張又才

【摘 要】1、本文研究的是自然因素對古塔的變形問題。2、首先通讀全文再依據(jù)文中所給數(shù)據(jù)表格與查找資料分析。 然后針對第一問古塔各層中心坐標(biāo)求解的問題，本文通過建立以初等方法求多邊形 重心幾何模型（假設(shè)各塔層是規(guī)則的物體，把重心坐標(biāo)看作于近似的中心坐標(biāo)）。 在第二個散點模型中，本文對古塔的傾斜、彎曲、扭曲問題進行簡化，利用Excel 知識建立了散點趨勢模型。3、 針對模型的求解，本文使用把每層觀測點近似看在同一個平面內(nèi)，然后根據(jù)求 多邊形重心的方法，計算出每層的中心坐標(biāo)，并使用Excel圖表法求解出古塔傾斜、 彎曲、扭曲問題，再根據(jù)問題二中建立的1982、1996、2009、2011的角度與層數(shù)的 散點圖進行分析整合出古塔的變形趨勢。

【關(guān)鍵詞】古塔；中心；重心； 斜率； Excel

文章編號：ISSN1006—656X（2013）09 -0115-01

一、問題重述

（一） 問題背景

由于長時間承受自重、氣溫、風(fēng)力等各種作用，偶然還要受地震、颶風(fēng)的影響，古塔會產(chǎn)生各種變形，諸如傾斜、彎曲、扭曲等。為保護古塔，文物部門需適時對古塔進行觀測，了解各種變形量，以制定必要的保護措施。

某古塔已有上千年歷史，是我國重點保護文物。管理部門委托測繪公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月對該塔進行了4次觀測。

請你們根據(jù)附件1提供的4次觀測數(shù)據(jù)，討論以下問題：

問題一：給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測量的古塔各層 中心坐標(biāo)。

問題二：分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。 問題三：分析該塔的變形趨勢。 （詳情見附件1）

二、問題分析

（一）問題一的分析

根據(jù)對問題一的條件和數(shù)據(jù)的分析，我們發(fā)現(xiàn)Z變量的數(shù)值波動性很小，而問題一

求的是各古塔的中心坐標(biāo)，那么我們就把Z坐標(biāo)的總和相加取它的平均數(shù)值，然后再根 據(jù)初等方法求多邊形的中心坐標(biāo)方法對問題一進行求解。

（二）問題二的分析

根據(jù)對問題二的研究與問題一得出的數(shù)據(jù)進行分析，我們確定了以第一層的重心坐 標(biāo)為基準(zhǔn)第二層的重心坐標(biāo)與第一層重心相連再依據(jù)古塔與地面垂直的情況來求出此 三角形的斜率、第三層、與第四層……以此類推求出各層的斜率，再依據(jù)斜率的數(shù) 據(jù)作出斜率與層數(shù)的散點圖形并添加了趨勢線，再依據(jù)對圖形的分析我們可以得出古塔 在自然因素下發(fā)生傾斜、彎曲、扭曲的大致情況。

（三）問題三的分析 根據(jù)問題二中散點趨勢圖對比，我們可以得出古塔在1986年至2011年發(fā)生變化的形式，再結(jié)合實際對古塔未來的變形趨勢進行預(yù)測。

三、模型假設(shè)

（一）假設(shè)給定的測量數(shù)值是精確的。

（二）假設(shè)未來的自然因素對古塔的影響與之前相比不會出現(xiàn)太大的偏差。

（三）假設(shè)古塔的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。

（四）假設(shè)人類的活動對古塔的影響可以忽略。

四、符號說明及名詞定義

五、模型建立與求解

（一）問題一

問題提出的是求古塔各層的重心坐標(biāo)，通過查找各類參考文獻(xiàn)確定了用初等方法求多邊形重心坐標(biāo)的方法，設(shè)有n邊形，各頂點坐標(biāo)分別為，，…，。（見圖1）連接、、…、，共有個三角形，設(shè)各三角形重心分別為、、……、、……、。面積分別為、、……、，則多邊形的重心坐標(biāo)可用如下公式計算：

式中： ，

根據(jù)函數(shù)公式求解出 1986、1996、2009、2011 年中心位置的坐標(biāo)如下表： （如下表）

（二）問題二

根據(jù)對問題二的研究與問題一得出的數(shù)據(jù)進行分析，確定了以第一層的中心坐 標(biāo)為基準(zhǔn)第二層的在心坐標(biāo)與第一層中心相連再依據(jù)古塔與地面垂直的情況來求出此 三角形的斜率、第三層、與第四層…………以此類推求出各層的斜率。再通過中心的連 線與平面的斜率計算出角度值 詳細(xì)計算過程見附表（2）

1986年角B值（度） 1996年角B值（度） 2009年角B值（度） 2011年角B值（度）

根據(jù)各個年份的斜率我們可以作出 1986、 1996、2009、 2011 年的 Excel 角度與層 數(shù)的散點趨勢圖，其中 y 軸值越接近于 90 則說明古塔的傾斜率越小，反之則說明古塔 的變化值越大。就有可能出現(xiàn)彎曲、扭曲等變形情況。

由上述的圖示我們可以得出以下結(jié)論： 1、 在1986年時古塔的1—6層發(fā)生的變化很小6—11層發(fā)生了彎曲11—13層發(fā)生了扭曲。

2、 在1996年古塔的1—6層未發(fā)生什么大的變化6—10層古塔發(fā)生了偏移10—13發(fā) 生了扭曲。

3、 1—2層發(fā)生了傾斜2—10層發(fā)生了彎曲，10—13層發(fā)生了與2—10層相反的彎曲。

4、 1—2層未發(fā)生什么變化2—6層發(fā)生了扭曲現(xiàn)象6—10層發(fā)生了小的傾斜10—13 傾斜的方向與6—10層相反。

（三）問題三

根據(jù)問題三的問題再結(jié)合問題二中的斜率趨勢圖，我們可以得出以下結(jié)論： 1、 古塔的變形隨著時間的推移越靠近頂層部分越容易發(fā)生扭曲而古塔的中間部 分就會發(fā)生一部分的彎曲，基層部分出現(xiàn)的變化不是很大； 2、 由2009年與2011年的圖我們可以得出古塔在較短的時間內(nèi)就發(fā)生了嚴(yán)重的扭曲、彎曲、傾斜等情況，如果不加以有效的措施進行保護的話，我們可以預(yù)見隨著時間 往后推移古塔的變形、甚至有可能倒塌。

六、模型評價

（一）優(yōu)點：比較清晰，一目了然，無論是對模型的表達(dá)還是之后對算法的框圖描述 都比較清晰；通過對古塔的斜率計算作出的散點圖很好的現(xiàn)出了1986年到2011年古塔的 變化情況。

（二）缺點：實際情況中受各種因素的限制和影響，在模型中沒有考慮到，使得預(yù)測 結(jié)果和實際相比出現(xiàn)一定偏差。

七、模型推廣

（一）本模型雖然曾在一些不足之處，但是計算出的結(jié)果還是較為合理的。尤其是問 題一中心的求法簡便合理，而中心在實際生活中用處非常廣泛，在工程中，物體中心的 位置具有重要意義。例如擋土墻、高速運轉(zhuǎn)部件的中心如果不在軸線上，將引起機械的 劇烈震動。

參考文獻(xiàn)：

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[4]周凱、送軍全、鄔學(xué)軍，數(shù)學(xué)建模競賽入門與提高，浙江杭州市天馬山路 148 號： 浙江大學(xué)出版社，2012