呂孫忠

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江 溫州 325035)

引言

葡萄酒因其特殊的營(yíng)養(yǎng)價(jià)值和較好的保健效果，越來越受到廣大消費(fèi)者的歡迎。在此形勢(shì)下，葡萄酒認(rèn)證和質(zhì)量評(píng)價(jià)得到關(guān)注，而它的質(zhì)量鑒別主要靠感官分析和理化指標(biāo)分析［1］的方法來確定。而感官分析常常通過聘請(qǐng)一批有資質(zhì)的評(píng)酒員進(jìn)行品評(píng)，每個(gè)評(píng)酒員在對(duì)葡萄酒進(jìn)行品嘗后對(duì)其分類指標(biāo)打分，然后求和得到其總分，從而確定葡萄酒的質(zhì)量。但由于評(píng)分受品酒員的主觀個(gè)人的感受和思維影響，難以用精確的數(shù)字來描述，因此造成看起來十分精確的分?jǐn)?shù)卻不能精確地說明葡萄酒質(zhì)量的優(yōu)劣狀態(tài)。分組評(píng)分法是目前主流的一種評(píng)分法之一，對(duì)于每組給出的評(píng)分，需要檢驗(yàn)是否存在顯著性差異，并且選擇合適的評(píng)分組，作為葡萄酒最終得分的主要依據(jù)。但評(píng)分是精確到個(gè)位的，評(píng)酒員也說不清楚個(gè)位是如何得出的。如果讓評(píng)酒員們給出一個(gè)定性的評(píng)價(jià)，如“優(yōu)秀，良好，合格”，這比給出一個(gè)分值容易的多，也可以更加客觀地表述葡萄酒的質(zhì)量。

方差分析是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于20世紀(jì)20年代提出的一種統(tǒng)計(jì)方法，有著非常廣泛的應(yīng)用，肯德爾和諧系數(shù)是檢驗(yàn)測(cè)量結(jié)果信度的方法之一，逆序數(shù)可以解釋評(píng)酒員的評(píng)價(jià)方向差異。本文利用方差分析去評(píng)定兩組及兩組以上的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)中是否存在顯著性差異，并利用方差、肯德爾和諧系數(shù)和逆序數(shù)這三個(gè)指標(biāo)來選擇較為合理評(píng)分組，同時(shí)使用模糊綜合評(píng)價(jià)將各位評(píng)酒員的評(píng)分轉(zhuǎn)換為定量的分?jǐn)?shù)，使成績(jī)的評(píng)定更加客觀、合理。

1 方差分析

當(dāng)對(duì)樣本進(jìn)行方差分析檢驗(yàn)時(shí)，樣本應(yīng)該滿足三個(gè)基本假設(shè)，所有的樣本均來自正態(tài)分布總體，這些總體具有相同的方差，且所有觀測(cè)相互獨(dú)立。所以，在進(jìn)行方差分析前，需要對(duì)樣本進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)和方差齊性檢驗(yàn)。方差分析屬于參數(shù)檢驗(yàn)，常見的有單因素方差分析和多因素方差分析。但是，當(dāng)原始數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)性和方差齊性假定時(shí)，參數(shù)檢驗(yàn)可能會(huì)給出錯(cuò)誤報(bào)告，此時(shí)應(yīng)采用基礎(chǔ)秩的非參數(shù)檢驗(yàn)，如Kurskal-Wallis［2］非參數(shù)檢驗(yàn)。

1.1 Kurskal－Wallis模型求解

非參數(shù)方差分析:檢驗(yàn)的假設(shè)是:k個(gè)獨(dú)立的樣本來自于相同的總體，當(dāng)假設(shè)成立，并且樣本容量足夠大時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量近似服從自由度為k的分布，即檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量H近似服從自由度k-1的χ2分布，即

其中，k為樣本數(shù)，nj(j=1，2，…k)為第j個(gè)樣本的樣本容量，，Ri為第j個(gè)樣本的秩和。對(duì)于給定的顯著水平，當(dāng)H的觀測(cè)值大于或等于(k-1)時(shí)，拒絕原假設(shè)，表示k個(gè)獨(dú)立樣本來自于不同的總體，或者說k個(gè)處理間有顯著差異，此時(shí)應(yīng)進(jìn)一步作多重比較，分析兩個(gè)處理間有顯著的差異。

1.2 逆序數(shù)

在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個(gè)逆序。一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序數(shù)是4，為偶排列。逆序數(shù)在評(píng)價(jià)性問題中有著廣泛的應(yīng)用［3］，同時(shí)它也是檢驗(yàn)測(cè)量結(jié)果信度的方法之一。將一組中每位評(píng)酒員所給的平均分按從高到低排序，則一類酒在該組所有評(píng)委所打的分從高到低的排名中的秩形成一個(gè)排列，計(jì)算該排列的逆序數(shù)，這個(gè)指標(biāo)有效的分析了每位評(píng)酒員的評(píng)價(jià)方向的差異，逆序數(shù)越小，則評(píng)分越公平合理。

1.3 肯德爾和諧系數(shù)

肯德爾和諧系數(shù)［4］是檢驗(yàn)測(cè)量結(jié)果信度的方法之一，根據(jù)它可以檢驗(yàn)品酒員評(píng)分的可信度。

其中，w為肯德爾和諧系數(shù)，k為評(píng)酒員人數(shù)，l是葡萄酒樣本數(shù)，ri是葡萄酒樣品i的評(píng)分和。

2 模糊綜合評(píng)價(jià)體系

2.1 層次分析法生成權(quán)向量

葡萄酒的感觀評(píng)價(jià)中，可以由外觀分析、香氣分析和口感分析等n個(gè)因素共同決定，記做C1，C2，…，Cn，aij表示Ci和Cj對(duì)評(píng)分的影響之比，根據(jù)層次分析法［5］，可形成對(duì)比矩陣，aij的取值見表1。

表1 尺度aij的含義

當(dāng)形成對(duì)比矩陣時(shí)，需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，λ是n階矩陣的特征根，一致性指標(biāo)。RI的取值見表2。若一致性指標(biāo)通過，則可以認(rèn)為對(duì)比矩陣A是基本一致的，如果未通過檢驗(yàn)，則需要重新構(gòu)造對(duì)比矩陣。

表2 RI值

求矩陣A的特征分解向量，對(duì)特征向量進(jìn)行歸一化處理，則可到評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)向量W=(w1，w2…wn)。

2.2 模糊矩陣

建立模糊綜合評(píng)價(jià)體系［6-9］，將每個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)Ci的評(píng)定分?jǐn)?shù)劃分為m個(gè)等級(jí)，等級(jí)i對(duì)應(yīng)分值ci(i=1，2，…m)，每個(gè)評(píng)委的分?jǐn)?shù)按照最近鄰法，劃分等級(jí)，即一個(gè)評(píng)委對(duì)Ci的評(píng)分為x，重新賦值x，若，當(dāng)i=j時(shí)成立，則x=cj。記對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)Ci給出等級(jí)ci(i=1，2，…m)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例為bij，其中1≤i≤n，1≤j≤m，得到模糊評(píng)價(jià)矩陣B:

把模糊評(píng)價(jià)矩陣B和層次分析法得到的權(quán)重向量W進(jìn)行合成，得到模糊子向量D:

在對(duì)向量進(jìn)行歸一化處理，得到模糊評(píng)價(jià)子向量β=(β1，β2，…βm)，其中

總分S為模糊子向量和其對(duì)應(yīng)級(jí)別分值的積。S=β·c=(β1·c1+β2·c2+…βm·cm)，則S為最終評(píng)價(jià)所得的分?jǐn)?shù)。

3 應(yīng)用實(shí)例

2012年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題，以白葡萄酒的為例，本實(shí)驗(yàn)利用MATLAB［10］求解。首先，需要建立模型說明兩組評(píng)酒員的數(shù)據(jù)是否存在差異。在得到兩組評(píng)價(jià)結(jié)果存在顯著性差異時(shí)，還需要進(jìn)一步說明哪一組的分析結(jié)果更加可信。一種簡(jiǎn)單而直觀的做法是考察對(duì)每組數(shù)據(jù)的偏離程度，但這種做法的數(shù)據(jù)利用率較低，而且大量信息容易被這一指標(biāo)掩蓋，所以，需要引進(jìn)更加理性化的指標(biāo)，在利用原始數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)之上，進(jìn)行進(jìn)一步分析。最后再利用較為合理的數(shù)據(jù)，得到葡萄酒的最終評(píng)分。

3.1 方差分析

由于品酒員的打分，常常帶有一定的主觀因素，而在他們的感覺評(píng)價(jià)中，有不同的準(zhǔn)確度和精確度，因此，需要建立合適的模型，去分析兩組分析結(jié)果是否存在顯著性差異。調(diào)用lillietest函數(shù)對(duì)白葡萄酒得分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)，兩組數(shù)據(jù)的p值為0.3297和0.3308都大于0.05，說明白酒的兩組得分的在顯著性水平0.05下接受原假設(shè)，兩組的得分都服從正態(tài)分布，其概率分布如圖1和圖2所示。再對(duì)整體數(shù)據(jù)進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)，調(diào)用vartestn函數(shù)分別檢驗(yàn)兩組評(píng)委的打分，得到白葡萄酒的p值0.0123＜0.05，拒絕假設(shè)，則白葡萄酒兩組得分不服從方差相同的正態(tài)分布。

圖1 第一組白酒概率分布圖

圖2 第二組白酒概率分布圖

通過數(shù)據(jù)分析，可以得知兩組品酒員的數(shù)據(jù)不服從方差相同的正太分布，所以引入了非參數(shù)方差分析。調(diào)用kruskalwallis函數(shù)白葡萄酒的p=0.0438，小于0.05，所以有顯著的差異。調(diào)用multcompare函數(shù)進(jìn)行多重比較，得出白葡萄酒的矩陣為:

從矩陣可以看出每個(gè)矩陣第三和第五個(gè)區(qū)間不含0，說明兩組存在顯著差異，其交互式圖形如圖3所示，可以更加的清晰看出每種酒的評(píng)價(jià)存在顯著差異。

圖3 交互式圖

3.2 逆序數(shù)和肯德爾和諧系數(shù)

樣本方差反映了樣品所得總分與最終結(jié)果的平均偏離程度，也反應(yīng)了評(píng)酒員評(píng)價(jià)尺度的差異，先計(jì)算樣本方差。再將一組中每位評(píng)酒員所給的平均分按從高到低排序，則一種樣品酒在該組所有評(píng)委所打的分從高到低的排名中的秩形成一個(gè)排列，計(jì)算該排列的逆序數(shù)，同時(shí)，再根據(jù)k=10，l=28計(jì)算肯德爾和諧系數(shù)。當(dāng)選樣本數(shù)大于7時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為χ2計(jì)量，χ2=k*(l-1)*wi，i=1，2。則χ2服從自由度為l的χ2分布，若χ2＞χ(l)α，則有100*(1-α)%的準(zhǔn)確率可以斷定10個(gè)品酒員的評(píng)分存在相關(guān)。各項(xiàng)指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果見表3。

根據(jù)表3，從方差角度和逆序數(shù)角度分析，第二組的偏離程度較小且評(píng)委們?cè)u(píng)價(jià)方向也較為一致，從肯德爾和諧系數(shù)來看，第二組存在相關(guān)的概率大于第一組。綜合三個(gè)指標(biāo)，則第二組品酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果更為可信。

表3 兩組標(biāo)值

3.3 建立評(píng)價(jià)體系

在葡萄酒的評(píng)分過程中，應(yīng)制定相應(yīng)能夠進(jìn)行量化表述的一套客觀標(biāo)準(zhǔn)(表4)。

表4 葡萄酒評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

對(duì)于其中的每一個(gè)指標(biāo)Ci的評(píng)價(jià)級(jí)別和對(duì)應(yīng)分值見表5。

表5 葡萄酒等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)

根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)給出對(duì)比矩陣:

通過對(duì)矩陣A進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，求得特征根λ為4.03，RI=0.9，一致性指標(biāo)為CI=0.0103，RI=0.9，一致性指標(biāo)=0.0115＜0.1，則一致性檢測(cè)通過，并求得特征向量，并作歸一化處理得到W=［0.139 0.341 0.404 0.116］。

3.4 評(píng)定成績(jī)

以白葡萄酒樣品為例，將品酒員所給的評(píng)分劃分到對(duì)應(yīng)的等級(jí)，而這5個(gè)等級(jí)對(duì)應(yīng)的分值分別為95、85、75、65和50，共有十個(gè)品酒員對(duì)它打分，其中，

1≤i≤4，1≤j≤5，得到模糊評(píng)價(jià)矩陣為:

模糊子向量D:

做歸一化處理，得到模糊子向量:

則樣品1的最終得分為77.0329。

4 結(jié)束語(yǔ)

葡萄酒質(zhì)量評(píng)價(jià)本身是一個(gè)不容易定量描述的問題，在評(píng)價(jià)中，品酒員受主觀因素的影響較大，且打分過程中容易出現(xiàn)評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)不同葡萄酒權(quán)重不一致的不穩(wěn)定情況。對(duì)于不同組品酒員之間，可以用方差分析，去解釋是否存在顯著性差異，同時(shí)，可以借助逆序數(shù)和肯德爾和諧系數(shù)去評(píng)定更加合理的一組。而直接處理品酒員們做出定量的分值并不合理，而定性的評(píng)價(jià)更為合理，所以需要借助于數(shù)學(xué)模型將定量的分值轉(zhuǎn)化為定性的評(píng)價(jià)。最后，再依據(jù)對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)使用層次分析法得到權(quán)值與模糊矩陣進(jìn)行運(yùn)算，得到最終的分值。實(shí)驗(yàn)證明，本文所采用的方法可以將評(píng)委做出的定性描述轉(zhuǎn)換為定量的分值，且最后計(jì)算得到的分值也更加科學(xué)合理，模型也存在兩個(gè)不足。葡萄酒評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)中可以再添加因素，但一致性檢驗(yàn)不容易通過;同時(shí)，在得到一組數(shù)據(jù)更加合理的情況下，直接舍去了另一組數(shù)據(jù)，沒有很全面的對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行利用。

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