董永奇，阮海軍，蔡天芳，彭繼迎，王 偉，王 飛

（北京交通大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京100044）

1 引 言

通過對(duì)學(xué)生和物理教師的走訪調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在大學(xué)物理課堂上教師講解簡諧振動(dòng)的合成時(shí)［1］，盡管有Flash動(dòng)畫輔助教學(xué)，但效果不太理想，對(duì)于抽象的振動(dòng)合成，同學(xué)們理解起來很困難［2］.另外，在大學(xué)物理課堂上教師講解光的5種偏振態(tài)時(shí)，初學(xué)者對(duì)于線偏振光合成的圓偏振光和橢圓偏振光的光矢量運(yùn)動(dòng)理解起來也較困難.

現(xiàn)在市場上的振動(dòng)合成演示儀，一般是激光模擬或機(jī)械直接演示［1-2］.機(jī)械傳動(dòng)類演示儀器，體積較大，成本較高，雖可演示一些簡諧振動(dòng)合成的過程，但演示時(shí)間較長且不可調(diào)整，若在課堂上演示將會(huì)耽誤上課時(shí)間.激光模擬類演示，只是給人1幅圖畫，讓人無法感受合成的過程［3-4］.

現(xiàn)在許多高校都在進(jìn)行偏振光演示的研究［5］，但總體上都是基于光的線偏振化，然后進(jìn)行直接演示，但這樣得到的僅僅是個(gè)圖像［6］，并不能演示偏振光的矢端運(yùn)動(dòng)過程.另外，對(duì)于光的5種偏振態(tài)比較分析的演示，幾乎沒有研究.

現(xiàn)在許多研究者實(shí)現(xiàn)了用Visua1C＋＋，Matlab編程來演示簡諧振動(dòng)的合成［7-9］，但是這種方式并不能演示簡諧振動(dòng)的合成過程，更無法演示光的5種偏振態(tài)［10-11］.

針對(duì)現(xiàn)行演示儀器的不足，本文提出了用LED燈來演示簡諧振動(dòng)的合成和光的5種偏振態(tài)的方法，并設(shè)計(jì)出了相應(yīng)的演示儀.采用連續(xù)、動(dòng)態(tài)的圖形效果，可以加深學(xué)生對(duì)各種簡諧振動(dòng)合成和光的5種偏振態(tài)的理解.

2 原 理

2.1 簡諧振動(dòng)合成的原理

簡諧振動(dòng)是最基本最簡單的振動(dòng)，兩相互垂直方向上簡諧振動(dòng)的合成分為頻率相同和頻率不同2種情形.

1）相互垂直、同頻率的簡諧振動(dòng)的合成

2個(gè)簡諧振動(dòng)的表達(dá)式分別為：

其中A1，A2，φ10，φ20，f 分別表示兩者振動(dòng)的振幅、初相位和頻率［7］.消去t，得軌跡方程：

2）相互垂直、不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成

若2個(gè)振動(dòng)的頻率相差很大，并有簡單的整數(shù)比值關(guān)系，可得到穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線即李薩如圖形.在該圖形中，作與x和y軸平行的直線，兩線與李薩如圖形最大交點(diǎn)的個(gè)數(shù)比與對(duì)應(yīng)的頻率比成反比，由此可求一振動(dòng)的未知頻率［12］.

2.2 光的5種偏振態(tài)

電磁波是橫波，光波作為電磁波具有偏振性，如果光矢量只沿垂直于波線方向的一個(gè)固定方向振動(dòng)，則該光波稱為線偏振光，圖示中常用波線上短線或點(diǎn)來表示線偏振光.

2個(gè)沿z方向傳播的同頻率的線偏振光，如果振動(dòng)面相互垂直（設(shè)為x，y方向），則在xy平面內(nèi)合成的光振動(dòng)的矢端軌跡為李薩如圖，當(dāng)這2個(gè)線偏振光的初相位差為π的整數(shù)倍時(shí)，矢端軌跡為直線，即為線偏振光；2個(gè)線偏振光的振幅相等且初相位差為π／2的奇數(shù)倍時(shí)，矢端軌跡為圓，即為圓偏振光，若它們的振幅不相等，則矢端軌跡為橢圓，即為橢圓偏振光［13］.橢圓和圓偏振光的特點(diǎn)是光矢量的端點(diǎn)繞光波的傳播方向作螺旋形旋轉(zhuǎn)，根據(jù)光矢量在垂直于光傳播的平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)方向（迎著光的前進(jìn)方向看）可分為右旋和左旋偏振光，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)為右旋偏振光.

在垂直于光傳播方向的平面內(nèi)，各個(gè)方向的光振動(dòng)均勻分布，各方向振幅和強(qiáng)度都相同的光稱為自然光，自然光為完全非偏振光；如果各方向光強(qiáng)不相等的光稱為部分偏振光，部分偏振光可看成是自然光與完全偏振光的疊加.

線偏振光、圓偏振光、橢圓偏振光為完全偏振光，它們都可等效地用2個(gè)振動(dòng)方向相互垂直、頻率相同、具有確定相位差的線偏振光來合成［13］.

3 LED燈的控制實(shí)現(xiàn)

演示儀包括硬件和軟件2部分，硬件電路包括驅(qū)動(dòng)控制電路和鍵盤電路；軟件程序分為2部分，一部分是掃描程序，利用人的視覺暫留，顯示LED屏上1幅完整的畫面；另一部分是改變顯示內(nèi)容、顯示演示顏色部分及改變合成頻率部分.演示儀整體硬件結(jié)構(gòu)和軟件系統(tǒng)如圖1所示.

圖1 演示儀整體控制圖

4 LED燈的模擬實(shí)現(xiàn)

4.1 簡諧振動(dòng)合成的實(shí)現(xiàn)

紅色LED燈從左到右按順序亮，再從右到左按順序亮，且運(yùn)動(dòng)速度矢量函數(shù)為正弦函數(shù)，從而模擬出x方向的簡諧振動(dòng)；同理，使綠色LED燈的“明暗”運(yùn)動(dòng)模擬y軸方向的簡諧振動(dòng)；使用黃色LED燈的運(yùn)動(dòng)模擬合成的簡諧振動(dòng).當(dāng)x和y軸上LED燈運(yùn)動(dòng)時(shí)，即x和y軸上有簡諧振動(dòng)時(shí)，合成出的黃色LED燈就會(huì)跟著運(yùn)動(dòng)，于是簡諧振動(dòng)的合成過程就表現(xiàn)出來了.

LED燈開始亮的起始位置不同表示初相位不同，當(dāng)x軸上從0處開始振動(dòng)，y軸上也從0處開始振動(dòng)，則它們的相位差為0，在頻率相同時(shí)合成的圖形為直線；當(dāng)x軸上從0.5π開始振動(dòng)，y軸上從0開始振動(dòng)，這時(shí)它們的相位差為0.5π，在頻率相同時(shí)合成的圖形為圓，合成過程如圖2所示.當(dāng)x軸上從0.25π處開始振動(dòng)，y軸上從0開始振動(dòng)，這時(shí)它們的相位差為0.25π，在頻率相同時(shí)合成的圖形為扁平圓.同理可合成頻率相同相位差為0.75π的扁平圓.

圖2 圓合成過程圖

LED燈的振動(dòng)速度不同來表現(xiàn)頻率的不同，頻率相同則x和y軸上LED燈運(yùn)動(dòng)1周期的時(shí)間相同；頻率為2:1時(shí)則x軸上LED燈運(yùn)動(dòng)2周期的時(shí)間和y軸上LED燈運(yùn)動(dòng)1周期的時(shí)間相同；同理可使用LED燈表現(xiàn)頻率為3:1和3:2的簡諧振動(dòng)的合成.

4.2 光的5種偏振態(tài)的演示實(shí)現(xiàn)

使用LED燈表示自然光的圖示，紅、綠兩色LED燈均勻分布，黃色LED燈箭頭表示自然光，由于任何光都可以分解為相互垂直方向上的線偏振光，紅色LED燈表示在顯示平面垂直自然光的線偏振光，綠色LED燈表示垂直于顯示平面的線偏振光，自然光分解為兩垂直方向上的偏振過程如圖3所示.同理，紅、綠兩色LED燈不均勻分布時(shí)，表示部分偏振光的圖示.

圖3 自然光偏振過程圖

使用黃色LED燈顯示合成的線偏振光，其矢端運(yùn)動(dòng)軌跡為一斜線，可由相互垂直的x和y軸上的線偏振光合成.x軸上用3個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)x軸的線偏振光的光矢端的運(yùn)動(dòng)，y軸上用3個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)y軸的線偏振光的光矢端的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)x和y軸的光矢端同時(shí)運(yùn)動(dòng)，在合成的線偏振光上疊加綠色LED燈的運(yùn)動(dòng)，用以表示合成線偏振光的光矢端的運(yùn)動(dòng)，兩傳播方向相同偏振方向相互垂直的線偏振光合成過程見圖4.

圖4 線偏振光合成過程圖

LED燈開始亮的位置不同就表示初相位不同，當(dāng)x軸上從0處開始振動(dòng)，y軸上也從0處開始振動(dòng)，則它們的相位差為0，合成的圖形為線偏振光；當(dāng)x軸上從0.5π向右開始振動(dòng)，y軸上從0開始振動(dòng)，這時(shí)它們的相位差為0.5π，合成的圖形為圓偏振光，且此時(shí)為右旋圓偏振光；當(dāng)x軸上從0.5π向左開始振動(dòng)，y軸上從0開始振動(dòng)，合成的圓偏振光為左旋圓偏振光；當(dāng)x和y軸上線偏振光的振幅不同時(shí)，如果它們的相位差為0.5π，合成的圖形為橢圓偏振光，和圓偏振光一樣LED燈的運(yùn)動(dòng)也可表現(xiàn)出右旋和左旋橢圓偏振光.兩傳播方向相同，偏振方向相互垂直，相位差為0.5π的線偏振光合成為橢圓偏振光的光矢端運(yùn)行軌跡如圖5所示，中心方點(diǎn)表示偏振光的方向，橢圓為偏振光的矢端運(yùn)行軌跡.

圖5 橢圓偏振光的光矢端運(yùn)行軌跡圖

5 演示儀的功能分析

利用LED點(diǎn)陣燈制作了簡諧振動(dòng)的合成和光的5種偏振態(tài)的智能演示儀，演示儀操作簡單，使用方便.

5.1 數(shù)據(jù)的輸入

獨(dú)立按鍵作為主控鍵，分別用于選擇簡諧振動(dòng)合成過程、簡諧振動(dòng)合成圖、光的5種偏振態(tài)的演示；16個(gè)矩陣鍵盤用于具體選擇演示內(nèi)容.界面交互性好，便于使用者操作.

5.2 圖形的顯示

簡諧振動(dòng)合成過程：可動(dòng)態(tài)地演示頻率比分別為1:1，1:2，1:3，2:3，相位差分別為π／4，π／2，3π／4，π的簡諧振動(dòng)的合成過程.

簡諧振動(dòng)合成圖：可演示頻率比分別為1:1，1:2，1:3，2:3，相位差分別為π／4，π／2，3π／4，π的簡諧振動(dòng)的合成圖.

光的5種偏振態(tài)圖：可演示光的5種偏振態(tài)的圖示以及偏振光的合成過程，并可動(dòng)態(tài)地演示圓偏振光的左旋和右旋過程.

由主界面設(shè)置，選擇相應(yīng)的菜單按鍵進(jìn)入不同參量下簡諧振動(dòng)合成結(jié)果圖形的展示，并可選擇展示李薩茹圖像.

6 結(jié)束語

使用LED燈模擬演示簡諧振動(dòng)的合成和光的5種偏振態(tài)，可更形象、生動(dòng)地顯示簡諧振動(dòng)合成和光的5種偏振態(tài).當(dāng)通過輸入控制模塊來動(dòng)態(tài)的改變2個(gè)分振動(dòng)的初相差時(shí)，可實(shí)現(xiàn)合成圖形的動(dòng)態(tài)變化.簡諧振動(dòng)、偏振光合成的綜合智能演示儀創(chuàng)新性地將物理知識(shí)點(diǎn)融于電子產(chǎn)品的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了物理知識(shí)與電子設(shè)計(jì)的結(jié)合，可直觀地演示出簡諧振動(dòng)合成和偏振光合成的過程，讓初學(xué)者更好地理解振動(dòng)合成和偏振光合成這一方面抽象的物理知識(shí).

感謝北京交通大學(xué)理學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)室對(duì)本文工作的支持.

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