黃 麗，方光宇，宋云飛，辛 麗，趙海發(fā)

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 物理系，黑龍江 哈爾濱150001）

1 引 言

邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中一個(gè)重要的教學(xué)題目［1］.在該實(shí)驗(yàn)的教學(xué)過程中，學(xué)生不但可以對非定域干涉有進(jìn)一步的理解和掌握，而且可以對等厚和等傾干涉現(xiàn)象分別進(jìn)行觀測研究.通過對非定域干涉條紋移動(dòng)情況（“縮進(jìn)”或者“冒出”）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測量，可以對激光波長、介質(zhì)折射率等物理參量進(jìn)行精確標(biāo)定［2-6］.在目前的邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，普遍采用玻璃屏接收干涉條紋，通過目測干涉條紋中心光斑亮度的變化情況來測量干涉條紋的變化數(shù)目.當(dāng)干涉圓環(huán)中心由1個(gè)亮斑剛好變化到下1個(gè)光強(qiáng)相同的亮斑，即認(rèn)為邁克耳孫干涉條紋剛好變化了1個(gè)級(jí)次.學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中，經(jīng)常會(huì)因?yàn)槿狈?shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)或者視覺疲勞而出現(xiàn)計(jì)數(shù)錯(cuò)誤，給實(shí)驗(yàn)測量帶來誤差.為此，實(shí)驗(yàn)教學(xué)中往往需要學(xué)生進(jìn)行大量（對幾十級(jí)至幾百級(jí)干涉條紋的變化級(jí)次進(jìn)行計(jì)數(shù)）重復(fù)性的測量.大量的重復(fù)性測量降低了學(xué)生們對“精準(zhǔn)的”邁克耳孫干涉實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望.

近年來，人們一直在試圖利用光電傳感器和模-數(shù)信號(hào)轉(zhuǎn)換、采集及濾波技術(shù)來精確記錄邁克耳孫干涉條紋的快速變化過程［7-10］.本文提出了可以精確測量邁克耳孫干涉條紋變化數(shù)目的實(shí)驗(yàn)方法，即采用與示波器連接的快速響應(yīng)光電二極管來測量并記錄邁克耳孫干涉條紋的快速變化過程.利用這種方法，測量研究空氣折射率，結(jié)果表明這種方法可以使得干涉條紋變化數(shù)目的實(shí)驗(yàn)測量精度達(dá)到0.1級(jí)條紋.實(shí)踐證明，這種方法不但可以很好地消除邁克耳孫干涉條紋人工計(jì)數(shù)中存在的誤差，而且普遍適用于目前的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課堂教學(xué).

2 實(shí)驗(yàn)裝置及原理

圖1 邁克耳孫干涉法測量空氣折射率的實(shí)驗(yàn)裝置及光路示意圖

如圖1所示，實(shí)驗(yàn)采用雙光束分振幅邁克耳孫干涉光路.He-Ne激光器的輸出光經(jīng)過短焦透鏡L1（焦距為5cm）和長焦透鏡L2（焦距為175cm）擴(kuò)束后，被分光板S的后表面分為透射光和反射光2部分.在透射光路中，放置用于補(bǔ)償光程的補(bǔ)償板C；在反射光路中，放置一長度為8cm的空氣室.空氣室中空氣的壓強(qiáng)在大氣壓的基礎(chǔ)上可以從0連續(xù)增加到4.0×104Pa，具體的壓強(qiáng)差值可以從空氣室連接的壓強(qiáng)表頭讀出.反射光和透射光分別經(jīng)平面反射鏡R1和R2反射后，再經(jīng)分光板S合并.精調(diào)光路，使得2束光在空間上重合，并得到清晰且適合于實(shí)驗(yàn)測量的干涉圓環(huán)，然后將光電二極管（型號(hào)：PDA36AEC；生產(chǎn)公司：Thorlab，USA）放置在干涉圓環(huán)的中心，并用同軸電纜將光電二極管連接到可存儲(chǔ)數(shù)字示波器.

實(shí)驗(yàn)過程中，首先將空氣室中空氣的壓強(qiáng)增加Δp（取值范圍為1.3×104～4.0×104Pa），然后將放氣針孔稍微打開，讓空氣室內(nèi)壓強(qiáng)緩慢降低至大氣壓.在此過程中，干涉圓環(huán)隨著空氣室內(nèi)壓強(qiáng)的下降而逐漸向內(nèi)“縮進(jìn)”或者向外“涌出”直至穩(wěn)定不變.相應(yīng)地，干涉圓環(huán)中心位置處的光電二極管感應(yīng)該位置光強(qiáng)的變化，示波器實(shí)時(shí)地記錄并顯示光電二極管轉(zhuǎn)換輸出電壓大小隨時(shí)間變化的曲線.由此，測量得到干涉條紋總的變化數(shù)目m，則Δp所引起的空氣折射率改變量Δn可以寫作［11］：

進(jìn)而，在壓強(qiáng)Δp不太大的情況下，常溫常壓狀態(tài)下空氣的折射率為［9］：

在（1）～（2）式中，l為空氣室長度，λ為 He-Ne激光器輸出激光波長，pamb為大氣壓.

3 實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果和分析

空氣壓強(qiáng) Δp 分別從1.9×104，2.5×104，3.2×104，3.9×104Pa緩慢恢復(fù)至大氣壓狀態(tài)的過程中，實(shí)驗(yàn)測量得到的干涉條紋中心位置處光強(qiáng)隨時(shí)間的變化過程如圖2所示，圖2中縱軸代表干涉圓環(huán)中心處光電二極管轉(zhuǎn)換輸出的電壓.從圖2可以看出，干涉條紋數(shù)目的變化量隨著空氣壓強(qiáng)的減小而減少；對于某一空氣壓強(qiáng)Δp，干涉條紋數(shù)目變化速度隨著壓強(qiáng)降低而逐漸降低，且干涉條紋中心光強(qiáng)相應(yīng)轉(zhuǎn)換電壓的變化規(guī)律可以用三角函數(shù)表示：

其中，ˉU為輸出電壓平均值，則輸出電壓最大值、最小值可分別寫作Umax＝ˉU＋UA，Umin＝ˉU-UA；ΔL為光程差的改變量，對應(yīng)的條紋變化數(shù)目記作m，則ΔL＝mλ；φ0為初始相位.目測干涉條紋變化數(shù)目時(shí)，通常將干涉條紋中心調(diào)節(jié)成“亮斑”（初始相位為零）.本實(shí)驗(yàn)中，同樣也將目測的“中心亮斑”作為初始狀態(tài).從圖2可以看出，目測“亮斑”對應(yīng)光強(qiáng)的轉(zhuǎn)換輸出電壓并不一定是輸出電壓的最大值.可見，用目測光斑亮度變化來進(jìn)行干涉條紋計(jì)數(shù)確實(shí)存在一定的誤差.

圖2 空氣從不同壓強(qiáng)Δp恢復(fù)到大氣壓狀態(tài)過程中，干涉條紋中心光強(qiáng)變化曲線

以圖2（d）所示的邁克耳孫干涉條紋中心光強(qiáng)變化曲線為例，利用（3）式計(jì)算得到干涉條紋變化的總數(shù)目m：

其中，m0為初始時(shí)刻輸出電壓U0與相鄰輸出電壓平均值A(chǔ)點(diǎn)之間的干涉條紋變化數(shù)目；mAB為輸出電壓平均值A(chǔ)點(diǎn)和B點(diǎn)之間的干涉條紋變化數(shù)目，其值為正整數(shù)或者半正整數(shù)；mt為終止時(shí)刻（氣壓平衡狀態(tài)）輸出電壓Ut與相鄰輸出電壓平均值B點(diǎn)之間的干涉條紋變化數(shù)目.m0和mt可以分別利用下面2個(gè)公式計(jì)算得到：

將實(shí)驗(yàn)測量得到的m及相應(yīng)的空氣壓強(qiáng)值Δp分別代入式（2），可以計(jì)算得出空氣折射率.其中，He-Ne激光輸出波長λ取值632.8nm，大氣壓pamb取值1.013×105Pa，空氣室長度l取值8.00×10-2m.表1列出了在不同空氣壓強(qiáng)情況下，本文方法和目測方法分別測量得到的干涉條紋變化總數(shù)m，m′及計(jì)算得到的空氣折射率n，n′.常溫常壓狀態(tài)下，對于可見光波長范圍的光，由經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得到的空氣折射率的標(biāo)準(zhǔn)值為n0≈1.000 27［12］.

表1 實(shí)驗(yàn)測量得到的空氣壓強(qiáng)、干涉條紋變化總數(shù)及空氣折射率

在空氣折射率的計(jì)算公式（2）中，如果把激光波長λ、大氣壓pamb和空氣室長度l均看作常量，那么空氣折射率的測量誤差就來源于干涉條紋變化總數(shù)m和空氣壓強(qiáng)Δp的測量.從表1中列出的數(shù)據(jù)可以看出，本文根據(jù)光強(qiáng)變化曲線確定相位變化情況，進(jìn)而測量得到干涉條紋變化總數(shù)的方法可以使條紋計(jì)數(shù)精度達(dá)到0.1級(jí)條紋.根據(jù)式（1），對于某一確定的空氣壓強(qiáng)（如 Δp＝2.5×104Pa），由此引起的測量誤差可以表示為：

由于初始時(shí)刻與終止時(shí)刻干涉條紋中心處所對應(yīng)的光強(qiáng)變化在目測情況下是難以分辨的，所以目測干涉條紋變化總數(shù)的精度通常為0.5級(jí)條紋.為了便于比較，仍以Δp＝2.5×104Pa為例，相應(yīng)的測量誤差則為

從（7）式的計(jì)算結(jié)果可以看出，同傳統(tǒng)的目測方法相比，本文提出的測量方法可以將干涉條紋變化總數(shù)的測量精度提高1個(gè)數(shù)量級(jí).需要指出的是，本實(shí)驗(yàn)研究中空氣壓強(qiáng)Δp采用普通的指針式氣壓計(jì)測量得到，其最小分度值為5.3×102Pa，相應(yīng)的儀器誤差Δ儀＝3.1×102Pa.此外，放氣過程中空氣室兩端玻璃片的微小形變會(huì)造成空氣室長度l的變化，也會(huì)給研究結(jié)果帶來一定的誤差.

4 結(jié)束語

本文采用與數(shù)字存儲(chǔ)示波器相連接的快速響應(yīng)光電二極管作為探測器，測量邁克耳孫干涉圓環(huán)中心條紋變化數(shù)目.根據(jù)示波器記錄的光電二極管轉(zhuǎn)換電壓隨時(shí)間變化曲線，可以得到相位變化情況并精確測量得到空氣壓強(qiáng)變化過程所造成的干涉條紋數(shù)目變化量，進(jìn)而精確確定空氣的折射率.本測量方法所需主要實(shí)驗(yàn)儀器均為實(shí)驗(yàn)室通用儀器設(shè)備，因而普遍適用于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的實(shí)際教學(xué).更為重要的是，這種方法將學(xué)生從“繁瑣”且“粗糙”的目測干涉條紋變化數(shù)目中解放出來，有助于學(xué)生對邁克耳孫干涉物理思想和精密測量方法的研究性學(xué)習(xí)，從而更好地激發(fā)學(xué)生對物理實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識(shí).

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