王軍臣, 謝 燕

(南通大學(xué) 理學(xué)院, 江蘇 南通 226007)

供應(yīng)鏈回購合同的權(quán)重效用利潤函數(shù)分析

王軍臣, 謝 燕

(南通大學(xué) 理學(xué)院, 江蘇 南通 226007)

引入供應(yīng)鏈權(quán)重效用利潤概念,研究在回購合同協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈前提下權(quán)重效用利潤相對于傳統(tǒng)效用利潤能否增加的問題．在權(quán)重效用利潤函數(shù)最大值問題的研究基礎(chǔ)上,證明了可以通過修正相應(yīng)的合同參數(shù)形成新的協(xié)調(diào)性回購合同使得利潤增加,并給出相應(yīng)的的合同條款并給出具體數(shù)值例子驗(yàn)證結(jié)論．

供應(yīng)鏈; 供應(yīng)鏈協(xié)調(diào); 回購合同; 權(quán)重效用利潤函數(shù)

0 引言

20世紀(jì)90年代,隨著物流管理的逐步發(fā)展產(chǎn)生了供應(yīng)鏈管理產(chǎn)業(yè)．由于供應(yīng)鏈上下游企業(yè)成本結(jié)構(gòu)的異質(zhì)性,往往導(dǎo)致在供應(yīng)鏈系統(tǒng)中出現(xiàn)“雙重邊際效應(yīng)”,即供應(yīng)鏈雙方都有一定的市場力量,若兩者缺乏協(xié)調(diào)的定價決策,就會導(dǎo)致最終價格高于使供應(yīng)鏈總利潤水平最大化時的價格,從而使得分散式供應(yīng)鏈的效率很難達(dá)到集成式供應(yīng)鏈的效率水平．因此,必須通過某種合同來使分散式的供應(yīng)鏈雙方達(dá)到協(xié)調(diào)運(yùn)作目的．

本世紀(jì)初,對于由單一供應(yīng)商和銷售商構(gòu)成的供應(yīng)鏈性能的研究越來越多[1-2],尤其是對供應(yīng)商和銷售商能保證自己利益的前提下提高整個供應(yīng)鏈性能的研究[3-4]．2003年,Cachon[5]對協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈的合同給出了具體的特征描述:第一,該合同能夠產(chǎn)生一族滿足Nsah均衡的供應(yīng)鏈優(yōu)化決策;第二,該合同允許利潤的任意分配;第三,該合同被雙方接受．同時,Cachon 還充分證明了回購合同、數(shù)量彈性合同、數(shù)量折扣合同等是可以協(xié)調(diào)分散式供應(yīng)鏈．2005年,Bernstein 和Federgruen提出了“完美協(xié)調(diào)機(jī)制”[6],指的是促使分散式供應(yīng)鏈能像集成式供應(yīng)鏈一樣追求最大預(yù)期利潤,但缺乏具體的解決方案．2010年,Behzad Hezarkhani和 Wieslaw Kubiak通過隱形價格機(jī)制提出供應(yīng)鏈中關(guān)于雙方運(yùn)輸?shù)膮f(xié)調(diào)合同,但在價格制定等方面不夠完善[7]．2011年Jing Chen 和 Peter C. Bell 完善了兩種回購價下合同的協(xié)調(diào)問題,但是需要另外安排供應(yīng)鏈利潤的分配[8]．

本文在保證合同協(xié)調(diào)的前提條件下,對權(quán)重效用利潤和傳統(tǒng)效用利潤進(jìn)行分析比較．通過對最優(yōu)訂貨量的確定來制定提高效用利潤的新式合同．

1 權(quán)重效用利潤函數(shù)

設(shè)當(dāng)銷售商的需求量達(dá)不到其訂貨量時,銷售商賠付供應(yīng)商的貨物單價為gr,相反,若供應(yīng)商無法提供給銷售商足額的訂貨量,其賠付單價為gs．方便起見,記c=cs+cr,g=gr+gs．銷售期結(jié)束后,供應(yīng)商以單價v從銷售商處回收剩余產(chǎn)品,要求v

基于上述給出的各個變量,我們得到銷售商和供應(yīng)商的利潤函數(shù)分別為

πr(q)=pS(q)+vI(q)-grL(q)-crq-T

(1)

πs(q)=gsS(q)-csq-gsμ+T

(2)

那么,供應(yīng)鏈的利潤函數(shù)為

π(q)=πr(q)+πs(q)=(p-v+g)S(q)-(c-v)q-gμ

(3)

在供應(yīng)鏈利潤取得最優(yōu)時,對應(yīng)存在最優(yōu)訂貨量．我們記q0為供應(yīng)鏈最優(yōu)訂貨量,即q0=argmaxπ(q)．假設(shè)π(q0)>0,由于F是嚴(yán)格增函數(shù),π是嚴(yán)格凹的且最優(yōu)訂貨量是唯一的．進(jìn)一步,q0滿足:

(4)

供應(yīng)鏈的總利潤π=πs+πr實(shí)際上就是建立在πs,πr兩個目標(biāo)上的一種特殊的效用函數(shù),此時,供銷雙方的權(quán)重是相同的,我們稱此時的供應(yīng)鏈利潤為傳統(tǒng)效用利潤, 對應(yīng)的利潤函數(shù)為傳統(tǒng)效用利潤函數(shù)． 由于市場供需情況的變化,決策者對商品的批發(fā)價格、銷售價格、回購價格的決策時, 有時會考慮到供應(yīng)雙方利潤追求在決策中的不同地位問題, 由此, 我們可以考慮權(quán)重效用利潤函數(shù)．設(shè)λs,λr分別為供應(yīng)商和銷售商利潤在決策中的權(quán)重,那么0≤λs≤1,0≤λr≤1,λs+λr=1,得到供應(yīng)鏈權(quán)重效用利潤函數(shù)[9]:

π(λ)=λsπs+λrπr

(5)

2 回購合同

在回購合同中,記供應(yīng)商對單位商品的報(bào)價為ω,在銷售期結(jié)束后以單價b回購．然而,銷售商剩余下來的這部分產(chǎn)品主要分為兩種類型:一種是未銷售完的剩余庫存,另一種是消費(fèi)者返還的不滿意產(chǎn)品．2011年,Jing Chen 和 Peter C. Bell 考慮了當(dāng)銷售商面對顧客退貨時的價格隨機(jī)制定問題．在此問題中需要考慮顧客的返還率α以及銷售商對顧客的賠償價格r是如何協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈的,并且得到了下面相關(guān)結(jié)論．

定理1[8]在由銷售商決定零售價格和銷售數(shù)量的分散式供應(yīng)鏈中,當(dāng)價格基于市場需求的不確定性和顧客的返貨率同銷售量成比例時,實(shí)現(xiàn)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的條件為：

定理2[8]在給定銷售商對顧客的賠償價格r的情況下,隨著顧客返貨率α的增大,供應(yīng)商必須相應(yīng)提高產(chǎn)品批發(fā)價w和回購價v．

考慮到顧客退貨的情況,銷售期結(jié)束后的回購價b=rα+v(1-α),在現(xiàn)實(shí)意義下,銷售商不可能從剩余庫存中盈利,故b≤ω．則對應(yīng)的預(yù)付款為

T(q,ω,b)=ωq-bI(q)=bS(q)+(ω-b)q

(6)

同時,由(1)和(6)可得銷售商的利潤函數(shù)為

πr(q,ω,b)=(p-v+gr-b)S(q)-(ω-b+cr-v)q-grμ

(7)

并且此時對于回購參數(shù)λ′≥0有

p-v+gr-b=λ′(p-v+g)

(8)

ω-b+cr-v=λ′(c-v)

(9)

綜合(7)、(8)和(3),得到

πr(q,ω,b)=λ′π(q)+μ(λ′g-gr)

(10)

同樣,供應(yīng)商的利潤可表示為

(11)

同時,比較(8)和(9)得到銷售商的單位報(bào)價為

(12)

并且,對于λ′∈[0,1],該合同協(xié)調(diào)整個供應(yīng)鏈．

3 回購合同中的權(quán)重效用函數(shù)

在回購合同中,設(shè)供應(yīng)商在供應(yīng)鏈中的權(quán)重為λ,銷售商的權(quán)重為1-λ．由此,根據(jù)(1)、(2)、(5)和(6),供應(yīng)鏈的權(quán)重效用函數(shù)為

π(λ)=[λgs+(1-λ)(p-v+gr)+(2λ-1)b]S(q)

-[λcs+(1-λ)(cr-v)-(2λ-1)(ω-b)]q-[λgs+(1-λ)gr]μ

(13)

4 權(quán)重效用函數(shù)的極值分析

證明對于權(quán)重效用函數(shù)我們考慮回購合同中各個參數(shù)使得對于δ≥0:

p-v+gr-b=δ[λ(p-v+g)+(1-2λ)(p-v+gr-b)]

(14)

ω-b+cr-v=δ[λ(c-v)+(1-2λ)(ω-b+cr-v)]

(15)

由(14)和(15),此合同中銷售商的利潤函數(shù)可化為:

πr=δ[λ(p-v+g)+(1-2λ)(p-v+gr-b)]S(q)-

δ[λ(c-v)+(1-2λ)(ω-b+cr-v)]q-grμ=

δπ(λ)+δ[λgs+(1-λ)gr]μ-grμ

(16)

(17)

分別對銷售商和供應(yīng)鏈權(quán)重效用函數(shù)求導(dǎo)數(shù),我們有

對應(yīng)的批發(fā)價為

顯然,兩種情況下上與(12)是等價的．

(18)

由(12),(18)可化為

那么,在保證供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的情況下,φ是可以取得極值的．為了確定φ取得最值的具體情況,考察其二階導(dǎo)數(shù):

φ=[gs+b-(p-v+gr-b)]S(q)+(2ω-2b+cr-cs-v)q+(gr-gs)μ=

(1-2λ′)(p-v+g)S(q)-(1-2λ′)(c-v)q+(1-2λ′)gμ=

(1-2λ′)[(p-v+g)S(q)-(c-v)q-gμ],

(19)

由以上分析,我們得到以下結(jié)論．

定理5 在確定新的意義下的合同時,回購合同對整個供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)性是不變的．

定理6 回購合同中,在給定了對顧客賠償價格r的情況下,通過提高產(chǎn)品滿意度(即減小α)可以降低產(chǎn)品出廠價ω和回購價格b實(shí)現(xiàn)權(quán)重效用利潤相對于傳統(tǒng)效用利潤的增加．

5 數(shù)值例子

現(xiàn)在,我們給出簡單的例子來驗(yàn)證本文相關(guān)結(jié)論．

假設(shè)市場需求分布函數(shù)為:

則

令r=6,cs=3.5,cr=0.5,gs=0.6,gr=0.4,θ=1000．

表1 不同的退貨率情形下供應(yīng)鏈權(quán)重效用利潤與傳統(tǒng)效用利潤對比結(jié)果

如表1所示,當(dāng)顧客的退貨率一定時,我們可以得到新合同的各個參數(shù)值,并且此合同既能協(xié)調(diào)整個供應(yīng)鏈又能保證權(quán)重效用利潤最大．同時,權(quán)重效用利潤相對于傳統(tǒng)效用利潤是增加的．此外,隨著顧客退貨率的上升,通過供應(yīng)商提高批發(fā)價,銷售商降低零售價并降低訂貨量的方式來確保上述性質(zhì)不變．此合同中各個參數(shù)滿足任意數(shù)值例子,所以我們可以通過此方法對合同進(jìn)行改進(jìn)得到既能協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈又能提高效用利潤的合同．

6 總結(jié)

此方法為我們提供了一個優(yōu)化供應(yīng)鏈效用利潤的一個思路．當(dāng)決策者在對整個供應(yīng)鏈進(jìn)行決策時,通過對權(quán)重效用利潤的分析得到合同中不同參數(shù)所需要滿足的條件,這樣做即可以保證合同對供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的不變性,又可以使得供應(yīng)鏈權(quán)重效用利潤相對于特殊效用利潤是增加的．需要進(jìn)一步研究的問題是,對于建立在供應(yīng)商和銷售商利潤上的一般意義下的效用利潤函數(shù),如何通過修正合同中的有關(guān)參數(shù)使得效用利潤較之傳統(tǒng)效用利潤增加;其次,給出一般意義下效用利潤增值的實(shí)際市場背景并如何以此指導(dǎo)市場．

致謝: 作者感謝本文指導(dǎo)老師淮陰師范學(xué)院秦志林教授的熱心指導(dǎo)和幫助!

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AnalysisontheWeightedUtilityProfitFunctionofBuy-BackContractinSupplyChain

WANG Jun-chen, XIE Yan

(School of Sciences of Nantong University, Nantong Jiangsu 226007, China)

In this paper,the concept of weighted utility profit in supply chain was introduced, and the problem whether the weighted utility profit increase or not relative to traditional profit of buy-back contract was studied in the premise the contract coordinating supply chain. On the basement of research on the maximization of weighted profit utility function, a new buy-back contract was formed which not only coordinating supply chain but also increasing profit by modifying relative parameters in supply chain. Lastly, a numerical example was performed to support above conclusion.

supply chain; supply chain coordination; buy-back contracts; weight utility function

2012-12-13

教育部人文社會科學(xué)研究規(guī)劃項(xiàng)目(10YJC630213)

王軍臣(1988-), 男, 河南焦作人, 碩士研究生, 研究方向?yàn)檫\(yùn)籌學(xué)與控制論.

O211.6

A

1671-6876(2013)01-0025-05

[責(zé)任編輯李春紅]