王 敬,陳志武,何 云

(空軍空降兵學(xué)院，廣西 桂林 541003)

內(nèi)彈道設(shè)計(jì)的任務(wù)是根據(jù)武器的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)要求和外彈道設(shè)計(jì)方案提供的口徑、彈丸質(zhì)量及炮口速度等初始數(shù)據(jù)，選定適當(dāng)?shù)呐谔沤Y(jié)構(gòu)參數(shù)，確定出符合武器性能要求的一組可行方案，即可行方案集，并對(duì)可行方案集進(jìn)行評(píng)價(jià)。基于經(jīng)典內(nèi)彈道學(xué)的評(píng)價(jià)指標(biāo)一般包括炮膛最大壓力pm、炮口速度vg、炮口壓力pg、有效功效率ηω及炮膛工作容積利用率ηg[1]。文獻(xiàn)[2]將可行方案的評(píng)價(jià)過程作為一類(單人)多指標(biāo)決策問題，提出了一種基于多指標(biāo)的火炮內(nèi)彈道設(shè)計(jì)方法，建立了某火炮的內(nèi)彈道設(shè)計(jì)方案多指標(biāo)優(yōu)化模型，并采用TOPSIS法對(duì)可行方案集進(jìn)行了評(píng)價(jià)排序；文獻(xiàn)[3]、[4]分別應(yīng)用熵權(quán)法和方案滿意度法對(duì)某型火炮的可行方案集進(jìn)行了評(píng)價(jià)排序。但是，當(dāng)有多名決策者參與評(píng)價(jià)時(shí)，可行方案集的評(píng)價(jià)排序過程將成為一類多人多指標(biāo)決策問題，即多指標(biāo)群決策問題。與(單人)多指標(biāo)決策不同的是，多指標(biāo)群決策問題不僅要計(jì)算指標(biāo)權(quán)重，還要確定各專家(決策者)的權(quán)重。一般的處理方法是，不考慮專家之間的差異，假定各專家對(duì)問題的影響力是均等的，或針對(duì)不同領(lǐng)域的決策者給定不同的權(quán)重。筆者以層次分析法(AHP)分析為基礎(chǔ)，采用AHP對(duì)數(shù)最小二乘法計(jì)算指標(biāo)權(quán)重，獲得各專家的指標(biāo)權(quán)重矩陣；專家權(quán)重由AHP判斷矩陣的一致性和判斷矩陣之間的相似程度來確定；指標(biāo)的綜合權(quán)重則由專家權(quán)重對(duì)指標(biāo)權(quán)重進(jìn)行聚合而得到，最后由指標(biāo)的綜合權(quán)重對(duì)可行方案集進(jìn)行線性加權(quán)綜合，獲得可行方案集的優(yōu)劣排序結(jié)果。該方法能充分客觀地綜合專家的群體智慧和經(jīng)驗(yàn)，弱化單個(gè)專家主觀上的不確定性，使彈道方案的評(píng)價(jià)結(jié)果更具客觀性和權(quán)威性。

1 指標(biāo)權(quán)重與專家權(quán)重

假定有m個(gè)專家(E(k),k=1,2,…,m)對(duì)具有n個(gè)指標(biāo)的可行方案集進(jìn)行評(píng)價(jià)，設(shè)專家Ek的判斷矩陣為：

專家E(k)(k=1,2,…,m)的指標(biāo)權(quán)重是該專家對(duì)各評(píng)價(jià)指標(biāo)在評(píng)價(jià)過程中的重要性的數(shù)值表示，基于AHP的指標(biāo)權(quán)重可由AHP的各種計(jì)算方法(如特征向量法、對(duì)數(shù)最小二乘法、最小二乘法、最小偏差法等)計(jì)算得到，記為ω(k)。指標(biāo)權(quán)重ω(k)僅由判斷矩陣A(k)決定，并沒有考慮其一致性和與相似性的影響，而專家在群決策過程中的作用，即影響力，則由判斷矩陣A(k)的一致性程度和A(k)與A(l)(k≠l)相似程度決定，記由A(k)一致性程度確定的專家的影響力為客觀權(quán)重αk，由A(k)與A(l)(k≠l)相似程度決定的專家影響力為客觀權(quán)重βk。

1.1 ω(k)的確定

ω(k)由對(duì)數(shù)最小二乘法[5]獲得，計(jì)算公式如下:

(1)

1.2 αk的確定

(2)

1.3 βk的確定

若導(dǎo)出向量vec(A(l))與vec(A(k))之間的夾角為θlk，則其夾角余弦為:

(3)

l=1,2,…,m;k=1,2,…,m;l≠k

夾角余弦rlk描述了兩個(gè)導(dǎo)出向量vec(A(l))與vec(A(k))的相似性程度，即判斷矩陣A(l)與A(k)的相關(guān)程度。rlk越大，則θlk越小，說明專家El與Ek的相似性越強(qiáng)，因此表示專家E(k)與其他專家一致性程度之和的平均值，即專家判斷矩陣的平均一致程度為:

(4)

Rk值越大，說明Rk越能代表大多數(shù)專家的判斷意見，因此，專家的客觀權(quán)重βk可表示為:

(5)

因此，專家E(k)的客觀權(quán)重可表示為αk與βk的凸組合，即:

γk=tαk+(1-t)βk,k=1,2,…,m

(6)

式中，0≤t≤1。

1.4 權(quán)重的聚合

由以上分析可知，γk客觀權(quán)重能全面反映決策者E(k)在群決策過程中的影響力，因此，需要對(duì)指標(biāo)權(quán)重ω(k)可進(jìn)行修正聚合得到綜合權(quán)重:

(7)

2 算法步驟

2.1 判斷矩陣群的獲取

群決策的基礎(chǔ)是要獲得各位專家對(duì)決策問題的判斷矩陣群，判斷矩陣群是經(jīng)由多位不同職業(yè)的相關(guān)學(xué)科專家填表咨詢之后形成的。判斷矩陣的表格填寫不僅要遵循AHP元素兩兩對(duì)比時(shí)重要性等級(jí)賦值原則，同時(shí)需要注意避免構(gòu)造出“A比B 重要，B比C重要，C比A重要”有悖于常理的判斷矩陣。

2.2 判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)

按公式(8)計(jì)算各判斷矩陣的薩迪(Saaty)一致性比率CR[5]

(8)

其中，λmax為判斷矩陣的最大特征值，RI為隨機(jī)一致性指標(biāo)均值，5階矩陣的RI等于1.118 5，如果CR<0.1，則一致性檢驗(yàn)通過，否則需要調(diào)整判斷矩陣，重新檢驗(yàn)，直至滿足要求為止。

2.3 權(quán)重的計(jì)算與聚合

采用對(duì)數(shù)最小二乘法得到指標(biāo)權(quán)重ω(k)[5-7]，專家權(quán)重αk、βk分別用式(2)、(5)計(jì)算，指標(biāo)權(quán)重和專家權(quán)重用式(7)進(jìn)行聚合。

2.4 綜合排序

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化后的多指標(biāo)決策問題根據(jù)綜合權(quán)重進(jìn)行排序，對(duì)于極大值問題，綜合得分越高，排序越優(yōu)。

3 實(shí)例分析

建立某小口徑火炮的經(jīng)典內(nèi)彈道模型[2]，選定裝填密度Δ和相對(duì)裝藥量Ω為設(shè)計(jì)變量，炮膛最大壓力pm、炮口速度vg、炮口壓力pg、有效功率γg及炮膛工作容積利用率ηg為指標(biāo)集，編程計(jì)算得到滿足最大膛壓小于350 MPa、初速大于980 m/s 要求的31個(gè)彈道方案如表1所示。

表1 方案數(shù)據(jù)表

假定四個(gè)專家的判斷矩陣分別為：

按公式(8)計(jì)算的一致性比率為：

各判斷矩陣的一致性比率均小于0.1，通過檢驗(yàn)。

由對(duì)數(shù)最小二乘法得到主觀權(quán)重向量ω(k)分別為:

分別按式(2)、(5)、(6)和(7)計(jì)算得到:

對(duì)決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化，由綜合指標(biāo)對(duì)規(guī)范化決策矩陣進(jìn)行線形加權(quán)綜合，得到綜合指標(biāo)及彈道方案排序結(jié)果如表2所示。

表2 綜合指標(biāo)及排序結(jié)果

4 結(jié)論

將火炮內(nèi)彈道設(shè)計(jì)的計(jì)算過程與評(píng)價(jià)過程相結(jié)合，并將評(píng)價(jià)過程作為一類多指標(biāo)群決策問題來處理。在傳統(tǒng)彈道方案評(píng)價(jià)指標(biāo)的基礎(chǔ)上，建立火炮內(nèi)彈道多指標(biāo)決策模型，編程計(jì)算獲得31個(gè)滿足給定條件的可行彈道方案；(模擬)獲得四名專家(決策者)的判斷矩陣，對(duì)可行方案集進(jìn)行AHP群評(píng)價(jià)。

該方法通過分析判斷矩陣的一致性和相似性，獲得專家權(quán)重，客觀地量化了決策者在決策過程中的影響力，使得群決策過程中決策者的集體智慧得以更加客觀充分地發(fā)揮，評(píng)價(jià)結(jié)果更具科學(xué)性和權(quán)威性。此方法的關(guān)鍵是專家判斷矩陣的獲取，如何誘導(dǎo)專家給出合理的判斷矩陣，是評(píng)價(jià)結(jié)果是否科學(xué)的關(guān)鍵。在獲得可靠的專家判斷矩陣后，利用本文提供的多指標(biāo)決策模型可以得到火炮內(nèi)彈道方案優(yōu)化結(jié)果，對(duì)提高火炮內(nèi)彈道設(shè)計(jì)效率具有重要意義。

[1] 金志明，袁亞雄．現(xiàn)代內(nèi)彈道學(xué)[M]．北京：北京理工大學(xué)出版社，1992．

JIN Zhi-ming，YUAN Ya-xiong．Modern interior ballistics[M]．Beijing：Beijing Institute of Technology Press，1992．(in Chinese)

[2] 王敬，季新源，袁亞雄．火炮內(nèi)彈道設(shè)計(jì)方案多指標(biāo)輔助優(yōu)化分析[J]．火炮發(fā)射與控制學(xué)報(bào),2005(2):9-12．

WANG Jing，JI Xin-yuan，YUAN Ya-xiong．Multiple attributes optimization design of gun’s interior ballistics[J]. Journal of Gun Launch & Control,2005(2):9-12．(in Chinese)

[3] 王敬，陳志武．基于熵權(quán)的火炮內(nèi)彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]．火炮發(fā)射與控制學(xué)報(bào),2009(12):58-60．

WANG Jing，CHEN Zhi-wu．Optimization design of gun interior ballistics based on information entropy[J]．Journal of Gun Launch & Control,2009(12):58-60．(in Chinese)

[4] 王敬．基于方案滿意度的火炮內(nèi)彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]．彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào),2011(8):133-135．

WANG Jing．An optimal design based on satisfactory degree of gun’s interior ballistics[J]．Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance,2011(8):133-135．(in Chinese)

[5] 秦壽康.綜合評(píng)價(jià)原理與應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2003.

QIN Shou-kang. Principle and application of comprehensive evaluation[M]. Beijing: Electronics Industry Press，2003.(in Chinese)

[6] 鄧壽年, 張偉. 基于AHP群決策的國(guó)家竟技體育實(shí)力的綜合評(píng)價(jià)研究[J]. 安徽工程大學(xué)學(xué)報(bào),2011(3):81-84.

DENG Shou-nian, ZHANG Wei. Comprehensive evaluation for the strength of national sports based on AHP group decision[J]. Journal of Anhui Polytechnic University,2011(3):81-84.(in Chinese)

[7] 宋光興，鄒平.多屬性群決策中決策者權(quán)重的確定方法[J].系統(tǒng)工程,2001(7):84-89.

SONG Guang-xing, ZOU Ping. The computing method of decision maker′s weight in multi-attributes group decision[J].Systems Engineering,2001(7):84-89.(in Chinese)