胡 宏 ，徐 娜

(1.徐州工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院，中國 徐州 221116；2.中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，中國 徐州 221116)

近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程在國內(nèi)外引起了極大的研究興趣，特別是邊值問題解的存在性[1-4]．據(jù)作者所知，目前很少有學(xué)者研究帶p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性[5-6]，尤其是無窮區(qū)間中解的存在性研究甚少[7]．

無窮區(qū)間上的邊值問題在物理學(xué)、自然科學(xué)等領(lǐng)域中有很多實(shí)際應(yīng)用，如不穩(wěn)定的氣體通過半無窮帶氣孔媒介問題，孤立中子的電勢問題等[8-10]．因此，對它的研究具有重要的意義．

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文主要利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理研究如下一類帶p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題在無窮區(qū)間中解的存在性：

(1)

1 預(yù)備知識

定義1函數(shù)y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分為

其中α>0,Γ(·)是Gamma函數(shù).

定義2函數(shù)y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

其中α>0,Γ(·)是Gamma函數(shù)，n=[α]+1.

引理3[11](X,‖·‖X)和(Y，‖·‖Y)是Banach空間.

本文主要是在空間Y中研究解的存在性，但Arzela-Ascoli定理在Y中緊性不再適用，因此，我們給出如下引理來證明相對緊.

引理4[11]令Z是Y的有界子集，若Z是Y中的相對緊集需要滿足如下條件：

(ii)對任意的ε>0,存在常數(shù)T=T(ε)>0,滿足

引理5[12]設(shè)K是Banach空間X的1個(gè)有界凸閉集，而T是K到其自身內(nèi)的任一全連續(xù)映象，則T在K內(nèi)至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)果

為了得到本文主要結(jié)果，假設(shè)：

引理6假設(shè)(H)成立，則對任意的t∈J,邊值問題(1)等價(jià)于如下積分方程：

(2)

證首先，由(H)得

c‖u‖Y<+∞.

(3)

因此，積分方程(2)是存在的.

由引理2得

再次利用引理2得

因?yàn)閡(0)=0,所以c2=0.由引理1，進(jìn)一步得

從而積分方程(2)成立.

另一方面，若積分方程(2)成立，那么由引理1可以得到如下方程：

定理1假設(shè)f∈C(J×R2,R)并且條件(H)成立，那么邊值問題(1)在Y中至少有一個(gè)解.

證首先，對任意的t∈J,定義算子T：

(4)

由引理6，知邊值問題(1)的解可以轉(zhuǎn)化為求算子T的不動(dòng)點(diǎn).由(4)及引理1，得

(5)

令M≥|u∞|/(Γ(α)-2c),U={u(t)∈Y|‖u‖Y≤M}.下面將證T：U|→U.

對任意的1<α≤2,t,s∈J,并且t>s,顯然有(t-s)α-1/(1+tα-1)≤tα-1/(1+tα-1)≤1.對任意的t∈J,u(t)∈U,1<α≤2,由(4)和(5)分別得

(6)

(7)

由(3)，(6)，(7)及M≥|u∞|/(Γ(α)-2c),可以得

因此‖Tu(t)‖Y≤M,即T：U|→U.

對任意的u(t)∈D,t1,t2∈I滿足t1

那么，對任意的ε>0,存在常數(shù)L>0滿足

(8)

(9)

(10)

取T=max{T1,T2},對任意的t1,t2>T,u(t)∈D,由(8)～(10)得

類似地，可得

因此，由引理4，我們可以得TU是相對緊的.

最后，我們證明T：U|→U是連續(xù)算子.對任意的t∈J,un,u∈U(n=1,2,…),并且滿足‖un-u‖Y→0(n→+∞),那么

結(jié)合(3)，進(jìn)一步可得

類似地，我們得

2c‖un‖Y+2c‖u‖Y≤4c‖u‖Y≤2Γ(α)M≤2M.

因此，由Lebesgue控制收斂定理可得T：U|→U是連續(xù)的.

綜上，由引理5得，算子T在U中至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，從而邊值問題(1)在U中至少有一個(gè)解.

參考文獻(xiàn)：

[1] BAI Z B, Lü H. Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation [J].J Math Anal Appl, 2005,311(2):495-505.

[2] XU X, JIANG D, YUAN C. Multiple positive solutions for the boundary value problem of a nonlinear fractional differential equation [J]. Nonlinear Anal-Theor, 2009,71(10):4676-4688.

[3] CHANG Y, NIETO J. Some new existence results for fractional differential inclusions with boundary conditions[J]. Math Comput Model, 2009,49(3):605-609.

[4] JIANG W H. The existence of solutions to boundary value problems of fractional differential equations at resonance [J]. Nonlinear Anal-Theor, 2011,74(5):1987-1994.

[5] CHAI G Q. Positive solutions for boundary value problem of fractional differential equation withp-Laplacian operator [J]. Bound Value Probl, 2012,2012(1):1-18.

[6] CHEN T Y, LIU W B, HU Z G. A boundary value problem for fractional differential equation withp-Laplacian operator at resonance [J]. Nonlinear Anal Theor, 2012,75(6):3210-3217.

[7] LIANG S H, SHI S Y. Existence of multiple positive solutions form-point fractional boundary value problems withp-Laplacian operator on innite interval [J]. J Appl Math Comput, 2012,38(1):687-707.

[8] NACHMAN A, CALLEGARI A. A nonlinear singular boundary value problem in the theory of pseudoplastic fluids [J]. Siam J Appl Math, 1980,38(2):275-281.

[9] AGARWAL R, O’REGAN D, WONG P. Positive solutions of differential, difference and integral equations (1st edition) [M]. Massachusetts: Kluwer Academic, 1998.

[10] 肖 莉.一類p-Laplacian系統(tǒng)同縮軌道的存在性[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào), 2010,33(1):7-12.

[11] SU X W, ZHANG S Q. Unbounded solutions to a boundary value problem of fractional order on the half-line[J]. Comput Math Appl, 2012,61(4):1079-1087.

[12] 尤秉禮.常微分方程補(bǔ)充教程[M].北京：人民教育出版社, 1981.