叢令梅,馬 俊,王克協(xié)

(1. 浙江海洋學(xué)院 數(shù)理與信息學(xué)院,浙江 舟山 316004;2. 吉林大學(xué) 物理學(xué)院,長春 130012)

流體飽和孔隙介質(zhì)聲學(xué)理論[1]廣泛應(yīng)用于地球物理勘探領(lǐng)域. 但在許多情況下,依據(jù)該理論預(yù)測的能量耗損和速度頻散比實際測量值低. Dvorkin等[2]將Biot流動和噴射流動綜合,建立了多孔隙介質(zhì)的Biot-噴射流統(tǒng)一模型(Biot-Squit模型),簡稱BISQ模型. 該模型增加了一個新的儲層參數(shù)——特征噴射流長度. 目前,人們對該模型的研究已取得較多成果[3-10]. 研究表明,噴射流動機制是導(dǎo)致彈性波強頻散和高衰減的原因之一. 該模型目前已應(yīng)用到聲波測井研究中,如在BISQ模型下描述各向同性介質(zhì)地層中的井孔導(dǎo)波頻散和衰減與噴射流間的關(guān)系[11].

含油氣儲層典型的各向異性介質(zhì)是由周期薄互層(PTL)和裂隙定向分布(EDA)形成的橫向各向同性(TI)介質(zhì). Parra[12]在近似假設(shè)下,導(dǎo)出了考慮噴射流機制的橫向各向同性(VTI)孔隙介質(zhì)的彈性波場方程,由于引入兩個各向異性噴射流長度,因此其特點與各向同性的BISQ模型不同. 楊頂輝等[13]通過引入質(zhì)量耦合系數(shù)的各向異性,對該理論模型進行了改進. 文獻[14-16]針對物探需要或波場模擬進行了研究. 本文采用考慮噴射流機制的橫向各向同性BISQ模型模擬橫向各向同性孔隙地層,先理論求解該地層包圍的流體井孔體系的多極穩(wěn)態(tài)聲場,再研究各向異性噴射流長度變化對單極Stoneley波和偶極彎曲波頻散與衰減的影響.

1 理論求解具有噴射流機制的VTI地層中井孔聲導(dǎo)波場

研究具有噴射流機制的VTI地層中井孔多極聲導(dǎo)波場傳播特征,關(guān)鍵是求解該地層模型下井外位移場方程,再利用井壁邊界條件,得到井孔和地層體系聲導(dǎo)波場的特征方程——復(fù)頻散方程,通過數(shù)值求解復(fù)頻散方程可得導(dǎo)波的頻散與衰減.

對井外介質(zhì),用固相骨架位移u和液相位移V作為描述聲場的廣義坐標(biāo),由于VTI具有對鉛直軸的軸向?qū)ΨQ性,因此選擇以井軸為z軸的圓柱坐標(biāo)系. BISQ模型下VTI介質(zhì)穩(wěn)態(tài)的波場方程[12]為

(1)

其中:ω為頻率;σ為孔隙液體有效液應(yīng)力;σ為骨架應(yīng)力張量,在圓柱坐標(biāo)系中的分量與固、 液相相應(yīng)的應(yīng)變分量的關(guān)系為:

(2)

式中:eij和εij分別為固相和液相應(yīng)變分量;A,N,C,F,L為VTI介質(zhì)骨架彈性模量;

(3)

α=(2α1+α3)/3,α1=1-(2A-2N+F)/(3KS),α3=1-(2F+C)/(3KS),KS為骨架基質(zhì)壓縮模量,Kf為孔隙流體壓縮模量,α,α1,α3為孔隙壓力系數(shù);

式中:

ρ11=ρ1-ρ12,ρ22=ρ2-ρ12ρ12=(1-α∞)φρf,ρ1=ρs(1-φ),ρ2=ρfφ;

α∞為孔隙彎曲度,φ為孔隙度,ρs為骨架基質(zhì)密度,ρf為孔隙流體密度,η為流體動力黏滯系數(shù),kH和kV分別為橫向和縱向滲透率.

各向異性噴射流因子

(4)

求解井外場引入位移勢:

(5)

將式(5)和式(2)代入式(1)可得柱坐標(biāo)系下關(guān)于縱、 橫波勢函數(shù)滿足的波動方程,在各向同性孔隙地層中,φ和φ′表示縱波場,χ,χ′和ψ,ψ′分別表示質(zhì)點偏振方向與水平面平行的橫波場(SH)和質(zhì)點偏振方向與水平面垂直的橫波場(SV),對于VTI介質(zhì),縱波(P)與SV波耦合,與SH波脫耦. 式(5)中勢函數(shù)解對n極場可表示為

選井內(nèi)流體位移勢U=Φ,井內(nèi)聲波場解的n級多極場頻率波數(shù)域勢函數(shù)[18]可表示為

Φn(r,θ,kz,ω)=AnIn(υr)cosn(θ-θ0),

(6)

(7)

其中上角標(biāo)(1)和(2)分別為井內(nèi)外的量. 將井內(nèi)外位移和應(yīng)力表達式代入式(7),整理后可得井內(nèi)一個權(quán)系數(shù)An和井外4個獨立權(quán)系數(shù)滿足的齊次代數(shù)方程組:

(8)

(9)

mij的具體形式可參見文獻[19],式(9)即為聲波沿井傳播簡正模式(簡稱模式波)滿足的特征方程. 由于該波導(dǎo)沿井軸方向是無限的,因此也稱該類波為(制)導(dǎo)波. 由于介質(zhì)耗散吸收,因此式(9)也稱為軸向波數(shù)kz滿足的復(fù)頻散方程. 在確定頻率下求出的根km(m=1,2,…)為復(fù)量,進而可求出導(dǎo)波的相速度和品質(zhì)因數(shù)倒數(shù)表示的衰減系數(shù):

(10)

(11)

2 數(shù)值結(jié)果分析

本文數(shù)值求解井孔導(dǎo)波聲場,并考察各向異性噴射流長度變化對井孔傳播模式——單級Stoneley波和偶極彎曲波頻散與衰減的影響. 特征噴射流長度為一個不能直接測量的隱參數(shù),當(dāng)長度較小時,噴射流效應(yīng)較明顯,隨著其值的增大,噴射流效應(yīng)減弱,若特征噴射流長度趨于無窮,則回到Biot介質(zhì)情況. 由文獻[2]可知,當(dāng)特征噴射流長度為毫米量級時,其影響較明顯,為考察特征噴射流長度的影響,本文令縱、 橫向特征噴射流長度R1和R3在幾毫米之間變化.

井內(nèi)外介質(zhì)物理和幾何參數(shù)按井下常見情況選取: 井孔半徑a=0.1 m,井內(nèi)流體密度ρ0=1 000 kg/m3,流體聲速vf=1 500 m/s,孔隙度φ=0.1,固相密度ρs=2 445 kg/m3,液相密度為1 000 kg/m3,聲速為1 500 m/s,黏滯系數(shù)為0.001 kg/(m·s),雙相介質(zhì)地層其他參數(shù)列于表1.

表1 雙相介質(zhì)地層參數(shù)Table 1 Parameters of two phase poro-elastic formation

橫向各向同性BISQ模型下單極源激發(fā)Stoneley波的頻散和衰減曲線如圖1所示. 先固定特征噴射流長度R3,計算R1變化的頻散與衰減曲線(圖1(A),(B)),再固定R1改變R3進行同樣計算(圖1(C),(D)). 其中相速度曲線用井孔流體聲速進行歸一化. 實線對應(yīng)采用Biot模型時的結(jié)果,點線、 虛線和鎖線分別對應(yīng)特征噴射流長度為2,4,5 mm時的BISQ模型結(jié)果. 由圖1(A)和(C)可見,噴射流長度變化不影響橫向各向同性BISQ模型下井孔Stoneley波的頻散特性,與采用Biot模型的計算結(jié)果差別較小,但衰減差別較大,采用BISQ模型時井孔Stoneley波的衰減明顯增加,大于采用Biot模型時的衰減,理論和實際觀測結(jié)果相符.

圖1 單極Stoneley波的頻散(A),(C)和衰減(B),(D)曲線Fig.1 Curves of dispersion (A),(C) and attenuation (B),(D) for unipolar Stoneley waves

橫向各向同性BISQ模型下偶極源激發(fā)最低階彎曲波的頻散和衰減曲線如圖2所示,其中實線對應(yīng)Biot模型,點線、 虛線和鎖線分別對應(yīng)特征噴射流長度為2,4,5 mm時的BISQ模型結(jié)果. 由圖2可見: 橫向各向同性BISQ下彎曲波的相速度頻散受噴射流長度影響較小,即在截止頻率處采用橫向各向同性BISQ模型計算的彎曲波相速度小于采用未考慮噴射流機制Biot模型時的值;衰減明顯大于采用Biot模型時的衰減,其衰減曲線存在一個明顯的峰值,彎曲波比Stoneley波衰減曲線的變化復(fù)雜;當(dāng)大于某個頻率時,衰減隨特征噴射流長度R1的增加而增大,隨R3增加而減小;當(dāng)小于某個頻率時,衰減隨特征噴射流長度R1的增加而減小,隨R3增加而增大. 即彎曲波的衰減隨特征噴射流長度R1和R3的變化趨勢相反,且在某個頻率點發(fā)生變化趨勢反轉(zhuǎn). 在各向同性地層下,彎曲波的衰減在所有頻率范圍均隨特征噴射流長度單調(diào)變化[11],當(dāng)特征噴射流長度趨于無窮時,回到純Biot介質(zhì)情況.

圖2 偶極彎曲波的頻散(A),(C)和衰減(B),(D)曲線Fig.2 Curves of dispersion (A),(C) and attenuation (B),(D) for dipole flexural waves

綜上所述,本文采用同時考慮Biot流動和噴射流動機制的橫向各向同性BISQ模型模擬實際地層,理論求解了橫向各向同性地層裸眼井孔聲場,得到了井孔導(dǎo)波的復(fù)特征方程,并計算考察了井孔導(dǎo)波單極Stoneley波和偶極彎曲波的頻散與衰減特性. 當(dāng)不考慮噴射流動時,所得結(jié)果與文獻[18]相符;退化到各向同性地層時,所得結(jié)果與文獻[11]相符. 數(shù)值結(jié)果表明: 水平和垂直特征噴射流長度不影響井孔導(dǎo)波的頻散,但對井孔導(dǎo)波的衰減影響較大;當(dāng)橫向各向同性地層考慮噴射流機制時,采用Biot理論模型的Stoneley波和彎曲波衰減均增大,更接近實際衰減值;Stoneley波衰減隨水平特征噴射流長度增加而增大,隨垂直特征噴射流長度增加而減小;彎曲波衰減隨水平和垂直特征噴射流長度改變的變化趨勢相反,且該變化趨勢在高頻和低頻時發(fā)生反轉(zhuǎn);導(dǎo)波特性隨水平和垂直特征噴射流長度改變的規(guī)律不同,其偶極彎曲波的衰減變化趨勢隨頻率增大發(fā)生反轉(zhuǎn).

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