的分布Fig．4 The probability distribution of energy ratio with differentκ

4 結(jié)論

本文以感知機(jī)學(xué)習(xí)規(guī)則設(shè)計(jì)的非對稱反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為例，研究亞穩(wěn)態(tài)在相空間中的位置及其穩(wěn)定性．通過計(jì)算亞穩(wěn)態(tài)與記憶模式之間的漢明距離，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中的亞穩(wěn)態(tài)集中分布在與各記憶模式近似等距離的位置，并隨存儲率的增加更趨集中．并通過計(jì)算不同存儲率下系統(tǒng)的亞穩(wěn)態(tài)與基態(tài)的能量比，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中的亞穩(wěn)態(tài)表現(xiàn)出近似相同的穩(wěn)定性，得出亞穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)定性依賴于控制參數(shù)．

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