植 物，白根柱，包德喜

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043)

近年來，曲面的降階方法主要集中在曲線方面，對高次多項(xiàng)式曲面，大多數(shù)都應(yīng)用曲線降階方法的推廣[1-2]，另外文獻(xiàn)[3-4]也給出了曲面的降階方法.在上述高次多項(xiàng)式曲面的降階方法中，文獻(xiàn)[5]提出的方法要求角點(diǎn)高階插值.而其他降階方法一般都不能保證角點(diǎn)高階插值，這不僅與幾何造型系統(tǒng)的迫切要求是不相適應(yīng)的，而且對誤差范圍相對要大的.文獻(xiàn)[6]給出了張量積Bézier曲面的S冪基降多階逼近方法，本文在此基礎(chǔ)上給出了一種新的降階方法，該方法主要基于S冪基的角點(diǎn)高階插值和對稱性,所得到的降階曲面的誤差要低.本文的分向降階方法有別于文獻(xiàn)[6]提出的Bézier曲面的降階方法，該方法采用不同方向的每一個Bernstein基函由低階的S冪基的線性組合去最佳逼近,再由張量積的定義就可得到一次降多階的逼近曲面.

1 Bézier曲面的降多階最佳逼近方法

下面采用了分向降階方法，對u向，w向的每個Bernstein基函數(shù)由二范數(shù)意義下可以找到逼近元.以低階S冪基函數(shù)的線性組合去逼近給定的Bernstein基函數(shù).首先在每個方向上構(gòu)造線性空間.其次，在該線性空間上定義二范數(shù),在二范數(shù)意義下構(gòu)成banach空間.最后，求出最佳逼近元.

定理1[8]設(shè)為賦范空間X的有窮維子空間，則對于每一個x∈X必存在M中對x的最佳逼近.

定理2[8]設(shè)是嚴(yán)格凸的賦范空間，已知子空間M?X，則M中對每個給定的x∈X的最佳逼近至多有一個.

當(dāng)n,m≥2p時，S冪基函數(shù)[7]滿足:

對u向，w向的每個Bernstein基函數(shù)由以下形式求出最佳逼近元：

i=0,1,…,ni=0,1,…,n

2 誤差估計及數(shù)值實(shí)例

下面定義誤差函數(shù)為：

圖1 9×9張量積Bézier曲面 圖2 7×7 降階逼近曲面 圖3 7×7 降階最佳逼近曲面

圖1所示為一張9×9張量積Bézier曲面，圖2 所示為文獻(xiàn)[6]一次降2×2階,圖3所示為本文方法一次2×2階，圖4所示為文獻(xiàn)[6]得到的誤差函數(shù)的圖形，圖5 所示為本文方法得到的誤差函數(shù)的圖形.

圖4 誤差函數(shù)的圖形 圖5 誤差函數(shù)的圖形Fig.4 The graphic of error function Fig.5 The graphic of error function

3 結(jié)論

通過圖形4和圖形5可以看出本文的降階方法優(yōu)越于文獻(xiàn)[6]提出的方法.還可知道本文方法得到的誤差為e=0.001 289 257 781和文獻(xiàn)[6]方法的誤差為e=1.272 821 707.本文的降階方法簡單和直觀，可以一次降多階.今后將進(jìn)一步考慮逼近函數(shù)的其他形式以及逼近尺度.

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