楊 杰

(上海電機(jī)學(xué)院 機(jī)械學(xué)院， 上海 200245)

SH波入射下半空間垂直界面附近對(duì)稱圓孔的動(dòng)應(yīng)力分析

楊 杰

(上海電機(jī)學(xué)院 機(jī)械學(xué)院， 上海 200245)

采用復(fù)變函數(shù)和“鏡像”的方法,對(duì)雙相介質(zhì)半空間垂直界面附近含有對(duì)稱圓形彈性孔洞,在穩(wěn)態(tài)入射SH波作用下的動(dòng)應(yīng)力情況進(jìn)行分析。首先，采用“鏡像”的方法,構(gòu)造問題所需的Green函數(shù)和散射波場(chǎng)表達(dá)式；其次，采用界面“契合”的技術(shù),建立含有無窮未知力的第一類Fredholm積分方程組，并通過有效截?cái)嗲蠼庠摲匠探M;最后，給出圓形孔洞周邊的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的具體算例分析。結(jié)果顯示,波數(shù)比和圓孔到垂直邊界的距離均對(duì)孔洞周邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)有一定程度的影響。

SH波; 垂直界面; 圓形孔洞; 鏡像; 動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展和新型材料的廣泛使用，將不可避免地在材料上開孔、加入轉(zhuǎn)角等以滿足功能上的需求。然而，由于幾何不連續(xù)性，在動(dòng)載荷作用下這些介質(zhì)缺陷將產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，進(jìn)而影響材料的宏觀力學(xué)性能，故對(duì)于在動(dòng)荷載作用下應(yīng)力集中問題的研究一直是力學(xué)研究人員探討的熱點(diǎn)問題之一[1-3]，其中，采用彈性波散射理論對(duì)介質(zhì)缺陷附近的動(dòng)應(yīng)力集中情況的研究已經(jīng)有相對(duì)成熟的理論和方法。20世紀(jì)70年代，Lee[4]等采用波函數(shù)展開方法，對(duì)均勻各向同性半空間中含有洞室對(duì)SH波的散射響應(yīng)進(jìn)行了研究。1991年，劉殿魁[5]等提出復(fù)變函數(shù)方法，對(duì)無限半空間凹陷地形對(duì)SH波的散射問題進(jìn)行了進(jìn)一步的研究和討論。2003年，梁建文[6]等采用Fourier-Bessel級(jí)數(shù)展開方法，對(duì)地下隧道在穩(wěn)態(tài)SV波入射下的地表反應(yīng)問題進(jìn)行了研究。2007年，梁建文[7]等對(duì)Wolf理論進(jìn)行拓展，解決了彈性層狀半空間對(duì)SH波的散射問題。2010年，Lee[8]等采用多極Trefttz方法，對(duì)薄板中含有多個(gè)圓形孔對(duì)彈性波的散射問題進(jìn)行了研究。以上這些研究方法的提出及應(yīng)用，為彈性波散射理論問題的研究提供了理論基礎(chǔ)。由于SH波相對(duì)SV波、P波等對(duì)應(yīng)問題的求解要簡(jiǎn)單得多，故近年來對(duì)介質(zhì)中各種缺陷對(duì)SH波的散射問題研究比較常見[9-11]。然而，對(duì)于復(fù)雜邊界介質(zhì)中含有各種缺陷在SH波作用下的散射問題研究成果并不多見。2006年以后，史文譜[12-13]等采用復(fù)變函數(shù)和Fourier級(jí)數(shù)展開方法，對(duì)直角域中含有各種缺陷的問題進(jìn)行了研究。

本文主要采用復(fù)變函數(shù)和“鏡像”的方法，對(duì)雙相介質(zhì)半空間垂直界面附近含有對(duì)稱圓形彈性孔洞在穩(wěn)態(tài)入射SH波作用下的動(dòng)應(yīng)力情況進(jìn)行了分析，其屬于具有復(fù)雜邊界的界面動(dòng)力學(xué)研究范疇。該問題求解的難點(diǎn)在于Green函數(shù)以及散射波場(chǎng)位移表達(dá)式的構(gòu)造，由于圓形孔洞產(chǎn)生的散射波將會(huì)在半空間自由表面和雙相介質(zhì)垂直界面之間發(fā)生多次的反射，故直接構(gòu)造滿足邊界條件的散射波場(chǎng)表達(dá)式變得尤其困難。本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于提出“鏡像”的方法，同時(shí)結(jié)合復(fù)變函數(shù)方法，構(gòu)造出滿足控制方程和邊界條件的Green函數(shù)、散射波場(chǎng)表達(dá)式的解析解答。最后給出具體算例，討論了波數(shù)比、圓形孔洞與垂直界面之間的距離對(duì)孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響。

1 理論模型

無限半空間介質(zhì)由雙相介質(zhì)垂直界面分為左右兩部分，穩(wěn)態(tài)SH波由左側(cè)空間入射，同時(shí)在左右兩側(cè)分別含有一個(gè)圓形彈性孔洞缺陷，其理論模型如圖1所示。其中，SH波的入射角度記作α0；介質(zhì)Ⅰ、Ⅱ的彈性模量和密度分別設(shè)為μ1、μ2和ρ1、ρ2；圓形孔洞半徑設(shè)為R，其圓心到半空間水平表面與垂直界面的距離分別設(shè)為h和d。同時(shí)建立如圖所示坐標(biāo)系x1O1y1，x′O′y′，x″O″y″，x2O2y2，它們之間的關(guān)系如下:z1=z″+d，z′=z″-ih，z2=z″-d。

圖1 SH波作用下雙相介質(zhì)半空間理論模型Fig.1 Theoretical model of bi-material half impacted by SH waves

2 控制方程和邊界條件

(1)

在極坐標(biāo)系下，與式(1)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力表達(dá)式為

(2)

在直角坐標(biāo)系下，與式(1)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力表達(dá)式為

(3)

對(duì)于問題的求解，首先采用“契合”[14]的方法，將雙相介質(zhì)半空間沿著垂直界面“剖開”，則半空間將被拆分為兩個(gè)含有圓形孔洞的1/4空間。同時(shí)，需要在剖分面的左右兩側(cè)施加大小相等、方向相反的未知力f1和f2來滿足原來垂直界面處位移和應(yīng)力的連續(xù)性。契合模型如圖2所示?？梢钥闯?，求解垂直界面處的未知反力是解答本文問題的主要任務(wù)之一。因此，本文采用Green函數(shù)方法解答此問題。

圖2 契合模型Fig.2 Model of conjunction

2.1Green函數(shù)

含有圓形彈性孔洞的1/4空間，其垂直邊界承受時(shí)間諧和的出平面點(diǎn)源荷載作用時(shí)位移函數(shù)的基本解答作為本文所需的Green函數(shù)。理論模型如圖3所示。

圖3 點(diǎn)源荷載作用下1/4空間理論模型Fig.3 Theoretical model of quarter space impacted by point source loads

Green函數(shù)滿足式(1)所示的控制方程，而問題的邊界條件如下：

(4)

在圓形孔洞周邊滿足應(yīng)力自由條件，即

τr1z1|r1=R=0

(5)

Green函數(shù)可以看成點(diǎn)源函數(shù)單獨(dú)作用1/4空間時(shí)產(chǎn)生的位移函數(shù)G(i)和由1/4空間中圓形孔洞對(duì)點(diǎn)源作用產(chǎn)生的散射位移函數(shù)G(s)的疊加。利用“虛設(shè)點(diǎn)源”的方法，位移函數(shù)G(i)的表達(dá)式為

(6)

式中，

H(·)為Hankel函數(shù)。

在點(diǎn)源函數(shù)的作用下，由圓形孔洞所激發(fā)的散射波將會(huì)在1/4空間兩個(gè)邊界和孔洞之間發(fā)生多次的反射和散射效應(yīng)，直接構(gòu)造滿足式(1)和式(4)的散射波場(chǎng)位移表達(dá)式是很困難的。因此，本文提出“鏡像”的方法構(gòu)造散射波場(chǎng)位移表達(dá)式，其具體思路如圖4所示。

圖4 “鏡像”模型Fig.4 Model of image

以兩個(gè)邊界分別為對(duì)稱面，將1/4空間問題轉(zhuǎn)化為全空間問題，則散射波場(chǎng)位移表達(dá)式構(gòu)造如下：

(7)

2.2定解積分方程組

穩(wěn)態(tài)SH波入射下，雙相介質(zhì)半空間中入射波場(chǎng)位移表達(dá)式W(i)、反射波場(chǎng)W(r)以及折射波場(chǎng)位移表達(dá)式W(f)可以分別表示如下：

(8)

(9)

(10)

式中，W0、W1和W2分別是入射波、反射波和折射波的位移幅值，三者之間的關(guān)系如下：

同樣地，根據(jù)“鏡像”思想，散射波場(chǎng)位移表達(dá)式可以構(gòu)造如下:

(11)

根據(jù)“契合”模型在雙相介質(zhì)界面處位移和應(yīng)力的連續(xù)性，可以得到如下表達(dá)式：

(12)

式中，W(sΙ)和W(sΠ)分別為介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中的散射波在剖分面處產(chǎn)生的位移；W(f1)和W(f2)分別為f1和f2在剖分面處產(chǎn)生的位移。利用

式(12)可以化為

(13)

根據(jù)Green函數(shù)具體表達(dá)式和式(13)，定解積分方程組可以表示如下：

(14)

3 動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)

半空間垂直界面附近對(duì)稱圓形孔洞在SH波作用下的動(dòng)力特性分析的主要任務(wù)之一就是對(duì)圓孔周邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的求解[15]。在介質(zhì)Ⅰ中，沿圓形孔洞周邊的環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的表達(dá)式為

(15)

通常，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)表達(dá)式可以寫成

(16)

式中，τ0=μ1k1W0為半空間入射應(yīng)力的最大幅值。

4 算例分析與討論

在具體算例中，給出圖1所示模型介質(zhì)Ⅰ中圓形彈性孔洞周邊的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)DSCF的分布情況。其中SH波入射波的位移幅值W0=1，介質(zhì)Ⅰ和Ⅱ的彈性模量比值和波數(shù)比值分別為μ*=μ2/μ1和k*=k2/k1。

(1) 圖5所示為SH波水平入射時(shí)，圓形孔邊動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)DSCF隨波數(shù)比k*的變化分布情況。取無量綱參數(shù)h/R=12.0，d/R=12.0。由圖5(a)和(b)可以看出： 當(dāng)SH波以低頻入射時(shí)，孔邊DSCF值隨波數(shù)比k*的增加而變小，最大值發(fā)生在靠近半空間水平表面附近。由此說明，當(dāng)SH波由相對(duì)較硬介質(zhì)進(jìn)入到相對(duì)較軟介質(zhì)中(k*gt;1.0)時(shí)，孔邊DSCF值會(huì)變小，這正是由于軟介質(zhì)吸收更多能量造成的。由圖5(c)和(d)可以看出，當(dāng)SH波入射頻率增加時(shí)，孔邊DSCF值分布變化比較復(fù)雜，同時(shí)，DSCF數(shù)值隨著波數(shù)比k*的增加有整體變大趨勢(shì)。對(duì)比SH低頻入射和高頻入射兩種情況，孔邊DSCF最大值減小約21.60%。

(2) 圖6所示SH波水平入射時(shí)，圓孔周邊一點(diǎn)(θ=90°)DSCF隨距離d/R的變化分布情況。取無量綱參數(shù)h/R=12.0。由圖6(a)可以看出：“準(zhǔn)靜態(tài)”情況下(k1R=0.1)，孔邊一點(diǎn)DSCF值隨距離d/R的增加而變化并不明顯，同時(shí)曲線分布呈現(xiàn)波動(dòng)性變化。當(dāng)k*=1.0時(shí)，曲線近似為一條直線，此結(jié)果與文獻(xiàn)[16]一致。然而，隨著入射波數(shù)的增大，孔邊一點(diǎn)DSCF曲線波動(dòng)幅度加大，同時(shí)當(dāng)距離d/Rgt;30附近，曲線有衰減趨勢(shì)。由此說明，圓孔距離雙相介質(zhì)界面較遠(yuǎn)時(shí)，其對(duì)孔邊DSCF的影響近似可以被忽略。

圖5 SH波水平入射時(shí)，孔邊DSCF的分布情況

圖6 SH波水平入射時(shí)，孔邊一點(diǎn)DSCF的分布情況(θ=90°)Fig.6 Distribution of DSCF on a point of circular hole edge when SH waves are incident horizontally

5 結(jié) 語

本文主要采用復(fù)變函數(shù)和“鏡像”的方法,求解了雙相介質(zhì)半空間垂直界面附近含有對(duì)稱圓形彈性孔洞對(duì)穩(wěn)態(tài)入射SH波的散射問題，同時(shí),對(duì)孔邊的動(dòng)應(yīng)力分布情況進(jìn)行了分析討論。從具體算例可以看出，不同的介質(zhì)波數(shù)和孔洞到垂直邊界的距離遠(yuǎn)近等因素都會(huì)對(duì)孔邊的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的分布有一定影響。因此,在相應(yīng)問題的研究中應(yīng)予以重視。同時(shí)，本文算例分析結(jié)果可以為設(shè)計(jì)和工程實(shí)踐等提供理論參考。

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Dynamic Stress Analysis for Symmetrical Circular Holes Near Vertical Interface Impacted by SH Waves in Bi-material Half Space

YANGJie

(School of Mechanical Engineering, Shanghai Dianji University, Shanghai 200245, China)

A dynamic stress analysis for symmetrical circular holes near a vertical interface in a bi-material half space is performed using a methods of complex function and image. Expressions of Green’s functions and scattering waves are obtained with the aid of an image method. A series of Fredholm integral equations containing unknown forces are derived using an interface conjunction. The equations are solved using an effective truncation. Numerical examples for dynamic stress concentration around the edge of the circular hole are given. Numerical results demonstrate that the distribution of the dynamic stress concentration factor is influenced to some degree by the wave number ratio and distance between the circular hole and the vertical interface.

SH waves; vertical interface; circular hole; image; dynamic stress concentration factor

2095-0020(2013)05 -0262-06

O 347.4; O 348

A

2013-07-16

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(10972064);上海電機(jī)學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科資助(12xk501)

楊 杰(1985-)，女，講師,博士，主要研究方向?yàn)椴▌?dòng)理論及應(yīng)用，E-mail: yangj@sdju.edu.cn