錢鏡伊, 李同興

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210046)

具有球?qū)ΨQ性的三維熱傳導(dǎo)方程解的相關(guān)性質(zhì)

錢鏡伊, 李同興

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210046)

對于具有球?qū)ΨQ性的三維熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行求解,并分析證明解的唯一性、穩(wěn)定性、漸進(jìn)性, 最后給出相應(yīng)方程的傅里葉變換求解方法.

唯一性; 穩(wěn)定性; 漸進(jìn)性; 傅里葉變換

0 引言

當(dāng)物體內(nèi)的溫度分布只依賴于一個空間坐標(biāo),而且溫度分布不隨時間而變時,熱量只沿溫度降低的一個方向傳遞,這稱為一維定態(tài)熱傳導(dǎo).此時的熱傳導(dǎo)可用下式描述:

式中q為熱量通量;T為溫度;x為熱傳遞方向的坐標(biāo);λ為熱導(dǎo)率.此式表明q正比于溫度梯度dT,但熱流方向與溫度梯度方向相反.此規(guī)律由法國物理學(xué)家傅里葉于1822年首先發(fā)現(xiàn)的熱傳導(dǎo)公式,故稱為傅里葉定律.

本文對于具有球?qū)ΨQ性的三維熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行研究,由于受解波動方程求平均法[1]的啟發(fā),利用球平均法進(jìn)行降維,從而可以解出其古典解,并分析解的相關(guān)性質(zhì).

1 預(yù)備知識

1.1 分離變量法

分離變量法是將一個偏微分方程分解為兩個或多個只含一個變量的常微分方程,即將方程中含有各個變量的項分離開來,從而將原方程拆分成多個更簡單的只含一個自變量的常微分方程.運(yùn)用線性疊加原理,將非齊次方程拆分成多個齊次的或易于求解的方程.利用高數(shù)知識、級數(shù)求解知識,以及其他巧妙的方法,求出各個方程的通解,最后將這些通解“組裝起來”.

1.2 極值原理[1]

設(shè)u(x,t)在矩形RT{α≤x≤β,0≤t≤T}上連續(xù),并且在矩形上連續(xù),并且在矩形內(nèi)部滿足熱傳導(dǎo)方程(1),則它在矩形的兩個側(cè)邊(x=α,及x=β,0≤t≤T)及底邊(t=0,α≤x≤β)上取得最大值和最小值.換言之,如果以 表示 的兩側(cè)邊及底邊所組成的邊界曲線(統(tǒng)稱為拋物邊界),那么成立著

1.3 傅里葉變換[1]

設(shè)f(x)是定義在(-∞,∞)上的函數(shù),它在[-l,l]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),有

就有

稱g(λ)為f(x)的傅里葉變換,記為F(f);稱f(x)為g(λ)的傅里葉逆變換,記為F-1(g).當(dāng)f(x)在(-∞,∞)上連續(xù)可導(dǎo)且絕對可積時,它的傅里葉變換存在,且其逆變換等于f(x).

2 主要結(jié)論與證明

定理1 對形如下列方程組

(*)

的初邊值問題(1)～(4)的形式解為

再對上述方程組進(jìn)行v=ru變換,

(1)

t=o:v=rφ(x)

(2)

r=0:v=0

(3)

r=l:vx+hv=0

(4)

利用初值問題分離變量法可得到(1)～(4)的形式解為

下面我們首先用分離變量法求解

T′+λa2T=0

(5)

X″+λX=0

(6)

先考慮(6).根據(jù)邊界條件(3),(4),X(r)應(yīng)當(dāng)滿足邊界條件

X(0)=0,X′(l)+hX(l)=0

(7)

對于邊值問題(6),(7),討論可得

(i) 當(dāng)λ≤0時,只有平凡解X≡0;

(ii) 當(dāng)λ>0時,

(8)

利用邊界條件X(0)=0,得A=0.于是由(7)的第二個邊界條件得到

(9)

為使X(r)為非平凡解,λ應(yīng)滿足

(10)

即λ應(yīng)是超越方程的正解:

(11)

令

(12)

則式(11)變?yōu)?/p>

(13)

(14)

及相應(yīng)的固有函數(shù)

(15)

把λ=λk代入方程(5),可得

Tk(t)=Cke-a2λkt(k=1,2,3,…)

(16)

于是得到一列可分離變量的特解

(17)

由于方程(1)及邊界條件(3),(4)都是其次的,故可利用疊加原理構(gòu)造級數(shù)形式的解

(18)

由(3)為使t=0,v(r,t)=φ(r)r應(yīng)成立.

(19)

設(shè)固有函數(shù)Xn和Xm分別對應(yīng)于不同的固有值λn和λm,即

以Xm和Xn分別乘上面第一和第二式,相減后在[0,l]上積分,利用Xn和Xm都滿足邊界條件(3),(4),就得到

由于λn≠λm,故得固有函數(shù)系的正交性:

(20)

記

(21)

(22)

將它代入(18)式,就得到初邊值問題(1)～(4)的形式解為

(23)

定理2 形如(1)～(4)柯西問題在有界函數(shù)類中的解是唯一的,而且連續(xù)依賴于所給的初始條件.

證明先證明有界解的唯一性.假設(shè)柯西問題(1)～(4)有兩個有界解v1及v2,則其差為v=v1-v2仍滿足(1)～(4)及零初始條件v(r,t)=0 (0≤r≤∞),我們證明,在整個區(qū)域t≥0, 0≤r≤∞上v≡o.盡管函數(shù)v是有界的:|v|≤2B,但由于區(qū)域是無界的,函數(shù)v(r,t)可能在任何地方都達(dá)不到它的最大值與最小值,因此我們不能直接應(yīng)用前面的極值原理.

為了應(yīng)用極值原理來證明唯一性,對于上半平面的任何一點(diǎn)(r0,t0),t0>0,我們考慮下面的矩形區(qū)域

R0:0≤t≤t0,|r-r0|≤L

其中L是一個任意給定的正數(shù).作函數(shù)

W(r0±L,t)=2B≥v(r0±L,t)

因此在R0的下底及側(cè)邊上成立著不等式

W(r,t)≥v(r,t)

下面我們證明柯西問題的有界解對初始條件的連續(xù)依賴性.為此,只需證明當(dāng)|φ=(x)|≤η時,在整個區(qū)域t≥0,0≤r<∞上|v(r,t)|≤η.

同樣考慮第一象限任一點(diǎn)(r0,t0),t0>0

R0:0≤t≤t0,|r-r0|≤L,

其中L是一個任意給定的正數(shù).

W(r0±L,t)=2B≥v(r0±L,t)

因此在R0的下底及側(cè)邊上成立著不等式W(r,t)≥v(r,t),于是由定理2.1知在區(qū)域R0上也成立著W(r,t)≥v(r,t),即

(24)

v(r,0)=rφ(r)=Ψ(r)

(25)

(26)

由(25)得到

(27)

解帶參數(shù)λ的常微分方程的柯西問題.它的解為

(28)

函數(shù)e-a2λ2t的傅里葉變換為:

利用復(fù)變函數(shù)的積分計算知

利用性質(zhì) 2 ,f1(x)和f2(x)的卷積的傅里葉變換等于f1(x)和f2(x)的傅里葉變換的乘積,即F[f1*f2]=F[f1]·F[f2].由(28)可得到柯西問題(24)～(25)的解為

并記

(29)

其中C為一個僅與a及‖Ψ‖L′(R)有關(guān)的正常數(shù)

傅里葉變換的應(yīng)用提出了許多需要在數(shù)學(xué)上認(rèn)真加以研究的問題,這當(dāng)中的不少問題在廣義函數(shù)論和傅里葉分析理論中得到了解答,同時它為解方程提供了新思路,成為用來的解方程的有力工具.

[1] 谷超豪, 李大潛, 陳恕行,等. 數(shù)學(xué)物理方程[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社.

[2] Evans L C. Partial Differential Equations[M]. New York, Proc of AMC,1998.

[3] 丁同仁, 李承治. 常微分方程教程[M]. 2版. 北京: 等教育出版社.

[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析[M]. 上冊, 3版. 北京: 高等教育出版社.

[5] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析[M]. 下冊, 3版. 北京: 高等教育出版社.

[6] 郇中丹, 黃海洋. 偏微分方程高[M]. 北京: 高等教育出版社.

[7] 張恭慶, 林源渠. 泛函分析講[M]. 上冊. 北京: 北京大學(xué)出版社.

[8] 張恭慶, 林源渠. 泛函分析講[M]. 下冊. 北京:北京大學(xué)出版社.

[9] 程其襄, 張奠宙, 魏國強(qiáng), 等. 實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M]. 2版. 北京： 高等教育出版社.

[10] 陳昌平, 許明, 王學(xué)鋒, 等. 數(shù)學(xué)物理方程[M]. 北京: 高等教育出版社,1989.

[11] 姜禮尚, 陳亞浙, 劉西垣, 等. 數(shù)學(xué)物理方程講義[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社,1996.

StudyontheSolutionoftheThree-dimensionalHeatConductionEquationwithSphericalSymmetry

QIAN Jing-yi, LI Tong-xing

(School of Applied Mathetics, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing Jiangsu 210023, China)

In this paper,we solved for the three-dimensional heat conduction equation with spherical symmetry, and analyzed to prove the uniqueness, stability, progressiveness of the solution, Fu Liye transform method was given to the corresponding equation.

uniqueness; stability; progressiveness; fourier transform

2012-10-16

錢鏡伊(1988-), 女, 江蘇宿遷人, 碩士研究生, 研究方向為數(shù)學(xué)金融學(xué).

O175

A

1671-6876(2013)01-0015-06

[責(zé)任編輯李春紅]