陳小元

(1．麗水學(xué)院，浙江麗水323000;2．浙江方正電機(jī)股份有限公司，浙江麗水323000)

0 引 言

無(wú)軸承開(kāi)關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)(以下簡(jiǎn)稱BSRM)是利用磁懸浮軸承與普通開(kāi)關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)(以下簡(jiǎn)稱SRM)兩者定子結(jié)構(gòu)的相似性，在普通SRM 定子齒上增加一套懸浮繞組用于產(chǎn)生懸浮力，根據(jù)電機(jī)轉(zhuǎn)子徑向位移，通過(guò)實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)該懸浮繞組電流改變電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的分布產(chǎn)生相應(yīng)的徑向懸浮力，使得電機(jī)轉(zhuǎn)子徑向穩(wěn)定懸浮，最終同時(shí)實(shí)現(xiàn)電機(jī)轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)和 自 懸 浮 控 制［1－12］。BSRM 不 僅 可 充 分 發(fā) 揮SRM 控制靈活、容錯(cuò)能力強(qiáng)和高速適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，而且具有磁懸浮電機(jī)無(wú)摩擦、無(wú)潤(rùn)滑和長(zhǎng)壽命等優(yōu)良特性，在航空航天及超潔凈等驅(qū)動(dòng)領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用前景。

精確的數(shù)學(xué)模型是保證BSRM 高速旋轉(zhuǎn)并穩(wěn)定懸浮的理論基礎(chǔ)。目前三相12 /8 結(jié)構(gòu)BSRM 的數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)主要采用虛位移法［4－9］和Maxwell 張量法［10－12］，其中虛位移法通過(guò)氣隙磁導(dǎo)分割方法求得電機(jī)繞組的電感矩陣進(jìn)而得到電感的磁場(chǎng)儲(chǔ)能，轉(zhuǎn)矩與懸浮力表達(dá)式由對(duì)磁場(chǎng)儲(chǔ)能求偏導(dǎo)得到。

在12 /8 結(jié)構(gòu)的BSRM 現(xiàn)有數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)時(shí)，定、轉(zhuǎn)子極弧角均為15°，且由于電機(jī)徑向氣隙長(zhǎng)度相對(duì)較小，可認(rèn)為定子和轉(zhuǎn)子的齒寬相等［5－12］。此時(shí)定子極弧角與轉(zhuǎn)子機(jī)械位置角θ 絕對(duì)值之差即為定子齒與轉(zhuǎn)子齒重疊部分所占極弧度數(shù)，定子齒和轉(zhuǎn)子齒重疊部分氣隙磁導(dǎo)P1，邊緣氣隙磁導(dǎo)P2和P3均為轉(zhuǎn)子位置角θ 的函數(shù)，方便積分求解，從而確保電感、轉(zhuǎn)矩及懸浮力等電磁參數(shù)表達(dá)式為BSRM 結(jié)構(gòu)參數(shù)的單值函數(shù)。

BSRM 實(shí)際應(yīng)用中，滿足徑向懸浮力和轉(zhuǎn)矩的輸出要求是定、轉(zhuǎn)子極弧選取的基本原則，這就需要在設(shè)計(jì)BSRM 時(shí)，根據(jù)不同應(yīng)用場(chǎng)合，優(yōu)化選取定、轉(zhuǎn)子極弧。若定子齒與轉(zhuǎn)子齒寬不相等，則定子齒和轉(zhuǎn)子齒存在完全重疊區(qū)域。在此完全重疊區(qū)域內(nèi)，P2和P3不再相等，P1亦為定值。此時(shí)現(xiàn)有BSRM 的數(shù)學(xué)模型將不能適用，需重新推導(dǎo)新的數(shù)學(xué)模型。因此，推導(dǎo)BSRM 在定、轉(zhuǎn)子極弧參數(shù)可變時(shí)的數(shù)學(xué)模型具有重要意義。

本文分析了12 /8 結(jié)構(gòu)的雙繞組BSRM 定、轉(zhuǎn)子極弧角的選取原則，計(jì)算了轉(zhuǎn)矩和懸浮力隨定、轉(zhuǎn)子極弧的變化關(guān)系。基于BSRM 的虛位移模型的推導(dǎo)方法，提出了一種采用分段函數(shù)表示可適用于定、轉(zhuǎn)子極弧不相等時(shí)的BSRM 新型數(shù)學(xué)模型，最后與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型以及采用FEM 計(jì)算的主繞組和懸浮繞組電感結(jié)果進(jìn)行了比較。

1 定、轉(zhuǎn)子極弧的選取

按照三相12 /8 結(jié)構(gòu)的BSRM 相關(guān)研究文獻(xiàn)習(xí)慣，把轉(zhuǎn)子位置零度角位置定義在定轉(zhuǎn)子齒與轉(zhuǎn)子齒軸線重合位置，即繞組電感最大處［1－12］。BSRM通常采用單相交替工作控制策略，每相主繞組和懸浮繞組開(kāi)通區(qū)間為15°機(jī)械角，即若A 相主繞組和懸浮繞組導(dǎo)通區(qū)間為－7．5°～7．5°范圍轉(zhuǎn)子位置角，則B 相和C 相分別與A 相相差15°和30°。

而對(duì)于普通SRM，為確保在順時(shí)針和逆時(shí)針兩個(gè)方向均可起動(dòng)，定子極弧角βs和轉(zhuǎn)子極弧角βr須滿足［13－14］:

式中:m 為電機(jī)相數(shù)。由于BSRM 結(jié)構(gòu)與SRM 的相似性，式(1)亦適用于BSRM。

氣隙磁導(dǎo)磁路路徑的選取及等效是基于等效磁路法推導(dǎo)BSRM 的數(shù)學(xué)模型過(guò)程中的關(guān)鍵。由于推導(dǎo)過(guò)程中設(shè)定由P1，P2和P3之和構(gòu)成每個(gè)定子極下的總磁導(dǎo)，因此為確保相繞組導(dǎo)通區(qū)內(nèi)任一位置間定子齒和轉(zhuǎn)子齒之間有重疊，則βs和βr必須滿足:

圖1 為BSRM 的懸浮力及電磁轉(zhuǎn)矩隨βs和βr的變化關(guān)系。由圖1(a)可知，當(dāng)βs= 15°時(shí)，有效輸出轉(zhuǎn)矩寬度與幅值隨βr的增大均變小;隨βr遞增，懸浮力亦增大，但最大懸浮力(發(fā)生在轉(zhuǎn)子位置角θ=0 處)基本不變。由圖1(b)可知，當(dāng)βr與βs相等時(shí)，隨著βr與βs增大，懸浮力隨之增大，有效輸出轉(zhuǎn)矩寬度增加而幅值略有減小。

圖1 BSRM 轉(zhuǎn)矩、懸浮力與βs、βr 的關(guān)系

2 通用數(shù)學(xué)模型

2.1 磁導(dǎo)表達(dá)式

以轉(zhuǎn)子極弧角大于定子極弧角的情況(即βr≥βs)，推導(dǎo)可適用于定、轉(zhuǎn)子極弧不相等時(shí)的BSRM新型數(shù)學(xué)模型。

由于從θ = (βr－βs)/2 處即定、轉(zhuǎn)子前齒尖重合位置到θ = 0 處即對(duì)齊位置的區(qū)間內(nèi)，氣隙磁導(dǎo)P1不變，所以BSRM 的數(shù)學(xué)模型可采用分段函數(shù)表示，即分別推導(dǎo)θ≥(βr－βs)/2 和θ ＜(βr－βr)/2 時(shí)的氣隙磁導(dǎo)P1、P2和P3，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。圖2(a)和圖2(b)分別為兩種情況下的氣隙1處的磁路分割圖。

圖2 兩種情況下氣隙1 的磁路分割圖

根據(jù)文獻(xiàn)［4－5］的BSRM 的磁導(dǎo)推導(dǎo)過(guò)程，可得磁導(dǎo)P2:

式中:θ 為位置角的絕對(duì)值;μ0為空氣的磁導(dǎo)率;l 為電機(jī)軸向長(zhǎng)度;lg為氣隙平均長(zhǎng)度;c 為常數(shù)，c =1. 49。

磁導(dǎo)P3:

磁導(dǎo)P1:

圖2 的氣隙1 處的磁導(dǎo)Pa1可通過(guò)三處磁導(dǎo)疊加得到:

由式(3)～式(6)得一個(gè)齒極下的氣隙總磁導(dǎo)Pa:

考慮轉(zhuǎn)子徑向α 軸和β 軸上的位移，用l0± α與l0± β 來(lái)替換式(7)中的氣隙平均長(zhǎng)度lg，其中l(wèi)0為轉(zhuǎn)子在中心位置時(shí)定、轉(zhuǎn)子間氣隙的長(zhǎng)度，α 和β分別代表α 軸和β 軸上的徑向位移量。因此，A 相4個(gè)齒極下的氣隙磁導(dǎo)Pa1～Pa4分別為:

2.2 電感矩陣

把氣隙磁導(dǎo)表達(dá)式(8)～式(11)代入文獻(xiàn)［5］中式(1)，可分別得BSRM 的主繞組和懸浮繞組的自感及互感表達(dá)式?？紤]到l0遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)子徑向位置偏移量α 和β，主繞組和懸浮繞組的自感及互感表達(dá)式中的徑向位移α 和β 的高次項(xiàng)可忽略。即可分別得A 相主繞組的自感Lma，α 方向懸浮繞組的自感Lsa1和β 方向懸浮繞組的自感Lsa2，主繞組分別與α 方向懸浮繞組和β 方向懸浮繞組間的互感Msma1和Msma2，α 和β 方向懸浮繞組間的互感Msa12:

2.3 懸浮力表達(dá)式

把互感表達(dá)式(15)和式(16)代入文獻(xiàn)［6］中式(22)和式(23)，可得作用在轉(zhuǎn)子上的徑向懸浮力Fα、Fβ懸浮力表達(dá)式分別為:

式(18)和式(19)方括號(hào)內(nèi)的第2 項(xiàng)及第3 項(xiàng)在數(shù)值上遠(yuǎn)小于第1 項(xiàng)，即忽略第2 項(xiàng)及第3 項(xiàng)中的轉(zhuǎn)子徑向位移量對(duì)數(shù)學(xué)模型的精度影響不大。因此，可得懸浮力系數(shù)Kf(θ)為［5－6，9－10］:

2.4 轉(zhuǎn)矩表達(dá)式

A 相繞組導(dǎo)通時(shí)的瞬時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩:

式中:Jt(θ)為轉(zhuǎn)矩系數(shù)［5－6，9－10］，在電感上升和下降區(qū)間分別:

3 數(shù)學(xué)模型分析

由于本文的BSRM 新型數(shù)學(xué)模型的電感、轉(zhuǎn)矩和懸浮力等參數(shù)的表達(dá)式中增加了定子極弧角βs與轉(zhuǎn)子極弧角βr變量，因此該模型適用于定、轉(zhuǎn)子極弧角不等的情況。

圖3 為βs= 15°及βr= 17°時(shí)，新型數(shù)學(xué)模型、文獻(xiàn)［4］中的原MM 及采用FEM 計(jì)算的主繞組和懸浮繞組電感計(jì)算結(jié)果。相對(duì)于文獻(xiàn)［4］中的原數(shù)學(xué)模型，新型數(shù)學(xué)模型計(jì)算得到的主、懸浮繞組自感與FEM 計(jì)算的結(jié)果更為接近，表明了新型數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

圖3 繞組自感計(jì)算結(jié)果對(duì)比(βs = 15°、βr = 17°)

圖3(a)中的主繞組自感區(qū)域1 的放大圖如圖4所示，BSRM 新型數(shù)學(xué)模型分別在轉(zhuǎn)子位置角θ = －(βr－βs)/2 及(βr－βs)/2 處出現(xiàn)兩個(gè)凹陷，而原數(shù)學(xué)模型的自感曲線在轉(zhuǎn)子位置角θ = 0 處出現(xiàn)一個(gè)凹陷［5－6］。但計(jì)算結(jié)果表明新型數(shù)學(xué)模型的兩個(gè)凹陷深度小于原MM 的凹陷深度，且過(guò)度相對(duì)圓滑。

圖4 主繞組自感區(qū)域1 的放大圖

4 結(jié) 語(yǔ)

本文分析了12 /8 結(jié)構(gòu)的雙繞組BSRM 定、轉(zhuǎn)子極弧角的選取原則，計(jì)算了轉(zhuǎn)矩和懸浮力隨定、轉(zhuǎn)子極弧的變化關(guān)系。針對(duì)BSRM 的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型只適用于固定定、轉(zhuǎn)子極弧的局限性，提出了一種適用于定、轉(zhuǎn)子極弧可變的BSRM 的新型數(shù)學(xué)模型?；贐SRM 傳統(tǒng)虛位移模型的推導(dǎo)方法，推導(dǎo)了利用分段函數(shù)表示的包括定、轉(zhuǎn)子極弧兩個(gè)變量的新型數(shù)學(xué)模型解析表達(dá)式，并將新型數(shù)學(xué)模型、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型以及FEM 計(jì)算的主繞組和懸浮繞組電感結(jié)果進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，新型數(shù)學(xué)模型的電感計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確。且新型數(shù)學(xué)模型中的轉(zhuǎn)矩和懸浮力方程包括定、轉(zhuǎn)子極弧這兩個(gè)變量，對(duì)定、轉(zhuǎn)子極弧沒(méi)有限制，拓寬了電機(jī)定、轉(zhuǎn)子極弧的選取，為BSRM 的優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ)。

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