楊 柳，何蘊(yùn)龍

(武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430072)

1 研究背景

壩體－庫(kù)水的耦合作用一直是大壩抗震分析的重要課題，尤其在近年混凝土拱壩修建越來(lái)越多的情況下，拱壩的抗震分析中流固耦合的影響更是不可忽視的重要內(nèi)容。目前在實(shí)際工程計(jì)算分析中，據(jù)Westergaard［1］動(dòng)水壓力解析解提出的附加質(zhì)量模型應(yīng)用最為廣泛。但附加質(zhì)量模型不計(jì)壩體自身變形和壩體－庫(kù)水動(dòng)力相互作用的影響，本文通過(guò)考慮庫(kù)水可壓縮性的流固耦合模型的計(jì)算分析來(lái)對(duì)比附加質(zhì)量法的適用性。

由于拱壩自身的復(fù)雜性，對(duì)于拱壩動(dòng)水壓力的研究比重力壩要晚，1961 年，Korsubo［2］通過(guò)將壩體簡(jiǎn)化為中心角為直角的圓柱體的一部分，將庫(kù)水區(qū)域簡(jiǎn)化為扇形，得出了剛性拱壩在簡(jiǎn)諧地面運(yùn)動(dòng)的壩面動(dòng)水壓力的解析解。在壩庫(kù)系統(tǒng)中，是否考慮庫(kù)水的可壓縮性一直是個(gè)有爭(zhēng)議的課題，Chopra［3］的研究發(fā)現(xiàn)忽略水的可壓縮性將導(dǎo)致顯著的誤差，會(huì)過(guò)低估計(jì)地震動(dòng)水壓力。日本學(xué)者畑野正［4］的試驗(yàn)說(shuō)明動(dòng)水壓力和地震輸入頻率緊密相關(guān)。中美兩國(guó)合作進(jìn)行的現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)研究未獲得支持哪種模型的明確結(jié)論［5］。目前對(duì)其進(jìn)行數(shù)值方法的研究仍有重要意義，隨著計(jì)算工具和方法的發(fā)展，計(jì)算模型得到不斷完善，考慮庫(kù)水可壓縮性的流固耦合方法是一種比較符合實(shí)際的先進(jìn)方法。本文用在流固耦合方面較有優(yōu)勢(shì)的有限元軟件ADINA進(jìn)行分析，討論庫(kù)水可壓縮性在計(jì)算過(guò)程中的影響。

2 計(jì)算方法與拱壩有限元分析模型

2.1 數(shù)值分析方法

當(dāng)考慮水體的可壓縮性時(shí)，以結(jié)構(gòu)位移和流體速度勢(shì)組成混合未知量，有限元方程如下，

式中:［Ms］、［Ks］、［Fs］為與結(jié)構(gòu)有關(guān)的質(zhì)量、剛度和荷載矩陣;［Mp］、［Kp］為與流體相關(guān)的“質(zhì)量”、“剛度”矩陣;Q為流固交界面上的耦合矩陣，Q1，Q2為與流體流速有關(guān)的耦合矩陣。

在可壓縮庫(kù)水模型中假設(shè)庫(kù)水是均勻、無(wú)黏、無(wú)旋、線性小擾動(dòng)理想流體，其基本方程表示為:

式中:▽2為L(zhǎng)aplace算子;為水中聲速;k為水體體積彈性模量;ρ為流體密度;φ為流體速度勢(shì)(ν=▽?duì)?，ν是流體速度);p為流體壓力;ui為時(shí)均流速的3個(gè)分量;n為壩庫(kù)交界面的法線方向;r為足夠遠(yuǎn)處邊界的法線方向。

2.2 有限元分析模型

五嘎沖水電站位于貴州省馬別河上游平塘河段，壩頂高程1 344 m，最大壩高105 m，壩頂弦長(zhǎng)612.5 m。有限元計(jì)算模型中拱壩壩高105 m，壩基范圍及下游均取1.5倍壩高，根據(jù)黃耀英［6］、李瓚［7］等人的研究結(jié)果，為充分反映水體的影響，水庫(kù)長(zhǎng)度向上游取3倍壩高。采用無(wú)質(zhì)量地基模型進(jìn)行計(jì)算。在可壓縮庫(kù)水流固耦合模型中，庫(kù)尾設(shè)置為無(wú)窮遠(yuǎn)邊界，庫(kù)水表面設(shè)置為自由液面，考慮了自由面波的影響。附加質(zhì)量模型中將壩面上的動(dòng)水壓力施加到壩面節(jié)點(diǎn)上，其中材料參數(shù):壩體體積彈性模量為20 GPa，密度為 2 400 kg/m3，泊松比為0.167，基巖體積彈性模量為25 GPa，泊松比為0.25，水體密度為1 000 kg/m3。模型如圖1所示。

圖1 五嘎沖拱壩模型Fig.1 Model of the Wugachong arch dam

2.3 地震波的選取

選取水工建筑物抗震設(shè)計(jì)規(guī)范推薦的標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜為目標(biāo)譜，生成人工地震波作為拱壩壩基輸入地震波，地震加速度峰值為0.1 g，地震動(dòng)反應(yīng)譜特征周期為0.20 s，相應(yīng)地震基本斜度為7度。圖2為所輸入的規(guī)范波的順河向加速度時(shí)程曲線。

3 壩體自振頻率和振型的分析

表1為2種模型的壩體自振頻率，由于附加質(zhì)量的影響，體系的質(zhì)量增加而剛度未變，其自振頻率在初期時(shí)下降幅度更大。從第1階自振頻率來(lái)看，相對(duì)于考慮庫(kù)水可壓縮性情況下的壩體自振頻率，附加質(zhì)量模型降幅達(dá)到17.38%，其后高階頻率中二者相差范圍縮小，但整體上來(lái)說(shuō)附加質(zhì)量模型比可壓縮庫(kù)水模型頻率小，周期較長(zhǎng)。

圖2 順河向地震波Fig.2 Time-history curve of seismic wave along the river direction

表2為空庫(kù)、可壓縮庫(kù)水模型、附加質(zhì)量模型前五階振型的比較表，其中附加質(zhì)量模型的振型和空庫(kù)振型一致，對(duì)稱性相同，可見(jiàn)可壓縮庫(kù)水模型更能反映壩庫(kù)相互作用。

表2 振型比較Table 2 Comparison of vibration modes

4 拱壩地震動(dòng)力響應(yīng)分析

4.1 動(dòng)水壓力分析

圖3分別為地震作用下2種模型拱壩上游面的動(dòng)水壓力包絡(luò)圖，可壓縮庫(kù)水模型的動(dòng)水壓力包絡(luò)圖如圖3(a)所示，附加質(zhì)量模型的動(dòng)水壓力包絡(luò)圖如圖3(b)所示，在壩高1/3處達(dá)到最大，數(shù)值上近似是可壓縮庫(kù)水模型的2.5倍，與解析解所得結(jié)果相符合［8］。圖4為2種模型壩高約15 m處同一點(diǎn)的動(dòng)水壓力時(shí)程圖，可壓縮庫(kù)水模型最大值為93.78 kPa，在 10.0 s，附加質(zhì)量模型最大值為165.86 kPa，在7.08 s。附加質(zhì)量模型的動(dòng)水壓力在整個(gè)壩面比可壓縮庫(kù)水的動(dòng)水壓力大。

圖3 動(dòng)水壓力包絡(luò)圖Fig.3 Envelopes of hydrodynamic pressure

圖4 動(dòng)水壓力時(shí)程曲線Fig.4 Time-history curves of hydrodynamic pressure

圖5(a)至圖5(c)為各層沿拱圈的動(dòng)水壓力包絡(luò)圖，沿拱圈的法線方向表示動(dòng)水壓力的值，圖中上部?jī)蓷l線分別表示可壓縮庫(kù)水模型和附加質(zhì)量模型的動(dòng)水壓力值?？蓧嚎s庫(kù)水模型的動(dòng)水壓力在每層拱圈中沿拱向變化不大，但各層拱圈的動(dòng)水壓力有所不同，附加質(zhì)量模型的動(dòng)水壓力在每層拱圈的拱冠梁處達(dá)到最大，附加質(zhì)量模型動(dòng)水壓力普遍大于可壓縮庫(kù)水模型的動(dòng)水壓力。在拱冠梁的動(dòng)水壓力包絡(luò)圖中，可壓縮庫(kù)水模型的動(dòng)水壓力隨壩高的降低而增大，最大值出現(xiàn)在壩踵，為93.25 kPa，附加質(zhì)量模型動(dòng)水壓力最大值出現(xiàn)在壩高1/3處，為217 kPa，在相同位置，附加質(zhì)量模型的動(dòng)水壓力比可壓縮庫(kù)水的動(dòng)水壓力大152%.可壓縮庫(kù)水由于考慮了庫(kù)水的可壓縮性，更能真實(shí)模擬壩庫(kù)相互作用。

圖5 各層拱圈及拱冠梁動(dòng)水壓力包絡(luò)圖Fig.5 Envelopes of hydrodynamic pressure in the arch and the crown cantilever

4.2 壩體位移變形分析

2種模型中壩體的位移變形規(guī)律基本一致，分別選取壩體拱頂、拱冠左右拱圈的特征點(diǎn)進(jìn)行比較，各特征點(diǎn)的動(dòng)位移比較如表3所示，可壓縮庫(kù)水模型和附加質(zhì)量模型的動(dòng)位移分布規(guī)律基本一致，橫河向動(dòng)位移最值出現(xiàn)在拱頂左1/4拱圈處，順河向動(dòng)位移和豎直向動(dòng)位移最值出現(xiàn)在拱頂拱冠梁處。附加質(zhì)量模型動(dòng)位移結(jié)果幾乎都比流固耦合模型動(dòng)位移結(jié)果大。各方向位移時(shí)程曲線見(jiàn)圖6。

表3 拱壩特征點(diǎn)動(dòng)位移絕對(duì)值峰值Table 3 Maximum dynamic displacements of feature points

橫河向位移時(shí)程(圖6(a)):可壓縮庫(kù)水模型峰值發(fā)生在12.8 s處，為8.45 mm，附加質(zhì)量模型峰值發(fā)生在9.9 s處，為8.27 mm，二者在整個(gè)時(shí)程中相差不大，改變周期相近。

順河向位移時(shí)程(圖6(b)):可壓縮庫(kù)水模型峰值發(fā)生在12.48 s處，為25.05 mm，附加質(zhì)量模型峰值發(fā)生在9.5 s處，為29.34 mm，增大17.13%，庫(kù)水可壓縮性的考慮對(duì)順河向位移影響較大。

豎直向位移時(shí)程(圖6(c)):附加質(zhì)量模型峰值發(fā)生在9.42 s處，為4.93 mm，可壓縮庫(kù)水模型峰值發(fā)生在10 s處，為4.90 mm，二者的位移均沿z軸負(fù)方向，發(fā)生時(shí)刻相近，峰值相差不大，但從整個(gè)時(shí)程圖可看出，附加質(zhì)量模型的豎直向位移比可壓縮庫(kù)水模型的豎直向位移大，在4～8 s中，二者相差不大，8～14 s中，附加質(zhì)量模型的豎直向位移基本都比可壓縮庫(kù)水模型的結(jié)果大。

圖6 各方向位移時(shí)程曲線Fig.6 Time-history curves of transverse，longitudinal and vertical displacements

由圖7可得2種模型的順河向絕對(duì)加速度時(shí)程規(guī)律基本一致且附加質(zhì)量模型的順河向加速度大于可壓縮庫(kù)水模型的結(jié)果，可壓縮庫(kù)水模型的峰值發(fā)生在12.50 s，為7.03 m/s2附加質(zhì)量模型的順河向加速度峰值發(fā)生在9.48 s，為7.88 m/s2，增大12.09%。

圖7 順河向加速度時(shí)程曲線比較Fig.7 Comparison of time-history curves of longitudinal acceleration

4.3 壩體拱向應(yīng)力分析

可壓縮庫(kù)水模型和附加質(zhì)量模型的拱向應(yīng)力分布規(guī)律基本相同，上游面拱向拉應(yīng)力最大值出現(xiàn)在壩肩處，可壓縮庫(kù)水模型的最大壓應(yīng)力出現(xiàn)在壩體上部拱冠梁處，附加質(zhì)量模型的最大壓應(yīng)力出現(xiàn)位置接近壩頂，但分布趨勢(shì)基本一致，2種模型的拱向應(yīng)力相差不大(圖8，圖9)。

圖8 可壓縮庫(kù)水的拱向應(yīng)力的上游面動(dòng)靜疊加包絡(luò)圖Fig.8 Arch stress contours of upstream face of compressible fluid model after superposing the dynamic response

圖9 附加質(zhì)量模型的拱向應(yīng)力的上游面動(dòng)靜疊加包絡(luò)圖Fig.9 Arch stress contours of upstream face of the additional mass model after superposing the dynamic response

4.4 壩體豎直向應(yīng)力分析

圖10 可壓縮庫(kù)水的豎直向應(yīng)力的上游面動(dòng)靜疊加包絡(luò)圖Fig.10 Vertical stress contours of the compressible fluid model after superposing the dynamic response

圖11 附加質(zhì)量模型的豎直向應(yīng)力的上游面動(dòng)靜疊加包絡(luò)圖Fig.11 Vertical stress contours of the additional mass model after superposing the dynamic response

計(jì)算中壓應(yīng)力為負(fù)、拉應(yīng)力為正。在圖10和圖11中(a)為靜力計(jì)算的應(yīng)力結(jié)果與拉應(yīng)力的包絡(luò)值疊加結(jié)果，(b)為靜力計(jì)算的應(yīng)力結(jié)果與壓應(yīng)力的包絡(luò)值疊加結(jié)果。可壓縮庫(kù)水模型和附加質(zhì)量模型豎直向拉應(yīng)力的分布規(guī)律相同，拉應(yīng)力出現(xiàn)在左岸壩肩及1/5壩高處以下，在壩體下部拉應(yīng)力隨壩高的降低而增大，最大值均出現(xiàn)在上游面壩踵處，可壓縮庫(kù)水模型的最大壓應(yīng)力為4.0 MPa，附加質(zhì)量模型的最大壓應(yīng)力為4.3 MPa，增大7.5%。2種模型的壓應(yīng)力分布規(guī)律相同，壓應(yīng)力最大值出現(xiàn)在1/2壩高的拱冠梁處，可壓縮庫(kù)水模型的最大壓應(yīng)力為1.76 MPa，附加質(zhì)量模型的最大壓應(yīng)力為2.40 MPa，增大36.36%。

5 結(jié)論

(1)從庫(kù)水的物理特性來(lái)看，可壓縮庫(kù)水模型最能真實(shí)地反映庫(kù)水的特性，也最能反映庫(kù)水對(duì)壩體動(dòng)力特性的影響。附加質(zhì)量模型與可壓縮庫(kù)水模型相比降低了壩體的自振頻率。

(2)2種模型的結(jié)果對(duì)比分析表明，附加質(zhì)量模型的動(dòng)水壓力約為可壓縮庫(kù)水模型動(dòng)水壓力的2.5倍，當(dāng)壩體受到順河向地震激勵(lì)時(shí)，由附加質(zhì)量產(chǎn)生的動(dòng)水壓力會(huì)大大增大壩體的動(dòng)力反應(yīng)，與可壓縮庫(kù)水模型的計(jì)算結(jié)果相比，對(duì)順河向位移反應(yīng)影響較大，對(duì)豎直向位移影響較小，對(duì)橫河向位移基本沒(méi)有影響。對(duì)豎直向應(yīng)力反應(yīng)有較大影響，而對(duì)壩體拱向應(yīng)力反應(yīng)影響較小。

(3)地震激勵(lì)作用下，附加質(zhì)量模型計(jì)算的壩體的應(yīng)力、位移反應(yīng)比可壓縮庫(kù)水模型偏大，并且其誤差在壩體上部更為明顯，差別更大。附加質(zhì)量模型夸大了地震時(shí)壩體的應(yīng)力反應(yīng)。

［1］WESTERGAARD H M.Water Pressure on Dams during Earthquakes［J］.Transactions of ASCE，1933，98:418 －472.

［2］KOTSUBO S.External Forces on Arch Dams during Earthquakes［J］.Memoirs Faculty of Engineering，1961，20(4):327－360.

［3］CHOPRA A K.Earthquake Analysis of Concrete Gravity Dams Including Dam-water-foundation Rock Interaction［J］.Earthquake Engineering ＆ Structural Dynamics，1981，9(4):363－383.

［4］畑野正.冢原重力ダムの振動(dòng)實(shí)驗(yàn)とその考察［C］∥土木學(xué)會(huì)論文集.東京:日本土木學(xué)會(huì)，1958:8－16.(TIAN Ye-zheng.Analysis of Vibration of Zhongyuan Gravity Dam［C］∥Proceedings of Japan Society of Civil Engineers.Tokyo:Japan Society of Civil Engineers，1958:8－16.(in Japanese))

［5］CLOUGH R W，CHANG K T，CHEN He-qun，et al.Dynamic Interaction Effects in Arch Dams:Earthquake Engineering Research Center Report，No.UCB/EERC － 85/11［R］.Berkeley:University of California，1985.

［6］黃耀英，孫大偉，田 斌.兩種庫(kù)水附加質(zhì)量模型的重力壩動(dòng)力響應(yīng)研究［J］.人民長(zhǎng)江，2009，40(7):64－66.(HUANG Yao-ying，SUN Da-wei，TIAN Bin.Research on Dynamic Response of Concrete Gravity Dam in Two Types of Hydrodynamic Added Mass Dam Models［J］.Yangtze River，2009，40(7):64 －66.(in Chinese))

［7］李 瓚，陳興華，鄭建波，等.混凝土拱壩設(shè)計(jì)［M］.北京:中國(guó)電力出版社，2000.(LI Zan，CHEN Xing-hua，ZHENG Jian-bo，et al.Concrete Arch Dam Design［M］.Beijing:China Electric Power Press，2000.(in Chinese))

［8］王 忠，柴賀軍，劉浩吾.重力壩動(dòng)水壓力與地震干擾頻率的關(guān)系［J］.成都理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，29(1):101 －104.(WANG Zhong，CHAI He-jun，LIU Hao-wu.The Relationship of Hydrodynamic Pressures on Structures with the Excitation Frequency［J］.Journal of Chengdu U-niversity of Technology，2002，29(1):101 －104.(in Chinese ))